Контрольный тест после изучения главы 7 «Производная»

1. Какое из ниже перечисленных предложений определяет производную функции (когда приращение аргумента стремится к нулю)?

а) Отношение приращения функции к приращению аргумента;

б) предел отношения функции к приращению аргумента;

в) отношение предела функции к аргументу;

г) предел отношения приращения функции к приращению аргумента.

2. Первая производная функции показывает:

а) скорость изменения функции; б) направление функции;

в) приращение функции; г) приращение аргумента функции.

3. Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в некоторой точке, равен:

а) отношению значения функции к значению аргумента в этой точке;

б) значению производной функции в этой точке;

в) значению функции в этой точке;

г) значению тангенса производной функции в этой точке.

4. Укажите ВСЕ верные утверждения: если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке …

а) можно провести касательную к графику функции;

б) нельзя провести касательную к графику функции;

в) функция непрерывна;

г) функция имеет экстремум.

5. Дифференциал функции равен:

а) отношению приращения функции к приращению аргумента;

б) произведению приращения функции на приращение аргумента;

в) произведению производной на приращение аргумента;

г) приращению аргумента.

6. Дифференциал постоянной равен…

а) этой постоянной;

б) произведению данной постоянной на величину dx;

в) бесконечно большой величине;

г) нулю.

7. Укажите функции, для которых существует конечная производная в каждой точке числовой оси:

а) y = lnx; б) y = |sinx|; в) y = x³; г) y = 3x.;

8. Если функция у(х) непрерывна на [a;b], дифференцируема на (a;b) и y(a) = y(b), то на (a;b) можно найти хотя бы одну точку, в которой:

а) функция не определена;

б) производная функции не существует;

в) нельзя провести касательную к графику функции;

г) производная функции обращается в ноль.

9. Какое из следующих утверждений верно для любой линейной функции?

а) дифференциал функции равен приращению функции;

б) дифференциал функции равен приращению аргумента;

в) дифференциал функции – это постоянная величина;

г) дифференциал функции равен производной этой функции.

10. Какое из следующих утверждений верно для нелинейной функции?

а) дифференциал функции равен производной этой функции;

б) дифференциал функции равен приращению аргумента;

в) дифференциал функции равен части приращения функции;

г) дифференциал функции – это постоянная величина.

Глава 8. Приложения производной

8.1. Признаки возрастания и убывания функции

Определение. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b] и x₁, x₂ – любые две точки этого отрезка, для которых выполнено условие x₁<x₂. Функцию f(x) называют на [a,b]:

1) возрастающей, если f(x₁) < f(x₂); 2) неубывающей, если f(x₁)  f(x₂);

3) убывающей, если f(x₁) > f(x₂);4) невозрастающей, если f(x₁)  f(x₂).

Во всех четырех случаях функцию называют монотонной на [a,b], причем в случаях 1) и 3) говорят, что функция строго монотонна, а в случаях 2) и 4) – просто монотонна.

Замечание. Для возрастающей функции приращение аргумента и соответствующее приращение функции имеют одинаковый знак, поэтому . Для убывающей функции и имеют разные знаки, поэтому .

Теорема (признак монотонности функции).Пусть функция f(x) дифференцируема на [a,b] и . Тогда функция f(x)-неубывающая (невозрастающая) на отрезке [a,b].

Теорема (необходимый и достаточный признак возрастания (убывания) функции). Для того чтобы функция возрастала (убывала) в точке и на интервале , необходимо и достаточно, чтобы производная первого порядка функции была положительной (отрицательной), т.е. или ,( или ).

Схема исследование дифференцируемой функции на возрастание и убывание функции

1) Находим точки из области определения функции f(x), в которых производная функции равна нулю или не существует. Эти точки называют критическими точками 1-го рода, они разбивают область определения функции f(x) на интервалы монотонности (т.к. на каждом из них производная сохраняет знак).

2) Исследуем знак на каждом из этих интервалов. Если на рассматриваемом интервале то это интервал возрастания, если же , то это интервал убывания.

Пример. Найти интервалы монотонности функции .

Область определения функции: . Её производная существует в области определения функции f(x) и при .

Точки (1), 0, 1 разделяют область определения функции на интервалы, которые отмечены на рисунке.

Нетрудно исследовать знак производной, вычислив ее значение в «удобных» контрольных точках внутри каждого интервала. Итак, функция возрастает на интервалах и убывает на интервалах и (0,1).