Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

15.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3318 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

170 ГЛ. 5. АБЕЛЕВЫ РАСШИРЕНИЯ МНИМЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛЕЙ

(1)

к0К*

— поле модулей

тройки

(А,

(ё,

0);

(2)

К*

— нормальное

расширение

поля

/с0 (~|

К*;

(3)

к0К*

— нормальное

расширение

поля

/с0 ;

(4)

группа Ga\(k0K*/k0)

изоморфна

некоторой

подгруппе

груп

пы

Aat(K/F);

(5)

поле

к0

содержит

наименьшее

подполе

поля

К*,

над

кото

рым К*

нормально.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

£ Aut(C) . Если

существует

изоморфизм

тройки (/1, 4S, 8)

в тройку

(АА,

%А,

0°),

то

силу

(5.5.17)

представление

Ф а

эквивалентно

представлению

и,

•следовательно,

а =

i d на К*. Это значит, что поле к0К*

содержит

ся в поле

модулей

тройки (^4, Ч§, 0).

Пусть т б Aut(C/A;0 ). Тогда

существует некоторый изоморфизм /

тройки

(А,

0') в тройку

(АХ,

%Х ,

0' х ) .

Так как абелево

много

образие А

просто,

то

в(К)

= E n d Q

(^4)

(Шимура

Танияма

[ 1 ,

§ 5.1, стр. 42, предложение 6]). Поэтому можно определить такой

элемент

группы

Aut(K/F),

что

0Т (а)

о / =

/ о 0 (ам-)

для

всех

а б К. Но тогда Ф(а)т

и Ф(а^) имеют одно и то же множество харак

теристических

корней,

так

что

набор

{cpiT,

. . .,

срп т} в

целом

совпадает

набором

{u-cpt,

. . .,

|Хфп}. Следовательно,

( 2 а Ф 0

Т = =

а ^ ф £

для

всех

а £ К,

откуда

К*Т

К*.

Итак,

(3)

доказано.

{х 6 К*

| ха

для

всех

а £ Aut(.K"*)},

то

т =

i d

Еслп

М =

на

для

любого

т £ Aut(C/7e0 ),

так

что

М cz k0.

Этим

доказаны

(5)

(2).

Пусть

теперь

т =

i d

на

К*.

Тогда

набор

{p,cpi,

. . .,

u.cpn}

целом

совпадает

набором

{ф!,

. . .,

ф п } . Пусть

G, Н,

Н*

и S те же, что в

определении

отражения

(К*,

Ф*)

в разделе

А.

Будем

обозначать элементы

группы G, совпадающие с р,, ц>и . . .

. . .,

фп ,

теми

же

буквами. Тогда

\лН — H[i

н | i 5 =

р-#фг

Ярфг

у Яф, =

книге

Шимуры

[ 1 ,

S .

Таииямы

стр.

26] показано,

что

р, 6 Н, откуда

8.2,

69, предложение

\х =

i d

на

К;

следовательно,

/ — изоморфизм

тройки

(А,

тройку

(АХ,

ЧРХ, 0т ).

ЭТО значит, что

композит

к0К*

содержит

поле

модулей тройки (^4, "t?, 0). Утверждение (1) доказано.

Мы уже видели, что т =

i d на к0К*

тогда и только тогда,

когда

:|х =

i d на К.

Поэтому, сопоставляя р, с т, мы получаем изоморфизм

группы

Gal(k0K*/k0)

группу

Aut(K/F).

Q] =

4, то

К*

Например, если поле К

нормально над Q и [К:

является полем того же самого типа, а многообразие А просто (см.

Шимура и Танияма [ 1 , § 8.4,		(2), с), стр. 74). Поэтому, беря в этом
случае в качестве F поле Q, мы получаем в силу (5), что поле моду
лей	пары (A, 4S) содержит	вещественное квадратичное подполе
.поля	К*.

Г Л А В А 6

МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ

§ 6.1. Модулярные функции уровня Ж, получаемые делением эллиптических кривых

А . Функции / „ ( « )

Пусть N — положительное целое число и Г^ = T(N) — глав ная конгруэнц-подгруппа группы Г4 = SL2 (Z) уровня N; она определяется равенством

TN = {у 6 SL2 (Z) | у = 1 2 mod(/V)}.

