Глава XII. Числовые и функциональные ряды. § 12.1. Числовые ряды.

Выражение вида:

, где

называется числовым рядом. Если , то ряд называется знакопостоянными.

Сумма первых членов ряда называется частичной суммой: .

Ряд называется сходящимся, если существует , в противном случае – расходящимся. Ряды чаще всего исследуются на сходимость с помощью признаков сходимости.

Для знакопостоянных рядов наиболее применимы следующие:

1. необходимый признак сходимости ряда:

если , то ряд расходится, при – ответ дать нельзя;

2. признак Даламбера:

3. признаки сравнения;

4. признак Коши: Если сходится, то и ряд сходится; если интеграл расходится, то и ряд расходится. Функция строится по формуле – общего члена ряда:

, , … , , …

Замечание: 1. Ряд вида называется гармоническим. При ряд сходится, при – расходится.

2. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии сходится при , и расходится, если .

§ 12.2. Функциональные ряды.

Ряд Тейлора для функции :

Глава XIII. Аналитическая геометрия. § 13.1. Аналитическая геометрия на плоскости.

Любая линия на плоскости задается уравнением . Для нахождения точек пересечения её с осью Ох надо решить уравнение , аналогично с осью Оу: . Если какое-либо из уравнений решений не имеет, то точек пересечения с соответствующей осью нет.

Для нахождения точек пересечения двух линий и необходимо решить систему из уравнений, т.е.

Универсальным способом задания прямой на плоскости является общее уравнение прямой на плоскости: , где , одновременно не обращаются в ноль. Для описания не вертикальных прямых часто используется уравнение прямой с угловым коэффициентом: , . Если две прямые заданы уравнениями в этой форме, т.е. и , то они параллельны, если , и перпендикулярны при .

Любое алгебраическое уравнение второй степени относительно и описывает на плоскости кривую второго порядка.

К основным из них относятся:

1. окружность: ,

2. эллипс: ,

3. гипербола: , или развернутая, когда асимптотами являются оси координат: ,

4. парабола: или , .

§ 13.2. Аналитическая геометрия в пространстве.

Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору :

.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки , и , не лежащие на одной прямой:

Уравнения координатных плоскостей:

плоскость XOY ~ ; плоскость XOZ ~ ; плоскость YOZ ~ .

Глава XIV. Теория вероятностей. § 14.1. Случайные события.

Классическое определение вероятности:

Вероятностью события называется отношения числа благоприятных исходов событию к общему числу равновозможных событий, образующих полную группу, т.е.

, при этом очевидно: .

События называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого.

События называются независимыми, если вероятность наступления одного из них не влияет на вероятность наступления другого.

Теоремы сложения и умножения вероятностей:

– для независимых событий и .

– для зависимых событий и .

– для несовместных событий и .

– для совместных событий и .