книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

140	ГЛ.	4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ		КРИВЫЕ
является	порядком	в F. Мы	называем	о порядком решетки а, а
а — собственным о-идеалом.			Все собственные о-идеалы можно

классифицировать (при фиксированном о) с точностью до умноже­ ния на элементы из F", как это обычно делается для дробных идеа­

лов

поля

F.

Возвращаясь к мнимому

квадратичному

полю К,

рассмотрим

произвольную Z-решетку а в

К. Если

рассматривать

а как

под­

модуль в С, то а — решетка

в

С, так что С/а

— комплексный тор.

Итак,

(4.4.6)

End(C/a)

= {ц £ С | iia cz

a} =

{ u

£ К

| и.о. cz a}.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.8. Пусть

E — эллиптическая

кривая,

определен­

ная

над

С,

для

которой

кольцо

Endq(£')

изоморфно

полю

К,

и о — порядок

в К,

соответствующий

кольцу

End(£'). Тогда кривая

Е изоморфна фактору С/а при некотором собственном о-идеале а.

Обратно,	для	каждого	собственного о-идеала а кольцо		End(C/a)
изоморфно	о. Кроме того, класс собственных			о-идеалов а	однозначно
определяется		классом	кривых, изоморфных	кривой С/а.	Другими

словами, кривая С/а изоморфна кривой

С/6 тогда и только

тогда,

когда

ц.а = Ь

для

некоторого и- £

К".

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так как существует два изоморфизма

поля

К на кольцо

EndQ(i?),

то кольцо о может априори зависеть

от

выбора изоморфизма. Однако

если

а 6 о, то а + а £ Z cz о, так

что

a g o .

Это говорит о том, что

о

=

о; следовательно, о не зави­

сит

от выбора

изоморфизма

поля

К

в кольцо

End<j (Е).

Кривая Е

изоморфна

некоторому тору

вида

C/(Zz + Z) при z £ К.

Положим

о =

Zz +

Z.

Тогда

модуль

а должен

быть

собственным

о-идеа­

лом в силу (4.4.6). Обратное представляет собой переформули­ ровку (4.4.6). Последнее утверждение можно проверить непосред­ ственно.

Из этого результата получаются следующие предложения.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

4.9.

Пусть

Е

и Е'

— эллиптические

кривые,

определенные над полем

С. Предположим,

что Е обладает комплекс­

ным умножением.

Тогда

Е'

изогенна Е

в том

и только

в том

слу­

чае, когда

кольцо

EndQ (Е')

изоморфно

кольцу

EndQ

(Е).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

4.10. Для

произвольного

порядка о поля К

число

классов собственных о-идеалов

равно

числу

классов

кривых,

изо­

морфных

таким

эллиптическим

кривым

Е,

что кольцо

End(£)

изоморфно

о. В

частности,

если

о — максимальный

порядок

в К,

то число,

упомянутое

выше,

есть

не что

иное,

как

число

классов

поля К.\

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

4.11. Пусть

ок

— максимальный

порядок

в поле

К и о — какой-нибудь

порядок

в этом

же поле.

Тогда

существует

ровно одно

положительное

целое число с, для которого

о = Z +

сок.

§ 4.4. ИЗОГЕНИИ

I I ЭНДОМОРФИЗМЫ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ

141

Далее,

для

каждого

собственного

о -идеала

а существует

такой

элемент

р

в К*,

что iia +

со =

о.

Кроме

того,

пусть

для

двух

собственных

о-идеалов а и

Ь

символ

аЪ обозначает

Ъ-модулъ,

порожденный

элементами

ху,

для

которых

х б а, у б Ь.

Тогда

все собственные

о-идеалы

образуют

группу

относительно

этого

закона

умножения

и о служит

в ней

единицей.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Хорошо

известно,

что

ок

=

Z +

+Zk при некотором элементе к. Можно положить о [) Zk — Zck

при

некотором

положительном

целом

числе

с.