Мы построим функции, которые порождают поле всех модулярных функций уровня N и хорошо ведут себя при действии преобразова ний группы Ti. Главная идея состоит в рассмотрении точек конеч ного порядка на эллиптической кривой

(6.1.1)

EL: z/2 = 4z3 - g2(L)x

g3(L),

где L — переменная решетка. Если L = Zcot + Zco2 , то очевидно, что каждая точка конечного порядка на Еь может быть записана в виде

	[а Lw2 _ ; ь	) ' г ( ° Ы ;			ь ) ) -
где а £	Q2 , и, обратно, всякая точка		имеет		конечный	порядок	при
любом	а 6 Q2 - В данном случае мы		рассматриваем а			как вектор-
строку. В силу определения		функции		мы видим, что g> [а			;
						\ L f f l 2j
t O i , c o 2 ^	представляет собой	однородную			функцию	степени — 2

от аргументов coj, <в2. Поэтому можно определить три типа функ ций fa = /а, /а, /а на полуплоскости jg следующими равенствами:

/• w - л м	( « ы ; + ) .
лл _ 8з(щ, ta2) m / „ г con .	,, \3
( * = - ^ € € ; a e Q 2 ,	a £ Z * ) .

В частности, можно подставить (z, 1) вместо (©j, со2 ). Мы видим, что эти функции голоморфны на $Q. Так как /(z) = g32/A, то ;'(z) —

172	ГЛ. 6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ
— 1 =	2 7 - ^ / Д ,	так что
(6.1.2)		Ш	=	27(/(z) -	l ) - x / a ( z ) 2 ,
		fa(z)	=	27/(2)-ЧЯ*)	-	l ) " 1 / a ( 2 ) 3 .

Функции / а и fa		играют скорее вспомогательную роль и исполь
зуются лишь в § 6.8.
Пусть
Тогда	v № ,		[ : : ] = т [ : ; ] ,			ч - . ' .
	~соГ	"со;-
				Z ' = Y ( Z ) ,		ZCO1 -}-ZCO2 = ZCOJ-1 -ZOJ2 .
	=	a

-W 2 -

Следовательно, подставляя z' вместо z в /a(z), получаем

(6.1.3) / а о 7 = / а 7 для каждого у £ Тх и каждого а 6 Q2> а (| Z 2 . Так как $ (и; L) = с® (у; L) тогда и только тогда, когда и ==

=± у mod L , то


(6.1.4)		a = ±	Ь mod Z 2 =>/*==/£;
(6.1.5)		fa = fb<^>a		= ± b m o d Z 2 .
Из (6.1.3)	и (6.1.4)	вытекает,		что
(6.1.6) если Na £ Z 2 , mo / j ° 7				= /„	для	всея	7 6 Г у	{ ± 1 } .
Поэтому,	ДЛЯ того	чтобы	убедиться		в	том,	что fa	при а £ 7 V - 1 Z 2

является модулярной функцией уровня ./V, достаточно в силу пред

ложения	2.7 и формулы (6.1.2) показать,	что / а — алгебраический
над С (/)	элемент. В действительности же	мы установим	в теореме
6.6, что	fa — алгебраический над полем	Q(/) элемент.	(Коэффи
циенты	Фурье функции fa будут явно описаны в доказательстве

предложения 6.9.) Предполагая, что этот результат доказан, мы получаем

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.1. Для

каждого

положительного

целого

числа

N поле С (у, / 0 |

а 6 N~XZ2,

a (J Z2 )

является полем

всех модулярных

функций

уровня

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

$Л г

— поле всех

модулярных

функций уровня N.

Тогда

С(/)

с=

С(/,

/ в

| а е N~4\

а £ Z2 ) с=

fijY.

Таким образом,

$ N

является

расширением Галуа поля С(/') с груп

пой Галуа Г У Г Л г - { + 1 } . Поэтому

для

доказательства

достаточно

установить, что если 7 £ Г4

и faoy

для всех

a£N~1Zi,

a $ Z 2 ,

то 7 б r j V

• { + 1 }•

Но

это

немедленно

следует из

формул

(6.1.3),

(6.1.5) и

следующей леммы.

		§ 6.1 МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ УРОВНЯ N		173
ЛЕММА	6.2.	Пусть	а — произвольный автоморфизм	модуля
(Z/NZ)2,	для которого		аи = гии при любом и g Z/NZ)2,	причем
ец = ± 1 -	Тогда	а = ± 1 .

