6.3. Пример расчета вала на совместное действие изгиба и кручения

Рассмотрим пример расчета вала на изгиб и кручение.

На вал, изображенный на рис. 55, а, насажены три зубчатых колеса. Зубчатые колеса нагружены силами: F₁ = 2 кН; F₂ = 1,5 кН; F₃ = 1,2 кН, причем силы F₁ и F₂ направлены гори­зонтально, а сила F₃ - вертикально. Диаметры колес соответ­ственно: D₁ = 300 мм; D₂ = 200 мм; D₃ = 250 мм.

Построить эпюру крутящих моментов М_к и эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях, прене­брегая массой колес и самого вала. Определить требуемый диа­метр вала по третьей теории прочности. Допускаемое напряжение [s] = 50 МПа.

Решение. Вычисляем внешние моменты от сил F₁ , F₂ и F₃, скручивающие вал:

М₁ = F₁ D₁/2 = 2000×300/2 = 300×10³Н×мм = 300 Н×м;

М₂ = F₂ D₂/2 = 1500×300/2 = 150×10³Н×мм = 150 Н×м;

М₃ = F₃ D₃/2 = 1200×250/2 = 150×10³Н×мм = 150 Н×м.

На рис. 54, а показано нагружение вала этими мо­ментами. На участке // проводим сечение а-а; рассматриваем левую отсе­ченную часть

М_кII = -М₂ = -150 Н×м.

Знак минус показывает, что внешний момент, при­ложенный к левой части, вращает ее против часовой стрелки, если смотреть со стороны сечения.

На участке /// проводим сечение b - b и рассматриваем правую отсеченную часть

М_кIII = M₃ = 150 Н×м,

или, если рассматривать левую часть, то получится тот же ре­зультат

М_кIII = - М₂ + M₁ = -150 + 300 = 150 Н×м.

В поперечных сечениях участков / и IV крутящие моменты равны нулю (трением в подшипниках пренебрегаем). Эпюра крутящих моментов построена на рис. 54 б.

Сила F₃ вызывает изгиб в вертикальной плоскости. Изгиба­ющая вертикальная нагрузка показана на рис. 54, в.

Рис. 54

Определим вертикальные составляющие опорных реакций в точках А и В:

åM^B_A = 0; F₃ (а + b + с) - R^B_B (а + b + с + d) = 0;

åF_iy = 0; -F₃ + R^B_B + R^B_A = 0,

откуда

R^B_B = F₃(а + b + с)/(а + b + с + d) = 960 H; R^B_A = F₃-R^B_B= 240 H.

Определяем ординаты эпюры изгибающих моментов в верти­кальной плоскости:

в сечении А: M^B_A = 0;

в сечении С: M^B_C = R^B_A a = 240×0,3 = 72 Н×м;

в сечении D: M^B_D = R_A^B(a + b) = 240×0,7 = 168 Н×м; в сечении Е: M^B_E = R^B_Bd = 960 × 0,3 = 288 Н×м

(в сечении Е рассматриваем равновесие правой части балки);

в сечении В: M^B_B = 0.

Эпюра изгибающиx моментов в вертикальной плоскости по­строена на рис. 54, e.

Определяем горизонтальные составляющие опорных реак­ций от нагружения вала горизонтальными силами F₁ и F₂ (рис. 54 д):

å М^Г_А = 0; F₂a – F₁(a + b) + R^B_B(а + b+ с + d) = 0;

åF_ix= 0; - R_А^Г + F₂ – F₁ + R_В^Г = 0,

откуда

R_В^Г = [F₁(a + b) - F₂a]/(а + b+ с + d) = 633 Н; R_А^Г =- F₁ + F₂ + R_В^Г

Определяем ординаты эпюры моментов в горизонтальной плоскости:

в сечении А: М^Г_А = 0;

в сечении С: М^Г_C = R_А^Гa = 133×0,3 = 40 Н×м;

в сечении D: М^Г_D = R_А^Г(a + b) - F₂b = 133×0,7- 1500×0,4 = =507 Н×м;

в сечении Е: М^Г_E = -R_Вd = -633×0,3 = -190 Н×м;

в сечении В: М^Г_B = 0.

Эпюра моментов в горизонтальной плоскости построена на рис. 54, e.

Так как изгибающие моменты М^B и М^Г возникают во взаим­но перпендикулярных плоскостях, то суммарный изгибающий момент, являющийся их геометрической суммой, определится по формуле

М_и = [(M_B^B)² + (М_и^Г)²]^1/2.

Наибольший суммарный изгибающий момент в сечении D:

М_иD = [(M_B^B)² + (М_и^Г)²]^1/2 = (168² + 507²)^1/2 = 534 Н×м.

Во всех сечениях участков // и /// возникают крутящие моменты, равные по абсолютному значению М_к = 150 Н×м; слева от сечения D - отрицательные, справа - положительные. Оче­видно, что сечение D является опасным.

Подставляем значение расчетных моментов в формулу и определяем требуемый момент сопротивления сечения вала по третьей теории прочности

W ³ [(M_D)² + (М_к)²]^1/2/[s] =

= [(534×10³)²+(150×10³)²]^1/2/50 = 11,1×10³ мм²

Вычисляем диаметр вала, полагая W » 0,1d³,

d ³ (10W)^1/3 = (10×11,1×10³) ^1/3 = 48,1 мм.

Принимаем d = 48 мм.

Упражнение 16

1. Возникает ли изгибающий момент в сечениях вала, если на валу закреп­лены зубчатые колеса (рис. 55)? К зубьям колес приложены окружные силы F₁ и F.

1. Вычислите эквивалентный момент по третьей теории проч­ности. Изгибающий момент в поперечном сечении вала М_и == 4000 Н×м. Крутящий момент в том же сечении равен М_к= 3000 Н×м. Определите диа­метр вала, приняв допускаемое напряжение [s] = 100 МПа. А. Нет. Б. Да.

Рис. 55

2. Определите диаметр вала (по третьей теории прочности) по рис.55. Силы F₁и F рас­положены в параллельных пло­скостях: D₁ = 200 мм; D₂ = 400 мм; а = 300 мм; b = 400 мм; материал вала - сталь 40; [s] = 60 МПа.