Программа вычисления коэффициентов эмпирических формул в qbasic
REM Ввод данных
Cls
Dim z(2,25)
Data 0.06,0.072,0.087,0.103,0.12,0.139,0.164,0.184,0.202,0.225,0.25,0.264,0.275,0.29,0.312,
0.334,0.353,0.375,0.386,0.402,0.421,0.443,0.462,0.48,0.5
Data 0.092,0.086,0.081,0.076.0.085,0.93,0.105,0.127,0.154,0.179,0.202,0.225,0.238,0.254,
0.297,0.326,0.364,0.402,0.427,0.458,0.497,0.535,0.574,0.605,0.658
REM Присваиваем значения X и Y
For x=1 To 2
For y=1 To 25: Read z(x,y): Next y: Next x
REM Вычисление сумм
For y=1 To 25
Sx=Sx+z(1,y): Sx2=Sx2+z(1,y)^2: Sx3=Sx3+z(1,y)^3
Sx4=Sx4+z(1,y)^4: Sy=Sy+z(2,y): Sxy=Sxy+z(1,y)*z(2,y)
Sx2y=Sx2y+(z(1,y)^2)*z(2,y): Sly=Sly+Log(z(2,y))
Sxly=Sxly+z(1,y)*Log(z(2,y))
Next y
REM Вычисление коэффициентов уравнений
i=25*Sx2-Sx*Sx: i1=(Sy*Sx2-Sxy*Sx)/i: i2=(Sxy*25-Sx*Sy)/i
j=25*Sx2*Sx4+Sx*Sx3*Sx2*2-Sx2^3-Sx4*Sx^2-25*Sx3^2
j1=(Sx*Sx3*Sx2y+Sx2*Sx3*Sxy+Sy*Sx2*Sx4-Sy*Sx3^2-
-Sx2y*Sx2^2-Sx*Sx4*Sxy)/j
j2=-(25*Sx3*Sx2y+Sxy*Sx2^2+Sx*Sx4*Sy-Sx2*Sx3*Sy-
-Sx*Sx2*Sx2y-25*Sx4*Sxy)/j
j3=(25*Sx2*Sx2y+Sx*Sx2*Sxy+Sx*Sx3*Sy-Sy*Sx2^2-Sx2y*Sx^2-
-25*Sx3*Sxy)/j
k1=(Sly*Sx2-Sxly*Sx)/i: k2=(25*Sxly-Sly*Sx)/i
REM Вычисление коэффициентов корреляции и детерминированности
For y=1 To 25
r1=r1+(z(1,y)-Sx/25)^2: r2=r2+(z(2,y)-Sy/25)^2
r=r+(z(1,y)-Sx/25)*(z(2,y)-Sy/25)
zt1(1,y)=i1+i2*z(1,y)
zt2(1,y)=j1+j2*z(1,y)+j3*(z(1,y))^2
zt3(1,y)=k1*(z(1,y))^k2
Sost1=Sost1+(zt1(1,y)-z(1,y))^2
Sost2= Sost2+(zt2(1,y)-z(1,y))^2
Sost3= Sost3+(zt3(1,y)-z(1,y))^2
Sreq1=Sreq1+(zt1(1,y)-Sey/25)^2
Sreq2=Sreq2+(zt2(1,y)-Sey/25)^2
Sreq3=Sreq3+(zt3(1,y)-Sey/25)^2
Spoln1=Sreq1+Sost1
Spoln2=Sreq2+Sost2
Spoln3=Sreq3+Sost3
R2(1)=1- Sost1/ Spoln1
R2(2)=1- Sost2/ Spoln2
R2(3)=1- Sost3/ Spoln3
Next y
REM Вывод ответов на экран
Print " i1 i2 j1 j2 j3 k1 k2"
Print Using "#.####; ";i1;i2;j1;j2;j3;Exp(k1);k2: Print
Print " R2(1) = "; Using "#.###"
Print " R2(2) = "; Using "#.###"
Print " R2(3) = "; Using "#.###"
Print "Коэффициент корреляции r ="; Using "#.####"; r/Sqr(r1*r2)
End
Ответы на экране
i1 i2 j1 j2 j3 k1 k2
-0.0816; 1.3294; 0.0673; -0.0912; 2.5818; 1.1266; 1,1102
R2(1) = 0.947
R2(2) = 0.998
R2(3)= 0.882
Коэффициент корреляции r =0.9732
Вычисление коэффициентов выбранных эмпирических функций в excel
1.Алгоритм вычисления и расчетные формулы
Построение эмпирических формул состоит из двух этапов: выяснение общего вида этой формулы и определение ее наилучших параметров.