Доказательство очень несложно и предоставляется читателю.

Б. Лола, порожденное точками	конечного	порядка
на эллиптической	кривой

Рассмотрим теперь точки конечного порядка на эллиптической кривой в более непосредственном аспекте, без каких бы то ни было ссылок на комплексные торы или полуплоскость Jg. Пусть

Е: у2 = Ах3 — сгх — с 3 , где с2 и с3 принадлежат С,— эллиптическая кривая, для которой

Aut(2?)

{ +

1};

пусть

НЕ, i — 1, 2, 3,—

функции,

определенные

в § 4.5. Для

простоты

мы пишем h вместо hE.

Для

произвольного

целого положительного

числа N положим

и рассмотрим поле

UJf

6 Е | Nt

Q U E

Ht)

I t e

8N)-

В силу формулы (4.5.4) очевидно, что поле FN

зависит только от N

и класса изоморфизма кривой Е.

Поэтому для изучения

структуры

поля

мы

можем предположить, что кривая Е определена над

Q0JE)I заменив Е на подходящим образом выбранную

изоморфную

кривую. Предположив

это, возьмем произвольный

автоморфизм

поля

С над Q(;Е ) . Тогда Еа

Е и t >—>- ta

является

автоморфизмом

модуля

Здг.

Так

как

группа

изоморфна группе (Z/iVZ)2 , то

группа

всех

автоморфизмов

группы gN

изоморфна GL2 (ZA/VZ).

Поскольку функция h рациональна

над

Q ( / E ) ,

имеет место равен

ство

h(t)a

h(la),

так

что

поле

инвариантно относительно

а.

Поэтому FN

— расширение Галуа поля QO'B). Если а =

i d на

FN,

то h(ta)

h(t), и, следовательно,

силу формулы (4.5.3) Vs =

&tt

при

ег

- ± 1 . В

силу

леммы 6.2 числа е( не зависят от t. Таким

образом,

индуцирует

автоморфизм

+ 1

на g j V ,

если

i d

на FN.

Мы получаем

инъективиый

гомоморфизм

(6.1.7)

G a l ( i V Q ( b ) )

->•

GL 2 (Z/7VZ)/{±1 2 } .

Более точно,

возьмем

два таких

элемента

Ц и if2 группы

QN,

ЧТО

9дг = Ztx + Z?;2.

Для

произвольного

автоморфизма

поля

над

Q(J'E) положим

(6.1.8)

Ч = Pfi

Qh,

q =

rti, +

st2

при

некотором

В = P

<f\

из

M 2 ( Z ) . Тогда

число

det(P) взаимно

7* S

174

ГЛ.

6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ

просто

ограничение

на

соответствует

элементу

± 8 mod (/V). Очевидно,

что

(6.1.9)

h(at±

bt2)a

Ца'Ь

b't2),

если

(а

6)В

= (а'

Ь').

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

6.3. Б

прежних

обозначениях

справедливы

следую

щие

утверждения:

(1)

поле Fx

содержит

первообразный

корень

N-й

степени

из

еди

ницы, скажем число £;

(2)

если

элемент

группы

G&\(FN/Q(i Е))

соответствует

эле

менту

а группы

GL 2 (Z/iVZ),

то

£йе«а)

(заметим,

что

сим

вол £det(«) имеет

смысл);

если

X — некоторая

изогения

кривой

Е на

эллиптическую

кривую

Е', для которой Кег(л-) a Qn,

то

j(E')

£FN.

Кроме того,

если End(£) = Z,

то

j(E')a

= j(E')

для

6 A u t ( C / Q ( b ) )

тогда и

только

тогда,

когда

Кег(Я)°

Кег(Л).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

символ

eN(s,

t),

вве

денный в § 4.3. Для произвольного автоморфизма о поля С над

полем	Q ( / E ) определим				матрицу		В =		, как выше. Положим
t, = eN(ti, t2).			В силу		предложения			4.2
	£а	=	eN(t°,	Щ) =		eN(pU	+	qt2,	rt, +	st2) =
		=	eN(tu	t2r~*r		=
a для	любых	и	и v из		Z справедливо			равенство
			eN(tt,		utx	+ ui 2 ) = eN(tu			t2)v,
так что в силу утверждения						(5) предложения 4.2				число £, = eN(ty, t2)

должно быть первообразным корнем из единицы iV-й степени.