Тогда Z +

сок

=

=

Z +

Zck cz

о.

Если

г

- j -

sk

б о

при

г

и

s из

Z,

то sk б о, так

что

s

б cZ.

Поэтому

о =

Z

-г - с о я .

Единственность

числа

с

оче­

видна. Для

произвольной

Z-решетки

а

в

К

положим

а*

=

{ р

б К

|

T r x

/ Q

(pa)cz

Z } .

Тогда

легко

видеть,

что

а*

— некоторая Z-решетка

в К,

(а*)*

=

а

и

a* cz

о*,

если

Ь с

а.

Более

того,

если

оа cz

а,

то

оа* cz

а*.

Поэтому,

если

о

(соответственно

о') —

порядок

для

а

(соответственно

для

а*),

то

о с : о'

и

о' cz

о,

так

как

а** = а, в силу

чего

о = о'.

Непосредственно

проверяется,

что

о* = g'(cA.)- 1 o,

если

g(x)

=

О — приведенное

неприводимое

уравнение для ск над Q.

Пусть

a

—

собственный

о-пдеал.

Если

£ б (aa*)*,

то

Tr/c/Q (£aa*) cz

Z,

так

что

^а* с

а*,

откуда

£ б 0.

Поэтому

(aa*)* cz о

и

o*czaa*.

С другой

стороны, Tr(aa*o) =

Tr(aa*)cz Z;

следовательно,

aa* с : о*.

В

силу сказанного aa*

=

о*,

так

что

a-(g'(ck)a*)

=

о. Итак,

мы

установили

существование

обратно­

го

элемента

в

полугруппе

собственных

о-идеалов,

а тем

самым

и справедливость последнего утверждения

предложения.

Положим Ь =

g'(ck)a*.

Определим

Q-линейное

отображение

/

поля К в поле Q равенством /(г

+

sk)

= г для

г и s из

Q. Тогда

/(оа) = /(о) = Z. Поэтому для каждого простого

рационального

числа р существует такой элемент

р,р

в Ь, что число

/(р р а)

не со­

держится в идеале pZ.

Но тогда можно найти такой элемент р, в Ь,

что

р == р р

mod pb для всех простых

делителей р числа с. В этом

случае / (pa) не содержится в pZ для всех таких р.

Следовательно,

/(pa)

=

mZ

при

некотором положительном целом числе т, взаим­

но

простом

с

с.

Имеем

/

(pa

+

CQk) =

mZ +

cZ

=

Z. Если

а

б

б о, то

/(а)

=

/(В)

при

некотором

В б ра

+

с о я .

Тогда

a

—

В б

б Zck cz ct>K,

так

что

a

=

(a

—

В) +

8 б pa

+

сок.

Это

гово­

рит

о

том,

что

о =

о

pa +

сък.

Так

+

как

и

pa и сок — идеалы

порядка

о,

то

=

оо =

(pa

соя) (pa

- f

со.к)

cz pa

+

+

с20к

cz

pa +

со

и,

таким

образом,

о =

pa +

со.

Целое число с (или

идеал

соя)

называется кондуктором

поряд­

ка

о.

Легко

видеть,

что

сок

=

{а

б К

| ацк

cz

о} .

В

(5.4.2)

мы покажем, что

каждый

собственный

о-идеал является

«локаль­

но

главным».

142		ГЛ.	4.	ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
Как	показывают		наши		рассуждения,		равенство		аа*	= о *
выполняется для		каждого			собственного	о-идеала		о при произ­
вольном	порядке	о поля		К,	даже если	[К:	Q] >	2.	Если	о =

=Z[JX] при некотором числе л, удовлетворяющем приведенному

неприводимому	уравнению g(x)	— 0	над	Q, то о*	= £ ' ( л - 1 ) о,
так что каждый собственный о-идеал а обратим.
"УПРАЖНЕНИЕ	4.12. Докажите,	что	число	классов	собственных
о-идеалов равно

p|c

( К. \

— J равно 1, — 1 или 0 в зависи­ мости от того, является число р вполне разложимым в К, остается в К простым или же в К ветвится.