В случае линейной зависимости Y=а1+а2Х , где а1 и а2 – коэффициенты, которые необходимо найти для получения аппроксимирующей прямой, при помощи метода наименьших квадратов можно составить систему уравнений:
где n=25, а1 и а2 – неизвестные, а суммы Хi и Yi дают конкретные значения коэффициентов и свободных членов в сист линейных уравнений.
Эта линейная система может быть решена любым известным методом (Гаусса, методом интеграции, по формулам Крамара и т.д.).
В случае квадратичной зависимости Y=a1+a2X+a3X2 примет вид:
,
,
где n=25, a1, а2 и а3 – неизвестные коэффициенты.
Решая эту систему, мы находим неизвестные коэффициенты и получаем аппроксимирующую кривую.
В случае когда в качестве эмпирической зависимости мы берем функцию в которой неопределенные коэффициенты входят не линейно, функцию необходимо линеаризировать. К числу таких функций относится: Y=a1Xa2
Где а1 и а2 – коэффициенты которые необходимо численно определить.
Линеаризация достигается путем логарифмирования уравнения, в результате чего получим:
Ln Y=ln a1 + a2ln X, обозначая ln Y =z, ln a1=C, ln X=t, тогда зависимость может быть записана в виде z=C+a2t. Для этой зависимости составляем систему:
где n=25 и С=Ln а1
а1=еb, тогда вычислив а1 и а2 мы получим аппроксимирующую кривую.
2.Аппроксимация функции Kпр=F(Jрi) многочленом первой степени Kпр=а1+а2Jрi
Cоставим уравнение аппроксимированной прямой:
Чтобы составить уравнение аппроксимированной прямой необходимо найти коэффициенты А1 и А2. Для этого нужно составить и решить систему линейных уравнений:
,
где n=25
Найдем значение сумм чтобы составить эту систему:
Таблица 3
|
Jрi |
Kпрi |
Jрi^2 |
JрiKпрi |
|||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
0,06 |
0,092 |
0,003 |
0,005 |
|||||
|
0,072 |
0,086 |
0,005 |
0,006 |
|||||
|
0,087 |
0,081 |
0,007 |
0,007 |
|||||
|
0,103 |
0,076 |
0,010 |
0,007 |
|||||
|
0,12 |
0,085 |
0,014 |
0,010 |
|||||
|
0,139 |
0,093 |
0,019 |
0,012 |
|||||
|
0,164 |
0,105 |
0,026 |
0,017 |
|||||
|
0,184 |
0,127 |
0,033 |
0,023 |
|||||
|
0,202 |
0,154 |
0,040 |
0,031 |
|||||
|
0,225 |
0,179 |
0,050 |
0,040 |
|||||
|
0,25 |
0,202 |
0,062 |
0,050 |
|||||
|
0,264 |
0,225 |
0,069 |
0,059 |
|||||
|
0,275 |
0,238 |
0,075 |
0,065 |
|||||
|
0,29 |
0,254 |
0,084 |
0,073 |
|||||
|
0,312 |
0,297 |
0,097 |
0,092 |
|||||
|
0,334 |
0,326 |
0,111 |
0,108 |
|||||
|
0,353 |
0,364 |
0,124 |
0,128 |
|||||
|
0,375 |
0,402 |
0,140 |
0,150 |
|||||
|
0,386 |
0,427 |
0,148 |
0,164 |
|||||
|
0,402 |
0,458 |
0,161 |
0,184 |
|||||
|
0,421 |
0,497 |
0,177 |
0,209 |
|||||
|
0,443 |
0,535 |
0,196 |
0,237 |
|||||
|
0,462 |
0,574 |
0,213 |
0,265 |
|||||
|
0,48 |
0,605 |
0,230 |
0,290 |
|||||
|
0,5 |
0,656 |
0,25 |
0,328 |
|||||
|
Jрi |
Kпрi |
Jрi 2 |
( JрiKпрi) |
|||||
|
6,903 |
7,138 |
2,356 |
2,570 |
|||||
C |
|
|
B |
|
|||||
25 |
6,903 |
|
7,138 |
|
|||||
6,903 |
2,356 |
|
2,570 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
C-1 |
|
|
A |
|
|||||
0,209 |
-0,612 |
|
-0,081 |
|
|||||
-0,612 |
2,218 |
|
1,329 |
|
|||||
Составим систему и решим ее с помощью матриц по формуле А=C-1*В:
В матрице А вычислили коэффициенты А1=-0,081 и А2=1,329 . Подставим эти коэффициенты в многочлен первой степени и получим формулу аппроксимированной прямой K=-0,081+1,329*Ji.