Если а

i d на поле FN,

то В =

± 1 mod(/V),

так что £ а = £,. Это

говорит

том, что

£ 6 FN;

следовательно, верны утверждения (1)

и (2).

Пусть X и Е'

те же, что в (3), и а — снова автоморфизм поля С

надполем QO'E). Тогда Ха является изогеиией кривой Е па кривую

Е°-

Если Кег(л.)а =

Кег(Я.), то кривая Еа

изоморфна

кривой

Е',

так

что j(E')a

j(E'). Последнее

верно, в частности,

тогда когда

о =

i d на

FN,

так

как

этом

случае

± £ для t 6 QN .

Тем

самым установлено включение j(E')

£ FN.

Обратно, предположим,

что

j(E')a

= ](Е')

и End(£) = Z. Тогда

существует

некоторый

изоморфизм

IX кривой Е'

на Е а . Заметим,

что

ц ° X ш Ха являются

элементами группы Hom(Z?, Е а) одной и той же степени

(ср. § 5.1).

Так как Нот(.Е, Еа)

изоморфна

то

\х ° X = ±Ха,

так

что

Кег(Я,) = Кег(Ха)

Ker(A,)f f . Доказательство

утверждения (3)

за

кончено.

§ 6.2. ПОЛЕ МОДУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ УРОВНЯ N

175

6.2.. Поле модулярных функций: уровня JY,

рациональных

над полем Q

(e2ni^N)

Мы

собираемся

связать

воедино

результаты

разделов А

с помощью следующих

лемм.

ЛЕмма

6.4. Пусть

L = Za^ -\- Zco2 и

Е — элемент множества

Ъ,

изоморфный тору C/L (см. §

4.5).

Тогда

для любого изоморфизма

пространства

C/L

на

справедливо

равенство

г)

1[а

©J

ГаЫщ)

( a 6 Q 2 ,

a $ Z 2 ;

t = l,

2, 3).

.f f l 2j

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

кривая Е' определяется урав

нением у2

= Ах3 — g2(L)x

— gz(L)

I ' — изоморфизм

тора

C/L

на кривую £ " ,

заданный равенством

l'(u)

(<§>(и; L ) , у '(и;

L)).

Положим т] = о I - 1 . Так как п. — изоморфизм кривой Е на кри

вую

Е',

то,

согласно

формуле

(4.5.4),

h\ (|(u)) =

Н£

(и)).

Из определения

функций/г^

и fa

следует, что hE

(£'(u))

=/a(co1 /co2 ),

если

и =

®L

,w 2. ' . Лемма

доказана.

ЛЕММА

6.5.

Пусть

{fa

\ а £ А}

— множество

мероморфных

функций

на

некотором

связном

открытом

подмножестве

про

странства

Cd , занумерованное

не более чем счетным множеством

А.

Пусть

к — подполе

С,

состоящее

из счетного

множества

элемен

тов.

Тогда

существует

такая

точка

z0 в

что

специализация

{/а}а=л

{/а(2 о)}аел

определяет

некоторый

изоморфизм

Поля

Hfa

I о:

6-4)

н а

поле k(fa(z0)\

а, £ А),

определенный

над

к.

Такую точку z0 мы называем общей

для функций

над полем к.

На самом деле эта лемма нам понадобится лишь в частном

случае

котором

доказательство

значительно

проще.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Можно

считать,

что

{ 1 ,

3, . . .}

(конечное

или

бесконечное

перечисление).

По индукции можно доказать, что существует такое подмножество

{ v I

;

v 2 , . . .}

в А,

что

(i) V

! <

2 <

. ,,

(ii)

элементы

/ v

i .

/ v 2

• • • алгебраически

независимы

над

( ш )

элементы

/ ь

• • •> / п алгебраичиы

над

полем

k(fv

\ v

£ В, v ^

п).

Пусть

— множество

всех

многочленов

Р(Ху,

. . .,

Хт)

=^= О

от

переменных с коэффициентами

из к и Wv

— множество всех точек

из D,

в которых функция / v не голоморфна. Для каждого Р

г ) В действительности следовало бы писать |(u m o d L) вместо %{и) для и £ С. Однако в дальнейшем мы будем прибегать к сокращению |(м), если это не ведет к путанице.