УПРАЖНЕНИЕ 4.13. Пусть F—поле			алгебраических		чисел
конечной степени,		К — квадратичное	расширение	поля F	и	$ р
(соответственно	ок) — максимальный		порядок в F	(соответствен­
но в К). Обобщите		предложение 4.11 на случай порядка в поле				К,
содержащего oF.		(Хотя это можно сделать и глобально,			но	для

начала будет, пожалуй, проще обратиться к этой задаче над ло­ кальным полем. Утверждение (5.4.2) также можно обобщить.)

§ 4.5. Автоморфизмы эллиптической^'кривой

Пусть Aut(Z?) — группа всех автоморфизмов эллиптической кривой Е, определенной над полем С. Если Е не обладает ком­ плексным умножением, то Aut(£)c состоит только из ± 1 . Поэтому предположим, что Е обладает комплексным умножением, и пусть

ои К изоморфны кольцам End(is') и Endo. (Е), как в предложении

4.8.Тогда группа Aut(£') изоморфна о*. Так как К — мнимое

квадратичное			поле, то		группа о х ,	как известно, не сводится к ± 1
лишь в следующих				случаях:
П(А)	К	= Q d / ^ l ) ,			6 = ЯУ=1Ц		о*	=	{ ± 1 ,	±У~П;
vj(B)	К	=	Q( £ ),	L =	е 2*»/з, 0 =	Z [ £ ] ,	ох	=	{ ± 1 , ± С ,	± ¥ } .
В обоих		случаях		о — максимальный			порядок поля К			и число

классов поля К равно 1, так что в силу предложения 4.10 в каж­ дом из случаев существует только одна эллиптическая кривая Е с точностью до изоморфизма над С, для которой кольцо End(Z?)

изоморфно	кольцу	о.
Пусть	кривая	Е определена	уравнением г/2	=	4ж3 — сгх — с 3
при с 2 и с 3	из С. Заметим, что
(4.5.1)	; Е =	1 <=> с3 = 0;	j E = 0 <=> с2	=	0.

§ 4.6. СВОЙСТВА ЦЕЛОСТНОСТИ ИНВАРИАНТА J

143

Если теперь с3

=

0, то

группа

Aut(E)

содержит

по крайней

мере

4 элемента: (х,

y)t—+(x,

±z/), (х,

у) н-*• (—х, ±

]/ —1у); если с 2 =

0,

то группа A u t ( f i )

содержит

по крайней мере 6 элементов: (х,

у)

н-»

•—*• (Е?х, ±у),

v = 0,

1, 2, £ =

е 2 л ' / 3 .

Поэтому

из (4.5.1)

мы полу­

чаем, что

(4.5.2)

кривая

Е

относится

к случаю (А)

(соответственно

(Б))

тогда

>и только

тогда,

когда j Е

= 1

(соответственно j

E =

0).

Более того, мы видим, что группа Aut( £ ) состоит из названных

4

или

6

элементов.

В дальнейшем мы будем

обозначать

через

% множество

эллип­

тических кривых Е вида у2

= Ах3 — сгх

— с 3 , где с 2 и с 3

берутся

из

С.

Мы разбиваем

множество

%

на

три

класса

%t,

i

=

— 1, 2, 3, в соответствии с числом 2ъ автоморфизмов. Таким обра­

зом,

%г

и

%3

состоят

из

кривых типа

(А)

и (Б)

соответственно,

a Mi содержит

все остальные

кривые из %.

Для

каждой

эллиптической

кривой

Е:

у2

=

4ж3 — с2х

—

с3

определим

три функции

hE

на

Е равенствами

hE((x,

у))

=

(с2 с3 /Д •)•?,

У))

=

(cJ/Д)

А = cl

-

27с23,

ЬШ*.

