- •Системный анализ и моделирование процессов в техносфере
- •1.1. Понятие системы. Базовые категории систем
- •1.2. Классификация систем
- •1.3. Общее представление о системном анализе
- •1.4. Принципы системного анализа
- •2.1. Этапы анализа и синтеза
- •2.2. Понятие о структурном анализе
- •2.3. Методы декомпозиции
- •2.4. Требования, предъявляемые к декомпозиции
- •2.5. Алгоритм декомпозиции
- •2.5. Программно-целевой подход к решению системных задач
- •1. Область применения и этапы программно-целевого подхода
- •2. Дерево целей
- •3.1. Агрегирование системы и эмерджентность
- •3.2. Виды связей в системе
- •Связи взаимодействия (координации):
- •Связи преобразования:
- •3.3. Виды агрегирования
- •4.1. Общие свойства процесса принятия решений
- •4.2. Участники процесса принятия решения
- •4.3. Схема ппр
- •4.4. Формулирование проблемы
- •4.5. Определение целей
- •4.6. Генерирование альтернатив
- •4.7. Формирование критериев
- •4.8. Физиология принятия решений
- •4.9. Виды и особенности задач принятия решений
- •4.10. Формализация принятия решений
- •Лекция 5. Информационное обеспечение ппр
- •5.1. Понятие информации
- •5.2. Информационная структура процесса принятия решений
- •6.1. Особенности группового выбора
- •6.2. Экспертные методы выбора
- •6.3. Методы типа мозговой атаки или коллективной генерации идей
- •6.4. Методы типа сценариев
- •6.5. Методы типа «Делфи»
- •6.6. Методы типа дерева целей
- •6.7. Морфологические методы
- •7.1 Основные положения теории управления
- •7.2 Аксиомы теории управления
- •7.3 Модели основных функций организационно-технического управления
- •7.4 Описание функций управления
- •Лекция 8. Понятие и классификация моделей
- •8.1 Понятие модели, моделирования
- •8.2 Познавательные и прагматические модели
- •8.3 Статические и динамические модели
- •8.4 Классификация моделей по способу воплощения
- •8.5 Место математического моделирования в системных исследованиях
- •8.6 Типы и виды математических моделей
- •8.7 Процесс построения математической модели
- •8.8 Структура моделирования происшествий в техносфере
- •9.1 Конфликт ‒ предмет рассмотрения теории игр
- •9.2 Понятие игры. Классификация игр. Формальное представление игр
- •9.3 Определение бескоалиционной игры
- •9.4 Приемлемые ситуации и ситуации равновесия
- •9.5 Примеры игровых задач
- •10.1 Граф и его виды
- •10.2 Задача о кратчайшем пути
- •10.3 Задача о максимальном потоке
- •11.1 Поверхность отклика
- •11.2 Этапы планирования эксперимента
- •11.3 Обработка и анализ результатов моделирования
- •12.1 Полный факторный эксперимент
- •12.2 Дробный факторный эксперимент
- •12.3 Метод наименьших квадратов
- •13.1 Основная цель кластерного анализа
- •13.2 Объединение (древовидная кластеризация)
- •13.3 Двувходовое объединение
- •13.4 Метод k средних
- •13.5 Алгоритм нечеткой кластеризации
- •14.1 Понятие когнитивного моделирования
- •14.2 Подсистема представления субъективной информации
- •14.3 Подсистема извлечения предпочтений эксперта
- •14.4 Подсистема обработки
- •14.5 Подсистема представления результатов моделирования
- •14.6 Подсистема поддержки аналитической деятельности эксперта
- •14.7 Моделирование бизнес процессов на основе bpmn-диаграмм
- •14.8 Метод анализа иерархий (маи): введение
- •14.9 Основные принципы маи
- •1. Принцип идентичности и декомпозиции
- •2. Принцип дискриминации и сравнительных суждений
- •3. Принцип синтеза
- •14.10 Общая оценка маи как метода принятия решений
- •15.1 Общий ход решения задачи на основе метода конечных элементов
- •15.2 Сети одномерных конечных элементов
- •15.3 Виды конечных элементов
- •16.1 Основные понятия
- •16.2 Приближенное решение оду при заданных начальных условиях
- •16.3 Метод Эйлера и его модификации
- •16.4 Метод Рунге-Кутта
- •16.5 Приближенное решение ду n-го порядка при заданных начальных условиях
- •16.6 Приближенное решение ду при заданных граничных условиях (краевых задач)
- •16.6.1 Метод начальных параметров
- •16.6.2 Редукция к задаче Коши для линейного ду второго порядка
- •17.1 Основные понятия
- •17.2 Типы элементов
- •17.3 Источники энергии и преобразователи. Аналоги топологических уравнений
- •17.4 Метод получения топологических уравнений
- •18.1 Свойства задач принятия решения со многими критериями
- •18.2. Формирование множества критериев
- •18.3 Методология решения многокритериальных задач
- •18.4 Технологии отыскания эффективных решений
- •18.5 Методы принятия решения при нескольких критериях
15.3 Виды конечных элементов
Выше были рассмотрены системы, включающие одномерные симплекс-элементы, при этом функции формы элемента (4) оставались одинаковыми для задач из разных предметных областей. Физическая сущность задачи отображается матрицей жесткости. В электрических системах эта матрица зависит от сопротивлении R, емкостей С, индуктивностей L элементов, составляющих систему. В системах, характеризующих работу строительных конструкций, матрица жесткости непосредственно связана с погонными жесткостями для растянутых (сжатых) элементов, – для изгибаемых элементов и т.д. Для нелинейных систем, например, для схемы «в» (рис. 2), где связь между напором V и расходом J имеет вид , матрица жесткости будет представлять уже не массивы констант, а некоторые функции от напора жидкости.