176 ГЛ. 6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ

то

положим Fp = {z 6 D — U	H V I 7? (/v ,		( 2 ) , . . ., / v (z)) = 0}: Замыка-
i = i	1	1	m

ние множества FP в Д не содержит пи одной внутренней точки множества D. Заметим, что множество Sm всего лишь счетио. Согласно лемме 1.2, существует точка z0 в D, не принадлежащая

счетному объединению (		U Wv) (J (		оо	U -^Р). Н О тогда	в силу
				U
нашего построения	vEA		m = l		P £ S m
	поле	k(ft, . .	.,	/ п )	имеет ту же степень транс
цендентности, что и поле k(fi(z0),				. . ., /n (zo)) над к при любом п.
Поэтому специализация		/ а ->- / а ( г 0 )		над к определяет изоморфизм
этих полей. Лемма	доказана.
Положим теперь	для	целого	положительного числа			N

Мы видели в предложенпи 6 . 1, что композит C-^TJV является полем всех модулярных функций уровня N. Элемент поля %N мы назы ваем (для краткости) модулярной функцией уровня N, рациональной над полем Q(e2 r t i /J V ). Это определение оправдывает

Теорема

6.6.

Поле %N

обладает

следующими

свойствами:

(1)

является

расширением

Галуа поля

Q0');

(2)

для

каждого

В £ GL 2 (Z/iVZ) отображение

/ 0 н-*• /а р

опреде

ляет некоторый

элемент группы Gal(g-i V /Q(y)), который мы

обозна

чаем

через

т(В).

Тогда

В н-*> т(В)

задает

изоморфизм

группы

G L 2 ( Z / i V Z ) / { ± l }

ка группу

Gal(g . v /Q(j));

(3)

если

£ — первообразный

корень

АТ-й

степени

из единицы,

то

С 6

U £*№) -

£det(P);

(4)

поле

Q(£)

алгебраически

замкнуто

%N;

(5)

поле

т5дт содержит

функции

j ° а, для

всех

таких

6 M 2 ( Z ) ,

что det (а)

— N.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В силу леммы 6.5 можно найтп на $э

точку z0 , общую

для функций j , fa,

о а

при всех

£ / V _ 1 Z 2 ,

а $

(J Z 2 и при

всех

таких а

6 M 2 ( Z ) ,

что

det (а)

/У.

Так

как

под

становка точки z0 вместо z дает изоморфизм, достаточно

доказать

наше

утверждение

для j{z0),

fa(z0),

/(a(z0 ))

вместо

j ,

fa,

о а.

Оче

видно, число j(z0)

трансцендентно.

Возьмем

с £

так,

чтобы

с/(с — 27)

= 7'(г0),

и рассмотрим

эллиптическую

кривую

Е: у2 =

Ах3

—

сх

— с. Тогда j Е =

j(z0),

так

что

существует

некоторый

изоморфизм

£ тора

C/(Zz0 -f- Z) на кривую

Е.

Рассмотрим

группу

§ N , функцию h — h\ и поле

из раздела Б § 6 . 1, соответствую-

щие эллиптической

кривой Е.

Положим у\(а)

E l a

для

а £

Q2 .

В силу леммы 6.4

h(t)

= fa(z0),

если

£ =

r)(a),

так

что

Q(7(z0 ),

/ а Ы 1

а 6 /V-^Z2 ,

a $

Z2 ).

		§ 6.2. ПОЛЕ МОДУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ УРОВНЯ JV						177
Теперь утверждение (1) следует из того факта, что FN						—	расшире
ние Галуа	поля Q{]E).		Положим	tt = ^({N'1,	0)), t2 =	л ((0,		i V - 1 ) ) .
Если а п 6		Р 3~]	определяются по элементам tx и t2,			как в (6.1.8)
Если а п 6		г s
		г s
и (6.1.9),	то	г\(а)а =	т\|(аР) для	всех а £ N_1Z2,	так что		fa(zQ)a	=
= h(r\(a))a	=	Цг\(а$))	= / n p ( z 0 ) .	Поэтому мы	получим		утвержде

ния (2) и (3) предложения 6.3, если сможем доказать сюръективность отображения (6.1.7) для данного случая.

