- •Контрольная работа № 2
- •Раздел IV. Введение в математический анализ
- •Глава 6. Пределы и непрерывность
- •6.1. Предел функции. Бесконечно большие и бесконечно малые величины и их свойства
- •Свойства бесконечно малых функций
- •Свойства бесконечно больших функций
- •6.2. Теоремы о пределах.
- •6.3. Способы раскрытия неопределённостей вида и
- •6.4. Первый и второй замечательные пределы
- •6.5. Непрерывность функции. Точки разрыва
- •Примеры решения типовых задач
- •Контрольный тест по после изучения раздела IV «Введение в математический анализ»
- •Раздел V. Дифференциальное исчисление одной переменной
- •Глава 7. Производная
- •7.1. Задачи, приводящиеся к понятию производной
- •7. 2. Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •7.3. Основные правила дифференцирования. Таблица производных
- •Правила дифференцирования
- •7.4. Дифференцирование сложной функции
- •7.5. Дифференцирование функции, заданной неявно
- •7.6. Дифференцирование степенно-показательной функции
- •7.7. Дифференциал функции
- •Примеры решения типовых задач
- •Контрольный тест после изучения главы 7 «Производная»
- •Глава 8. Приложения производной
- •8.1. Признаки возрастания и убывания функции
- •8.2. Экстремум функции
- •8.3. Выпуклость функции. Точки перегиба
- •8.4. Асимптоты графика функции
- •8.5. Схема полного исследование функции методами дифференциального исчисления и построения её графика
- •Пример решения типовой задачи
- •Контрольный тест после изучения главы 8 «Приложения производной»
- •Раздел VI. Функции нескольких переменных
- •Глава 9. Функция двух переменных
- •9.1. Основные определения
- •9.2. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •9.3. Частные производные и полный дифференциал функции двух переменных
- •Пример решения типовой задачи
- •Контрольный тест после изучения главы 9 « Функция двух переменных»
- •Задания для контрольной работы № 2
- •Контрольные вопросы к аттестации по предмету
7.4. Дифференцирование сложной функции
Пусть , где , причем и - дифференцируемые функции. Тогда будет сложной функцией , дифференцируемой по переменной х.
Теорема. Если существуют производные функций и , где , то сложная функция имеет производную в точке , которая вычисляется по формуле:
Здесь х - независимая переменная, а и - промежуточная переменная. Таким образом производная по независимой переменной равна произведению производной функции по промежуточной переменной и производной промежуточной переменной по независимой переменной.
Пример. Вычислить производную функции:
Решение:
Записываем данную функцию в виде степени: и вычисляем:
.
7.5. Дифференцирование функции, заданной неявно
Рассмотрим случай неявно заданной функции, т.е. когда функция задаётся равенством вида . Если в это равенство подставить числовое значение и решить полученное уравнение относительно у, то при определённых условиях можно получить явное значение функции .
Например, равенство определяет явно заданную функцию . Ясно, что не всегда удаётся однозначно выразить у из равенства . Так, например, равенство определяет две явно заданные функции и . Во многих случаях бывает трудно аналитически (в виде формулы) выразить явно у, а иногда и невозможно (например, в случае ).
Для того чтобы найти производную неявной функции, необходимо найти производную от каждого слагаемого функции, учитывая, что у - это есть сложная функция от переменной х, а затем выразить .
Пример. Вычислить производную неявно-заданной функции: .
В данном случае зависимость между аргументом х и функцией у задана уравнением, которое не разрешено относительно функции у. Чтобы найти производную у', следует дифференцировать по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение решить относительно искомой производной у'. Имеем
Из полученного равенства, связывающего х, у, и у', находим производную у':
откуда
7.6. Дифференцирование степенно-показательной функции
Для того чтобы найти производную степенно-показательной функции, достаточно дифференцировать ее вначале как степенную, а затем как показательную и полученный результаты сложить.
Пусть .
Найдем .
Учитывая что , получим после преобразований:
Пример. Вычислить производную функции:
Решение.
7.7. Дифференциал функции
Определение. Дифференциалом функции называется главная часть приращения функции, линейная относительно .
Дифференциал функции принято обозначать символом . Таким образом, из определения имеем:
(7.2)
.
Тогда равенство (1) примет вид
т.е. дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал аргумента.
Формула для вычисления приближённых значений имеет вид:
Примеры решения типовых задач
№ 1. Найти производные следующих функций:
а) , б) , в) , г) ,
д) , е) .
Решение:
а) Перепишем данную функцию, записав слагаемые в виде степени:
.
.
б) Данная функция является показательной, следовательно по формуле
посчитаем производную:
в) Применив формулу , находим:
.
г) Дифференцируя функцию как сложную, находим производную:
д) В соответствии с формулой получаем:
.
е) По аналогии с примером в) находим:
.
№ 2. Вычислить приближённое значение .
Решение
1. Пусть , тогда получим функцию . Представим в следующем виде: , тогда и .
2. Найдём и :
3.
.