2/))

=

(с3/А)

-х3.

Очевидно, они определены над полем

определения

кривой

Е.

Если

Е

6 §2>

то

/г-Ь =

й| =

0

и /г.|((:г,

г/))

=

с~гх2;

если

же £

6

£ ^ з ,

то

hE

=

/ i |

=

0

и

fe|((x,

г/))

= (—27с3 )_ 1 а:3 .

Используя

явную форму

элементов

группы

A u t ( S ) ,

указанную

выше,

легко

проверить,

что

(4.5.3.)

при Е 6 %i равенство

hE(t)

=

ZIB(£')

выполняется

тогда

и

только

тогда,

когда t

= at'

для некоторого

а 6

Aut(i?);

(4.5.4) если Е и Е' — кривые множества % и и — изоморфизм и Е в Е', то НЕ = hE'°r\ для i = 1, 2, 3.

Действительно, если Е — указанная выше				кривая	и Е'	опре­
деляется равенством у2 = 4ж3		— с'2х — с'3,	то	в силу	предложе­
ния	4.1 г)((х, у)) = (uAc, иЛг),	= р,*с2, с3	=	р,6 с3 при некотором и.
из С. Таким образом, (4.5.4) получается из				определения		функ­
ций	hE.

§4.6. Свойства целостности инварианта J

Втеореме 2.9 утверждается, что модулярная функция

	J(z) =	123j(z)	=	123ф)/А(г)
имеет	разложение Фурье вида
(4.6.1)	J(z) = q-*{1+	2	c n g n ) ,	<z = e2 **
		n = i

при cn 6 Z. Докажем теперь следующую теорему.

144			ГЛ. 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ			КРИВЫЕ
ТЕОРЕМА 4.14. Если z принадлежит						мнимому	квадратичному
полю	и Im(z) > 0, то J(z) — целое				алгебраическое		число 1	) .
Здесь мы дадим аналитическое					доказательство		этого	утвержде­
ния, хотя более естественным было					бы алгебраическое доказатель­
ство,	которое теперь возможно благодаря минимальным								моделям
Нерона		[1]; см. Дойринг		[1], Серр	и Тейт [1].
Тот		факт, что J(z) — алгебраическое				число, легко		установить
так.	Пусть		А" = Q(z), L =	ZZ-\-ZKE	— эллиптическая				кривая,
изоморфная			C/L. Заметим, что для каждого а £ Aut(C)						кольцо

EndQ (Еа) изоморфно полю А. В данной ситуации существует лишь счетное множество классов с точностью до изоморфизма эллипти­ ческих кривых, алгебры автоморфизмов которых изоморфны полю

А .	Так как j	( E A ) = j ( E ) A , то множество {j(E)A	| о £ A u t ( C ) } счет­
но;	следовательно, чпсло j ( E ) должно быть алгебраическим.
	Тот факт,	что J(z) — целое число, является	более глубоким

и его доказательство более трудоемкое (какой бы метод ни исполь­ зовался) .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

4.15. Предположим,

что

771

2 a h / ( z ) * =

2

К?,

q=e™*,

ft=0

n^Tio

для всех z £ <g и константы ah и Ъп лежат в С. Тогда

ah принадле­

жат

кольцу,

порожденному

над

Z

числами Ъп.

q-1 ( l - f 2c»?n)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Подставив выражение

оо

771

n = l

для /

(z) в сумму

2 a h J (z)f t ,

получим

ft=0

Ъ-т — am,

b i - m = ma-mPi - f a m - i i

+ am _2 ,

b2-m =(m

(m —1)/2)

• a,„c2 - f (m — 1) • am.tCi

Так

как c n

£ Z,

то утверждение

доказано

Будем называть элемент a

= ~a b

алгебры M 2 (Z)

примитивным,

если а, Ъ, с,

d не имеют общих делителей,

отличных от ± 1 . Если

det(a) = п >

0, то матрица

а

примитивна

тогда

и только тогда,

Гп

01

когда a £ Г •10

1

Г Д 6

^ ~ ^ ^ ( Z ) . Согласно предложению 3.36,

~п 0"

U Га,

п

л - Г =

К. Л. Зигсль	показал,	что если	z — алгебраическое число, 1 т г > 0
и г не принадлежит	мнимому	квадратичному полю, то J(z) — трансцендентное
число (Ann. of Math.	Studies,	16 (1949),	98.) — Прим. ред.