Пусть А — образ

отображения (6.1.7) и

6 SL 2 (Z) .

Так как

fay =

fa"

силу

формулы

(6.1.3), то отображение

fat

определяет некоторый автоморфизм поля % N над полем Q(/).

Перенося

этот

результат

на

FN,

мы

можем

заключить,

что

SL2 (ZA/VZ)/{±1} с А.

Отождествляя

с группой

G&1(FNiQ(jЕ)),

обозначим через В подгруппу в А, соответствующую

полю

Q(£,, j

E ) .

Согласно теории

Галуа, получаем

[А:В)

[Q(S,

]Е)

: Q ( b ) ]

[(Z/NZ)':

1].

В силу

утверждения

(2) предложения

6.3 S L 2 ( Z / i V Z ) / { ± l }

В,

так

что

= G L 2 ( Z / i V Z ) / { ± l }

и В =

S L 2 ( Z / i V Z ) / { ± l } .

Для

дока

зательства

утверждения (4)

положим

к =

flSw -

Тогда каждый

элемент

поля

инвариантен

относительно

группы

S L 2 ( Z / i V Z ) ,

потому что, как было показано выше, действие группы SL2 (Z/iVZ)

осуществляется

помощью

подстановки

z>-*-y(z)

при

£ S L 2 ( Z ) .

Кроме того, мы уже видели, что

Q(£, j)

является

подполем в

% N ,

соответствующим группе SL2 (Z/iVZ). Поэтому

к a

Q(£, j),

так

что

к cz Q(£). Этим доказано (4).

Для

доказательства

утверждения

(5)

возьмем

а 6 M 2 ( Z ) ,

det(a)

\А°~\ = \г]\,

и эллиптическую кривую £ " ,

изоморф-

L<«»._

ную тору

C/(Zcoi

Zco;). Так

как Na'1

6 M 2 ( Z ) , то

N(Zz0

cz Z(a[

ZcOj.

Следовательно,

получается

изогения X кривой

на

Е ' ,

для которой л,(£(и)) =

i'(iVit)

при и

6 С, где

£'

—некоторый

изоморфизм

тора

C/(ZcoJ

Za'2)

на

Е ' .

Но

тогда

Кег(л.)

l{N-\Zv[

Za>;)) cz

^iV-^Zzo

Z) cz $ N

и /(a(z0 )) =

/(<*>;/<oJ) =

j(E'),

так

что

j(E')

£ FN

силу

утверждения

(3)

предложе

ния 6.3. Тем самым доказано (5).

Соответствие

Галуа

между

полями

группами,

описанное

в теореме 6.6,

можно лучше

представить

помощью

диаграммы

на стр. 178,

которой мы полагаем kN

Q(e 2 l t £ / W ),

а через

H w

обозначено поле всех модулярных функций уровня

ЗАМЕЧАНИЕ 6.7. Сохраняя за обозначениями

Е и Q N

прежний

смысл, легко заметить, что

Q ( / B ,

t \ t 6

$N)

является

расширением

Галуа

поля

Q ( / E ) i

группа

Галуа

которого

изоморфна

некоторой

12-01118

178

Г Л . 6.

М О Д У Л Я Р Н Ы Е

Ф У Н К Ц И И

В Ы С Ш Е Г О

У Р О В Н Я

подгруппе

группы

GL 2 (Z/iVZ) . Приведенный

выше

результат

означает,

что

- { ± 1 } =

GL 2 (Z/iVZ) .

Возьмем

такой

элемент у

ГО - 1 1

группы SL 2 (Z/iVZ), что -у2 = — 1 , например у =

. Тогда или

у,

или —у содержится в / / и, следовательно,

— 1 = у2

£ I I . Поэто

му

/ / =

GL2 (Z/./VZ).

Однако

этот

результат

оставшейся

части

книги использоваться не будет.

rN-i±\}

сУдг

СО)

/ > S L 2 ( Z )

У У У У У У

S L 2 ( Z / J V Z )

уУ

GL2(Z/JVZj\ уУ

1<1>

уУ

(Z/NZ)*

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

6.8.