3.Аппроксимация функции Kпрi=F(Jpi) многочленом второй степени Kпрi=A1+A2*Jрi+А3*J2
Cоставим уравнение аппроксимированной линии:
Чтобы составить уравнение аппроксимированной линии необходимо найти коэффициенты А1, А2 и А3. Для этого нужно составить и решить систему линейных уравнений:
,
,
где n=25
Найдем значение суммы чтобы составить эту систему:
Таблица 4
Jрi |
Kпрi |
Jрi^2 |
Jрi^3 |
Jрi^4 |
JрiKпрi |
Jрi^2Kпрi |
0,060 |
0,092 |
0,003 |
0,0002 |
0,00001 |
0,005 |
0,0003 |
0,072 |
0,086 |
0,005 |
0,0003 |
0,00002 |
0,006 |
0,0004 |
0,087 |
0,081 |
0,007 |
0,0006 |
0,00005 |
0,007 |
0,0006 |
0,103 |
0,076 |
0,010 |
0,0010 |
0,0001 |
0,007 |
0,0008 |
0,120 |
0,085 |
0,014 |
0,001 |
0,0002 |
0,010 |
0,001 |
0,139 |
0,093 |
0,019 |
0,002 |
0,0003 |
0,012 |
0,001 |
0,164 |
0,105 |
0,026 |
0,004 |
0,0007 |
0,017 |
0,002 |
0,184 |
0,127 |
0,033 |
0,006 |
0,001 |
0,023 |
0,004 |
0,202 |
0,154 |
0,040 |
0,008 |
0,001 |
0,031 |
0,006 |
0,225 |
0,179 |
0,050 |
0,011 |
0,002 |
0,040 |
0,009 |
0,250 |
0,202 |
0,062 |
0,015 |
0,003 |
0,050 |
0,012 |
0,264 |
0,225 |
0,069 |
0,018 |
0,004 |
0,059 |
0,015 |
0,275 |
0,238 |
0,075 |
0,020 |
0,005 |
0,065 |
0,017 |
0,290 |
0,254 |
0,084 |
0,024 |
0,007 |
0,073 |
0,021 |
0,312 |
0,297 |
0,097 |
0,030 |
0,0094 |
0,092 |
0,028 |
0,334 |
0,326 |
0,111 |
0,037 |
0,012 |
0,108 |
0,036 |
0,353 |
0,364 |
0,124 |
0,043 |
0,015 |
0,128 |
0,045 |
0,375 |
0,402 |
0,140 |
0,052 |
0,019 |
0,150 |
0,056 |
0,386 |
0,427 |
0,149 |
0,057 |
0,022 |
0,164 |
0,063 |
0,402 |
0,458 |
0,161 |
0,064 |
0,026 |
0,184 |
0,074 |
0,421 |
0,497 |
0,177 |
0,074 |
0,031 |
0,209 |
0,088 |
0,443 |
0,535 |
0,196 |
0,086 |
0,038 |
0,237 |
0,104 |
0,462 |
0,574 |
0,213 |
0,098 |
0,045 |
0,265 |
0,122 |
0,480 |
0,605 |
0,230 |
0,110 |
0,053 |
0,290 |
0,139 |
0,500 |
0,656 |
0,250 |
0,125 |
0,062 |
0,328 |
0,164 |
Jрi |
Kпрi |
Jрi 2 |
Jрi 3 |
Jрi 4 |
( Jрi Kпрi) |
( Jрi 2 Kпрi) |
6,903 |
7,138 |
2,356 |
0,898 |
0,365 |
2,570 |
1,019 |
Составим систему и решим ее с помощью матриц по формуле А=C-1*В:
|
C |
|
|
B |
25 |
6,903 |
2,356 |
|
7,138 |
6,903 |
2,356 |
0,898 |
|
2,570 |
2,356 |
0,898 |
0,365 |
|
1,019 |
|
|
|
|
|
|
C-1 |
|
|
A |
0,731 |
-5,593 |
9,052 |
|
0,067 |
-5,593 |
49,750 |
-86,382 |
|
-0,091 |
9,052 |
-86,382 |
156,985 |
|
2,581 |
В матрице А вычистились коэффициенты А1=0,067 А2=-0,091 и А3=2,581. Подставим эти коэффициенты в многочлен второй степени и получим формулу аппроксимированной прямой K=0,067-0,091*Ji+2,581*Ji2.
