Передаточные функции и построенные по ним асимптотические лачх

Построение желаемой ЛАЧХ

Для построения желаемой ЛАЧХ необходимо определить координаты рабочей точки. Рабочая частота определяется по закону входного воздействия. В данном случае этот закон неизвестен, но заданы значения максимальной скорости и максимального ускорения , которые должна развивать система. Это позволяет рассчитать некоторый эквивалентный закон гармонического входного воздействия:

где - амплитуда входного гармонического воздействия;

- рабочая частота.

Возьмем первую и вторую производную и приравняем их амплитуды к максимальной скорости и ускорению соответственно:

Для решение данной системы разделим уравнение (2) на уравнение (1) и найдем частоту и амплитуду:

с^-1

рад

Таким образом эквивалентный закон гармонического входного воздействия будет:

Теперь необходимо определить коэффициент передачи на рабочей частоте. Изображение ошибки имеет вид:

, где- передаточная функция ошибки.

Так как ошибка определяется в установившемся режиме, то . Воспользуемся теоремой о конечном значении функции на рабочей частоте. При этом последнее равенство примет вид:

Так как модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы, как правило, много больше единицы, то амплитуду ошибки запишем так:

Таким образом коэффициент передачи на рабочей частоте определяется выражением:

дБ

Желаемая ЛАЧХ строится по отдельным частотным диапазонам, которые условно делятся на низкочастотный, среднечастотный и высокочастотный.

Низкочастотный диапазон. Требование постоянства скорости и постоянства ошибки приводит к изменению амплитуды от рабочей точки в область низких частот с наклоном -1 (20 дБ/дек). Требование постоянства ускорения при постоянной ошибке вызывает изменение амплитуды с ростом частоты с наклоном -2 (40 дБ/дек). Область, находящаяся ниже этих двух асимптот, является запретной (т.к. значения коэффициента передачи не удовлетворяют требованиям максимальной скорости и максимального ускорения). Таким образом низкочастотная асимптота желаемой ЛАЧХ проводится выше рабочей точки, в данном случая на 4,5 дБ.

Среднечастотный диапазон.Для построения среднечастотной асимптоты необходимо рассчитать частоту среза. Она определяется исходя из требуемых показателей качества. Так как, тос^-1

Через это значение частоты проводится среднечастотная асимптота, которая может идти только под наклоном -1: наклон -2 на частоте среза дает значение фазы -180 и отрицательная обратная связь становится положительной, а система неустойчивой; наклон 0 ведет к неопределенности расположения частоты среза и, следовательно, определения запасов устойчивости. Для удовлетворительных показателей коэффициента перерегулирования, протяженность среднечастотной асимптоты должна быть такой, чтобы её уровень коэффициента передачи составлял 10-16 дБ. В данном случае он составляет 15,2 дБ (а в сторону области высоких частот -14 дБ). Низкочастотную и среднечастотную асимптоты необходимо сопрячь асимптотой с наклоном -2 (или -3, но не более).

Высокочастотный диапазон.В области высоких частот асимптоты располагаются ниже и параллельно ЛАЧХ исходной нескорректированной системы. Высокочастотная часть влияет на запасы устойчивости, но из-за удаленности частот сопряжения отэто влияние незначительно. Так как, то этой составляющей можно пренебречь.

После построения желаемой ЛАЧХ необходимо найти ее передаточную функцию. Для этого требуется определить частоты сопряжения.

с^-1 c

с^-1 c

с^-1 c

Построение исходной ЛАЧХ

Передаточная функция исходной разомкнутой системы определяется следующим образом:

Для построения ЛАЧХ исходной системы требуется определить ее частоты сопряжения и коэффициент передачи:

с^-1

с^-1

с^-1

дБ

Построение неизменяемой ЛАЧХ

Коэффициент передачи на рабочей частоте исходной системы много меньше коэффициента передачи желаемой системы, следовательно, система с выбранными параметрами элементов не обеспечит требуемую точность. Таким образом необходимо исходную ЛАЧХ переместить параллельно самой себе до совпадения с низкочастотной асимптотой желаемой ЛАЧХ. Полученная ЛАЧХ называется неизменяемой и ее передаточная функция запишется в виде:

где

Проверим устойчивость неизменяемой системы. Для этого, используя программу МВТУ, построим ее ЛАЧХ и ЛФЧХ для проверки запасов устойчивости по амплитуде и по фазе:

, с^-1	Lm(), дБ	, ^0	Проверка устойчивости неизменяемой САУ показала, что система не имеет запасов устойчивости как по фазе, так и по амплитуде.
21.0863	15.7835	-180.017
50.4894	0.00030741	-204.6

Таким образом, для достижения устойчивости системы необходимо ввести параллельное корректирующее устройство.

Построение ЛАЧХ корректирующего устройства