Пусть

®Л г — поле,

порожденное

над

Q(y')

функциями

вида

j о а

при

а 6 M 2 ( Z ) ,

det(a) = N для

фиксирован-

ного

Тогда

®jV —

подполе

в £ул-, соответствующее

подгруппе

о , ^ ( z / ; v z r

{ ± 1 }

группы

GL 2 (Z/JVZ)/{±1} .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть z0 )

2?, Q n ,

tif

t2 и

те же,

что в доказательстве теоремы 6.6. Как было показано в этом

дока

зательстве,

каждая

матрица a £ M 2 ( Z ) ,

для которой det(a) = N,

соответствует некоторой изогении К кривой Е в такую

эллиптиче

скую

кривую

Е ' , что Кег(л-) cz Q N . В частности, Кег(л-)

равно

Zty,

Zt2 или Z(ti + t2) в зависимости от того,

равна ли матрица a

матрице

"1 ( Г

~N 0"

или

1 -

При

этом j(E') равно

j(z0/N),

_0 N_

. 0 1_

0 N

j(Nz0)

или j((z0

l)/N) соответственно.

которого

Пусть a — автоморфизм поля С пад Q(jf), ограничение

на

соответствует

некоторому элементу

|3 группы

GL 2 (Z/iVZ) .

силу

утверждения

(3) предложения

6.3, если

/(a(z0 ))

= j(E')

инвариантно относительно

а при всех

таких а, то Кег(Я)

должно

быть инвариантно

относительно а при всех

соответствующих

изо-

гениях К. В частности, модули Ztu

Zt2 и Z(tx

t2) должны

быть

		§ 6.2. ПОЛЕ МОДУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ УРОВНЯ N									179
инвариантны			относительно		а.	Легко		видеть,	что 6	имеет вид
а О		. Обратно,		если 6 =	а О"		то	каждая	подгруппа		группы
О о					О а
Q N	инвариантна			относительно		а,	так что в силу утверждения (3)
предложения			6.3	= ](Е') для каждой кривой Е',						упомяну
той		выше, и,	следовательно, о =				i d на ^ ) N .
	ЗАМЕЧАНИЕ. Как показывает предыдущее доказательство,										утвер

ждение предложения 6.8 верно, даже если в его формулировке ограничиться теми а, у которых элементарные делители равны лишь 1 и N.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.9. (1) Поле %N

совпадает с полем всех

модулярных

функций

уровня

коэффициенты

Фурье

разложений

которых

относительно

e2nizlN

лежат

поле

= Q(e2 j I */N ).

(2) Поле

Q(/(z), j(Nz),

/Q 1 (z)),

аг

(Лг ~1 ,

0), совпадает

с полем

всех

модулярных

функций

уровня

разложения

Фурье

которых

относительно

e2niz/N

имеют рациональные

коэффициенты.

(3) Поле

из (2) соответствует

подгруппе

°х

z e ( Z / W Z ) x } / { ± l }

группы

G L 2 ( Z / i V Z ) / { ± l } .

Эти результаты нам потребуются только в доказательстве

предложения

6.35 и в упражнении 6.26.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Чтобы

доказать (3), возьмем такие-

же z0 , Е и FN,

что и в доказательствах

теоремы

6.6 и предложе

ния 6.8. Мы видели, что существует

такая

изогения

% кривой

на кривую Е\

что j(Nz0)

= j(E')

и Кег(Л) =

Z i 2 . Пусть a — авто-

морфизм

поля

С над полем

Q(/(z0 )), и пусть

В =

Гр q~

-элемент

Г S

группы

GL 2 (Z/iVZ),

соответствующий

ограничению

отображения

а на Fдг. Тогда а = i d на Q(;'(z0 ), j(NzQ),

fa(z0))

в том и только в том

случае,"

когда

Кег(л.)0 =

Кег(Х)

^В = ± a t mod Z 2 .

Последнее-

Г ± 1

О-

верно тогда и только тогда, когда В =

, а это дает (3).

Для доказательства (1) и (2) рассмотрим разложение

Фурье"

функции

/ а . Полагая у = u/cot

и z =

coj/co^

получаем ((т, п)

Ф (0, 0))

Mj-rf

(и;

со±, со2) =v~2+

—m

— n)~z— (mzA-n)-2]

_ 2

2 , i - 2 - 2 2

(mz+n)-*+

(v + n)~2

n=i

m—i n=—со

7i= —со

l(v +

mz-j-n)-*+(-v

mz + п)~*\.

771= 1 71= —CO

12*

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3318 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