4. Аппроксимация функции Kпрi=F(Jрi) степенной
зависимостью Kпрi=A1* JiА2
Составим уравнение аппроксимированной линии:
Чтобы составить уравнение аппроксимированной линии необходимо найти коэффициенты А1 и А2. Для этого нужно составить и решить систему линейных уравнений Ln K=ln a1 + a2ln J, обозначая ln K =z, ln a1=C, lnJ=t, тогда зависимость может быть записана в виде z=C+a2t. Для этой зависимости составляем систему:
где
n=25
и С=LnA1
Найдем значение сумм чтобы составить эту систему:
Таблица 5
Jрi |
Kпрi |
Z |
t |
t^2 |
zt |
|||||||
0,06 |
0,092 |
-2,386 |
-2,813 |
7,915 |
6,713 |
|||||||
0,072 |
0,086 |
-2,453 |
-2,631 |
6,923 |
6,455 |
|||||||
0,087 |
0,081 |
-2,513 |
-2,442 |
5,963 |
6,137 |
|||||||
0,103 |
0,076 |
-2,577 |
-2,273 |
5,167 |
5,858 |
|||||||
0,12 |
0,085 |
-2,465 |
-2,120 |
4,496 |
5,227 |
|||||||
0,139 |
0,093 |
-2,375 |
-1,973 |
3,894 |
4,687 |
|||||||
0,164 |
0,105 |
-2,254 |
-1,808 |
3,268 |
4,075 |
|||||||
0,184 |
0,127 |
-2,064 |
-1,693 |
2,866 |
3,493 |
|||||||
0,202 |
0,154 |
-1,871 |
-1,599 |
2,558 |
2,992 |
|||||||
0,25 |
0,202 |
-1,599 |
-1,386 |
1,922 |
2,217 |
|||||||
0,264 |
0,225 |
-1,492 |
-1,332 |
1,774 |
1,987 |
|||||||
0,275 |
0,238 |
-1,435 |
-1,291 |
1,667 |
1,853 |
|||||||
0,29 |
0,254 |
-1,370 |
-1,238 |
1,532 |
1,696 |
|||||||
0,312 |
0,297 |
-1,214 |
-1,165 |
1,357 |
1,414 |
|||||||
0,334 |
0,326 |
-1,121 |
-1,097 |
1,203 |
1,229 |
|||||||
0,353 |
0,364 |
-1,011 |
-1,041 |
1,084 |
1,052 |
|||||||
0,375 |
0,402 |
-0,911 |
-0,981 |
0,962 |
0,894 |
|||||||
0,386 |
0,427 |
-0,851 |
-0,952 |
0,906 |
0,810 |
|||||||
0,402 |
0,458 |
-0,781 |
-0,911 |
0,830 |
0,712 |
|||||||
0,421 |
0,497 |
-0,699 |
-0,865 |
0,748 |
0,605 |
|||||||
0,443 |
0,535 |
-0,625 |
-0,814 |
0,663 |
0,509 |
|||||||
0,462 |
0,574 |
-0,555 |
-0,772 |
0,596 |
0,429 |
|||||||
0,48 |
0,605 |
-0,503 |
-0,734 |
0,539 |
0,369 |
|||||||
0,5 |
0,656 |
-0,422 |
-0,693 |
0,480 |
0,292 |
|||||||
Jрi |
Kпрi |
Z |
t |
t^2 |
zt |
|
||||||
6,903 |
7,138 |
-37,268 |
-36,117 |
61,537 |
64,271 |
|
||||||
Составим систему и решим ее с помощью матриц по формуле А=C-1*В:
C |
|
|
B |
25,00 |
-36,12 |
|
-37,27 |
-36,12 |
61,54 |
|
64,27 |
C-1 |
|
|
A |
0,26 |
0,15 |
|
0,12 |
0,15 |
0,11 |
|
1,11 |
В матрице А вычислялись коэффициенты С=0,12 и А2=1,11, коэффициент А1=EXP(C).
A1 |
1,126 |
Подставим эти коэффициенты в многочлен второй степени и получим формулу аппроксимированной прямой K=1,126*J1,11.