Г, так что Г£ = Га при некотором а £А.

§ 4.6. СВОЙСТВА

ЦЕЛОСТНОСТИ

ИНВАРИАНТА

J

145

где А

— множество всех матриц

а

а Ъ'

подчиненных условиям

О d

d >

0, ad — п,

0 <

d и

(a, b,

1.

Ъ <

d)

=

Зафиксируем

теперь

произвольное

целое

число

п >

1 и рас­

смотрим многочлен

м

П

(X-Joa)=

2 s m X m

tx£A

m=0

от переменной X , где sm

— элементарные симметрические функции

от /

о а и, следовательно, голоморфные функции на ,<д, обладающие

разложением Фурье по степеням

д1 /7 1 . Для каждого у 6 Г справед­

ливо

равенство

U

Гау

==

U

Га,

так

что

а£А

а£А

{ / о а о у | а 6 .4 } = { / ° а | а 6 4 }.

Следовательно,

s m ° Y

=

sm

и s m — модулярная

функция

уровня 1.

Так как sm голоморфна

на SQ, ТО sm

— многочлен

от / ;

обозначим

Далее, g-разложение элемента

J o a для а =

.'а Ъ

6 А имеет вид

О d

(4.6.2)

/ (а (z)) =

[ 1 + 2

cmtF<Tald\

,

U =

eW*.

m = i

Таким образом, коэффициенты являются целыми алгебраическими

числами		поля	Q( £ n ) .	Пусть	а — такой автоморфизм		поля	Q(£„),
что	tg =	Q для некоторого			it, (t, п) = 1. Преобразуя		коэффициен­
							та Ь'"		ел,
ты в	J°a	с помощью а, получаем элементы / ° 6 ,				где р = О		d
Ъ' =	btmo&(d).		Так	как а •—»• р дает перестановку множества					А,
можно заключить, что коэффициенты g-разложения							для sm	при­
надлежат		Z. Применяя предложение 4.15 к Sm(J),				мы видим,			что

коэффициенты многочлена S m целые. Таким образом, мы получаем многочлен

		/)=	аП£		м
(4.6.3)	Fn(X,			( Х - / о « ) =	2	Sm(J)Xm,
			А		т = 0
принадлежащий кольцу Ъ[Х, /].
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.16. Для				каждого \ 6 G L 2 ( Q )		с det(|) > 0 эле-
мент	J o £ — целый над		Z [ J ] .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Умножая матрицу | на подходящее рациональное число, можно считать, что | — примитивный эле­ мент алгебры M 2 ( Z ) , так как это не меняет / o f . Если det(£) =

~п 01

= п > 1, то I 6 Г. 0 1

10-01118

146 ГЛ. 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ

Тогда /<>£ =

Jaa,

откуда Fn(J°£„

/ ) = 0 . Предложение

доказано.

Положим теперь Hn(J)

=

F n ( J ' ,

J) =

[ J (J — J

о а).

Тогда Hn —

многочлен

от

/

с

коэффициентами

agA

из Z.<

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4 . 1 7 . Если

число

п не

является

квадратом,

то

старший

коэффициент

многочлена

Hn(J)

равен ± 1 .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

п не

является

квадратом,

то

в ( 4 . 6 . 2 ) aid ф1;

следовательно,

старший коэффициент

в д-разло-

жеиии

элемента /

— J° а

будет

корнем

из

единицы

и таким

же

будет старший коэффициент g-разложения для Hn(J).

Этот коэф­

фициент

равен

старшему коэффициенту

многочлена

Нп, который

рационален, а потому равен ±

1

Предположим

теперь,

что

К =

Q(z) — мнимое

квадратичное

поле,

L =

Z - f Z z

и о — порядок

в К , изоморфный

End(C/L) .

Допустим

сначала,

что о — максимальный

порядок в

К.

Тогда

можно найти такой

элемент и. в о, что NK/Q (и.)—свободное

от ква­

дратов

целое

число,

большее

1 . (Действительно,

если К

=

=

Q ( V — 1 ) . т

о

возьмем

(х =

1 +

У — 1 ,

а если К =

Q("J/^—m.), где

число т больше 1 и свободно

от квадратов, то |х =

У — т . ) Опре­

делим

элемент

|

алгебры

M 2 (Z) равенством

z

=

1

( 1 =

9 ( ^ 0

в

обозначениях из

( 4 . 4 . 5 ) ) .

1

1

Тогда det(|) =

п, и | — примитивный элемент, потому что число п

свободно

от квадратов. Поэтому / о | = /осе при некотором а £ А,

как

в

доказательстве

предложения 4 . 1 6 . Так как

g(z) =

z,

то

/(z)

=

/(E(z))

=

J(a(z)),

так что

Hn(J(z))

= 0 . В силу

предложе­

ния

4 . 1 7 это

означает,

что

J(z)

— целое алгебраическое

число.

Рассмотрим далее] случай,

когда

о не является

максимальным

порядком. Согласно предложению 4 . 3 , существует такой элемент 6

группы

G I 4 ( Q ) ,

что

End(C/Zz' + Z) при z'

= P(z) является мак­

симальным порядком. В силу предложения

4 . 1 6 число

/(z)

целое

над

кольцом

Z [ / ( z ' ) ] .

Но

так как и число

J(z')

целое, то

теоре­

ма

4 . 1 4 доказана.

В действительности же произвольный порядок о поля К

содержит

такой элемент

и., что iVjc/Q (и.) — простое число. В самом

деле, возьмем такое положительное целое

число К, что Ы К cz о.

Согласно

обобщенной

теореме Дирихле, существует такой эле­

мент [х

поля

К ,

что

(х =

1 mod Ы К и

число

N K / Q

(Ц.) простое.

I i o

тогда |х 6 0.

Применяя

предыдущие рассуждения к (х, можно

показать, что число J(z)

целое, не сводя при этом вопрос к случаю

максимального

порядка.

Уравнение

Hn(J)

=

0

называется

модулярным

уравнением

степени п. Классическое изучение этой темы, а также с ней связан­ ных, читатель может найти у Фрикке [ 1 ] , Гурвица [ 1 ] , Вебера [ 1 ] .

Г Л А В А 5

АБЕЛЕВЫ РАСШИРЕНИЯ МНИМЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛЕЙ И КОМПЛЕКСНОЕ УМНОЖЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ

	Цель этой главы — изучить		поведение эллиптической кривой
Е	с комплексным умножением		при действии группы	Ga\(Kab/K),
где К		— мнимое квадратичное поле, изоморфное кольцу		EndQ (Е),
и	Каь	— максимальное абелево	расширение поля К. От	читателя

потребуются некоторые познания в теории полей классов. Основ­ ную теорему мы сформулируем в § 5.4 на языке аделей и выведем из нее классический результат о построении поля Каъ с помощью специальных значений эллиптических или эллиптических моду­ лярных функций. К этой теме мы вернемся в § 6.8, но там возник­ нет другая формулировка, без эллиптических кривых.

§ 5.1. Предварительные рассмотрения

Существует простой принцип в изучении поля рациональности, который часто будет использоваться нами в этой и последующих

главах. Пусть X — какой-нибудь алгебро-геометрический			объект,
определенный»над универсальной областью		С и такой, что	символ
Ха	определен] для любого автоморфизма о	поля С. Таким образом,
X	может быть многообразием, рациональным отображением или

дифференциальной формой на многообразии (см. дополнение). Упомянутый принцип состоит в следующем:

пусть

к — произвольное

подполе

в С;

если

Х° = X

для

всех

а 6 Aut(C//i:), то X

— объект,

рациональный

над

к. Эквивалентная

формулировка: если

Ха

при

а £ Aut(C/A;)

зависит

только

от

огра­

ничения

автоморфизма

а

на

к, то

X

— объект,

рациональный

над к.

Это не вполне строгое утверждение, если объект X определен относительно некоторых других алгебро-геометрических объектов. Например, если X — рациональное отображение многообразия U в многообразие V, то лучше предположить, что U и V определены над к. То же замечание относится и к дифференциальной форме.

Сформулируем аналогичный принцип для двух подполей поля С:

пусть к и к' — подполя		в С со счетным множеством	элементов;
если	к' инвариантно относительно группы Aut(C//c), то композит
kk'	является (конечным или	бесконечным) расширением	Галуа поля

10*

148 ГЛ. 5. АБЕЛЕВЫ РАСШИРЕНИЯ МНИМЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛЕЙ

к. Кроме того, если каждый элемент группы Aut(C//«) индуцирует тождественное отображение на к', то к' cz к.

Рассмотрим теперь проективную пеособую кривую V, опреде­ ленную над полем к произвольной характеристики. Будем обозна­ чать через k(V) поле всех функций на V, рациональных над к (см. дополнение, п. 4). Пусть W — также проективная неособая кривая

и X — рациональное отображение		из V в	W, причем все это	опре­
делено над к. Тогда, как хорошо		известно, X есть морфизм, т. е.
всюду определенное на V отображение. Предположим, что отобра­
жение X не постоянно. Тогда	отображение /(—*•/° X определяет
некоторый изоморфизм поля k(W)		в k(V).	Обозначим через	k(W)°X

образ ноля k(W) при этом изоморфизме. Будем называть отобра­ жение X сепарабелъным, несепарабелъным нлн чисто несепарабелъным в зависимости от того, сепарабелыю, несепарабельио пли

чисто

несепарабельио

над

k(W)°X

поле

k(V).

Положим

deg(?i) =

[k(V)

:

k{W)°X]

и

назовем

это

число

степенью

морфизма

X; оно

не

зависит

от вы­

бора

к.

Пусть

D i f ( F ) — множество всех

дифференциальных форм на V

и

££(V) — множество

всех

голоморфных

элементов

из

D i i ( F ) ,

т. е.

всех

дифференциальных

форм

первого

рода

на

V.

Обозначим

через

3)(V;

к)

множество всех элементов из 3)(V),

рациональных

над к (см. дополнение 8.9). Если X и

W те же, что выше, то для

каждой формы со =

/ю df £ Dif(И^; к) при / и h из k(W)

можно

опре­

делить элемент

со о X из D i f ( F ;

к) равенством

со о X

=

(hoX)

-d(f

о

X).

Если

со 6 3)(W),

то

со о л. £

3)(V).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.1. Пусть

V,

W,

к и X те же, что выше,

и 0 =/=

Ф

со 6 D i f ( H / ;

к).

Тогда

со °Х Ф

0

в том и только в том

случае,

когда

отображение

X

сепарабелыю.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Дифференциальная

форма df

обла­

дает следующим свойством;

(5.1.0) df Ф

0

тогда

и только тогда,

Kozdd[k(W)

—

алгебраическое

сепарабелъное

расширение

поля

k(f).

(См. дополнение, пп. 8, 9.)

Положим со =

h - d f при некоторых

h и /

из k ( W ) . Так как

со Ф 0, то поле k(W)

сепарабельно

над k(f), так

что k(W)°X

сепарабельно

над k(foX).

Применяя (5.1.0) к d(foX),

мы

видим, что k(V)

сепарабельно над k(f°X)

тогда и только тогда,

когда

со о X Ф 0.

Предложение

доказано.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.2. Пусть V, W, чисто несепарабелъно и q = deg(A-),

X и к те же, что выше. Если X то существует бирегулярный

§ 5.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ

РАССМОТРЕНИЯ

149

изоморфизм (.1 из W в Vq, рациональный

над к и такой,

что \.юХ —

морфизм

возведения

в

q-ю степень

из

V

в V9,

где

Vq

обозначает

многообразие

V,

преобразованное

автоморфизмом

возведения

в q-ю

степень

универсальной

области.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

v — общая

точка

многообра­

зия

V

над полем

к,

и пусть

w

= X(v),

К

=

k(v),

L

=

k(w).

Наше

утверждение

эквивалентно

равенству

L — к-К4,

где

К'1 =

=

{а9

\ а £ К)

(по крайней мере оно вытекает из этого

равенства).

Действительно,

если к-К9

=

L , то

k(vq)

=

k(w).

Так

как

vq —

общая

точка

Vя

над к,

можно

определить бирациональиое

отоб­

ражение

ii из

W

в

Vq

равенством u.(iw) =

vq.

Так

как

W и

V9 —

проективные иеособые многообразия, то отображение ц. бирегуляр-

ио. Но тогда			U.(A(L>)) = vq,			так		что \ь°Х — морфизм	возведения
в	q-ю степень из V в				V9.
	Теперь	наш	вопрос		свелся		к	установлению равенства к-К4		=
=	L . По	предположению				поле		К чисто несепарабельно над		L
и [К : L] = q,			так	что	k-Kqcz			L . Поэтому достаточно	доказать,
что [К: к-К9]			= q.	Поскольку			К — регулярное расширение поля

к, существует такой элемент х из К, что К алгебраично и сепара-

бельно над к(х). Но тогда к-К4

сепарабельно над k(xq).

Далее, поле

К сепарабельно над к(х) и чисто несепарабельно

над

k-Kq,

так

что К является композитом к(х)

и к -К4.

Так как к(х)

чисто несепа­

рабельно

над

к(х9) и к-К9

сепарабельно над

к(х9),

то

[К

: к-Kq]

=

[к(х)

: k(xq)]

=

q,

и доказательство

закончено.

Предложение

5.3.

Пусть

Е\ и Е2 — эллиптические

кривые,

определенные

над

некоторым

подполем к поля

С, и к —

алгебраиче­

ское замыкание

поля

к в С. Тогда каждый элемент

из Hom(£'i,

Е2)

определен

над к. Кроме

того,

если кольцо

End(£\) изоморфно

кольцу

Z и X £ Нош(£'1 ,

Е2),

то

№ =

±Х

для

каждого

автоморфизма о

поля к над

к.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

X £ Hom.(2?i,

Н2)

и

а — авто­

морфизм поля

С над

к, то

Ха £ Honi(£'i, Ег).

Так

как

множество

Нош(£'1 , Е2)

не более чем счетно, существует не более чем

счетное

множество таких элементов Ха,

что X определено над к. Если коль­

цо End(Z?,)

изоморфно

кольцу

Z и X Ф

0,

то

группа

Hom(£'i,

Е2)

изоморфна Z, и тХа = пХ при ненулевых

целых

числах

т и

п.

Но тогда m2-deg(X°)

=

deg(mXa)

=

deg(nX)

=

n2-deg(X).

Так

как

deg(Xa ) = deg(A,), то

m =

±n и, следовательно,

Xa

=

±X.

Рассмотрим

теперь

такую

эллиптическую кривую Е над С,

что кольцо

E n d Q

(Е)

изоморфно мнимому квадратичному полю

К.

Мы укажем

сейчас

способ

выбора

канонического

изоморфизма

из двух изоморфизмов поля К

и Endo. (Е).

Заметим

сначала,

что

векторное

пространство

3)(Е)

голоморфных

дифференциальных