В случае функции двух переменных х, у используют плоские конечные элементы в виде многоугольников, обычно треугольника и прямоугольника.
Рассмотрим двумерный симплекс-элемент, представляющий собой плоский треугольник (рис. 4).
Интерполяционный полином, аппроксимирующий непрерывную функцию v(x, у) внутри симплекс-элемента, имеет вид
(16)
Рис. 4. Двумерный симплекс-элемент
Для придания этому выражению вида, удобного для применения в методе конечных элементов, будем поступать так же, как это делали на втором этапе п.п. 15.1 [см. формулы (1)...(6)]. Граничные условия будут иметь вид:
при функция v(x, у) примет значение ;
при функция v(x, у) примет значение .
Используя формулу (16), получим систему трех уравнений для определения коэффициентов Подставляя эти коэффициенты в полином (16) и проделав необходимые преобразования, аналогичные рассмотренным в п. 15.1, запишем аналогичную (5) формулу
(17)
где функции формы элемента имеют вид:
(18)
Здесь ∆ – площадь треугольника конечного элемента;
– коэффициенты, определяемые путем круговой перестановки индексов выражений:
. (19)
Формулы (16)...(19) будут одинаковыми для всех задач, где используют треугольные симплекс-элементы. Матрицы жесткостей будут зависеть от физической сущности задачи. Рассмотрим это на примере плоской задачи теории упругости. Заметим, что в этом случае каждый узел имеет две степени свободы, поэтому вектор имеет две компоненты vx и каждую из которых определяют по формуле (17).
Деформации внутри конечного элемента можно выразить через перемещения с помощью зависимостей Коши:
Выполняя дифференцирование равенства (17) с учетом обозначений (18), запишем зависимости Коши в матричной форме:
(20)
или
. (20 а)
Для перехода от деформаций тела к напряжениям используем закон Гука при плоском напряженном состоянии:
(21)
или
. (21 а)
Матрицы D и В содержат всю информацию о конечном элементе: матрица D определяет его упругие характеристики а матрица В – геометрические. Остается определить еще одну матрицу (матрицу жесткости К), которая связывает усилия, действующие в узлах конечного элемента, с перемещениями этих узлов. Для записи этой матрицы воспользуемся принципом возможных перемещений, согласно которому при равновесии тела работа внешних сил Р на возможных перемещениях узлов т. е. равна по величине работе внутренних сил на тех же перемещениях: , где – деформация, отвечающая возможным перемещениям; – объем конечного элемента. В результате преобразований получим искомую связь между усилиями в узлах конечного элемента и перемещениями этих узлов:
, (22)
где матрица жесткости К будет равна
(23)
Матрица жесткости (23) конечного элемента не зависит от действующих на элемент нагрузок и поэтому остается неизменной для всех нагружений. Элементы этой матрицы представляют собой коэффициенты канонических уравнений метода перемещений для расчета одного конечного элемента.
Рассмотрим объединение конечных элементов в ансамбль на примере простейшей сети из трех конечных элементов (рис. 5).
Для каждого конечного элемента мы можем записать формулу (17), заменяя узлы конкретными номерами. Так, для первого элемента
.
Поступая аналогично с остальными узлами, получим:
(24)
Рис.5. Ансамбль трех конечных элементов
Напомним, что узловые значения искомой функции
пока еще не известны и подлежат определению. С этой целью нужно использовать какой-нибудь принцип, выражающий физическую сущность задачи. В задачах строительной механики таким принципом могут быть уравнения равновесия с учетом совместности перемещений. Когда мы все это проделаем, задача будет решенной, поскольку формулы (20), (21), (24) с учетом обозначений (18), (19) позволяют определить в любой точке области нормальные и касательные напряжения, найти угловые и линейные деформации, вычислить перемещения данной точки в направлении осей х и у. Совокупность указанных формул, полностью определяющих поведение исследуемой системы, составляет ее математическую модель.
Перейдем к объединению конечных элементов в ансамбль.
Пусть в узлах системы конечных элементов действуют внешние силы, определяемые вектором
(25)
К каждому i-му узлу сети примыкает в общем случае конечных элементов, каждый из которых вносит свой вклад в матрицу жесткости. Поэтому для каждого i-го узла суммарная матрица жесткости будет представлять собой сумму элементов матриц жесткости всех примыкающих к узлу элементов, т.е.
, (26)
в то время, как узловые перемещения для всех этих элементов будут общими в силу совместности перемещений всех элементов, соединенных в i-м узле. Поскольку узлы имеют две степени свободы, вектор перемещения i-го узла будет содержать две компоненты перемещений точно так же, как внешняя сила [см. формулу (25)] имеет две компоненты Pxi, Pyi. Совокупность перемещений всех m неопорных узлов сети конечных элементов определится m-мерным вектором перемещений:
(27)
Общую матрицу жесткости для всей конструкции можно выразить в виде
. (28)
Окончательная зависимость между вектором сил (25) и вектором перемещений (27) будет иметь вид
. (29)
Таким образом, вектор узловых значений искомой функции будет равен
. (30)
Литература:
1. Ильина Н.В. Системный анализ и моделирование процессов в техносфере: Учеб. пособие / Н.В. Ильина, Д.Д. Лапшин, В.И. Федянин. – Ч. 1. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет, 2008. – 206 с.
Лекция 16. Аналитические модели сложных систем