книги из ГПНТБ / Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие

У Д К 519.95 (075.2)

п р и е м ы в ы ч и с л и т е л ь н о й м а т е м а т и к и . П о с о б и е со­

П Р Е Д И С Л О В ИЕ

Бурное развитие современной техники и все большее внед­ рение современных разделов математики в инженерные иссле­ дования повысили требования к математической подготовке инженеров вообще и к умению владеть методами и приемами вычислительной математики — в частности, так как. решение инженерной задачи должно быть доведено до численного ре­ зультата.

Мощная вычислительная техника наших дней может быть разумно'использована только мри умелом,применении методов приближенного и численного анализа.

В нашей стране издано несколько книг, посвященных ши­ рокому кругу вычислительных вопросов, однако все они, как правило, слишком объемны, и пользоваться ими трудно.

Настоящее пособие содержит 9 глав, в начале которых да­ ются необходимые теоретические сведения, приводятся пол­ ные доказательства, примеры.

Поскольку одной из форм изучения приближенных методов математики и техники работы на вычислительных машинах являются лабораторные работы, то в конце каждой главы при­ водится описание выполнения лабораторной работы по соот­ ветствующему разделу.

Абсолютной погрешностью или абсолютной ошибкой при­ ближенного числа а называется величина

А = | а0 — а | .

Так как в практических задачах точное значение а0 обычно неизвестно, то остается неизвестной и абсолютная погрешность. Однако в каждой задаче благодаря ее специфике возникает уверенность в том, что абсолютная погрешность принятого на- л;п приближенного числа не превосходит некоторого значения Аа > (•):

ний из всего этого множества чисел нужно выбирать как мож­ но меньшее. .

Вопросы такого выбора Аа являются предметом теории обработки результатов измерений и здесь не рассматриваются. Найденное таким образом число Аа называется предельной абсолютной погрешностью и применяется в расчетах вместо точного значения абсолютной погрешности А.

Знание одной только абсолютной погрешности недостаточ­ но для характеристики точности результата, если не указан сам результат. Например, пусть абсолютная погрешность при измерении напряжения составляет 1 мВ. Если измерялось на­ пряжение для питания РЛС, то измерение проведено очень точ­ но, но, если измерялось напряжение приемного локационного сигнала, равное, допустим, 2 мВ, то ошибка измерения слиш­ ком велика. Поэтому для характеристики точности вычислений вводится понятие относительной погрешности.

Относительной погрешностью приближенного числа а на­ зывается отношение его абсолютной погрешности к абсолют­ ной величине-самого числа:

Точное значение 3, как и А, неизвестно, и при расчетах применяется значение предельной относительной погрешности оа , удовлетворяющей неравенству

Относительная погрешность — величина безразмерная. В технических приложениях она приводится, как правило, в про­

Замечание. В дальнейшем при употреблении терминов «аб­ солютная и относительная погрешность» будем иметь і і виду предельные значения этих погрешностей.

§ 1.3. Д Е С Я Т И Ч Н А Я З А П И С Ь П Р И Б Л И Ж Е Н Н Ы Х Ч И С Е Л . З Н А Ч А Щ И Е Ц И Ф Р Ы Ч И С Л А

В системе счисления с основанием q всякое положительное число а может быть представлено в виде конечной или беско­ нечной дроби:

где а,- — целые положительные числа (0 < а,- < q), назы­ ваемые цифрами числа а, причем а0 ф 0. Число п называете! старшим десятичным разрядом числа а.

Ш 1 = 1 • 23 + 1 • Т + 1 • 21 + 1 • 2° ,

иэто же число в десятичной системе равно 15.

Ввычислительной практике оперируют с приближенными числами, записанными с помощью конечного числа разрядов.

Из этого примера видно, что при позиционной записи при­ ближенных чисел могут возникнуть неясности по поводу коли­ чества значащих цифр. Поэтому для чисел, содержащих незна­ чащие нули, удобна следующая запись:

127 000= 1,27 • 105, если значащих цифр три; 127 000= 1,270 • 105, если значащих цифр четыре;

0,00412 = 4,1210~3, так как нули в начале числа всегда не­ значащие цифры, они не участвуют в десятичной записи числа

КФ о).

§ 1.4. О К Р У Г Л Е Н И Е Ч И С Е Л

Если число а, содержащее п значащих цифр, нужно при­ ближенно заменить числом а,\ с меньшим количеством знача­ щих цифр, то а\ выбирают так, чтобы погрешность округления Д„= ! а1 — а | была минимальной.

Правило округления. Чтобы округлить число до п знача­ щих цифр, отбрасывают все цифры, стоящие справа от п-к значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разря­ дов, заменяют их нулями. При этом:

1) Если первая из отброшенных цифр меньше 5, то остав­ шиеся десятичные знаки сохраняются без изменения:

3.2499 % 3,2; Л0 = 0,0499 .

2) Если первая из отброшенных цифр больше 5, то к по­ следней из оставшихся цифр прибавляется единица:

3,2601 ^ ; 3,3; Д0 = 0,0399 .

3) Если первая из отброшенных цифр равна 5 и среди ос­ тальных отброшенных цифр есть ненулевые, то последняя из оставшихся цифр увеличивается на единицу:

3,2501 -5: 3,3; А0 = 0,0499 .

4) Если первая из отброшенных цифр равна 5 и все осталь­ ные отброшенные цифры являются нулями, то последняя из оставшихся цифр сохраняется неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная (правило четной цифры):

3.2500 ^ 3,2; А0 = 0,0500 ;

3,7500 ^ 3,8; Д0 = 0,0500 .

Очевидно, что после округления погрешность округления не

последней оставленной значащей цифрой.

§ 1.5. В Е Р Н Ы Е Ц И Ф Р Ы Ч И С Л А

Всякий инженерный расчет производится с определенной степенью точности, поэтому в приближенных числах нецеле­ сообразно сохранять слишком много значащих цифр. Прибли­ женные числа условились записывать так, чтобы по самому их виду можно было судить о степени их точности. Для этого вво­ дится понятие о верных цифрах (верных десятичных знаках) приближенного числа.

Цифра dk приближенного числа

а = «0 • 10" - f at • 10"-' + . . • 4- ак • 10"-* + . . . + « „ • Ю* ~ т

называется верной, если абсолютная погрешность Аа этого числа не превосходит пяти единиц разряда, следующего за этой цифрой: