книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций
.pdf120 ГЛ. 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
говорит о том, что [В |
: С] = |
У] |
[В$ |
: С], и, следовательно, коль- |
|||||
|
|
|
Ф(1))=1 |
алгебр |
В^. |
|
|
|
|
цо В должно быть прямой суммой |
|
|
|
||||||
Из теоремы 3.41 и утверждения |
(3.5.4) заключаем, что В и By — |
||||||||
коммутативные |
полупростые |
алгебры. |
Кроме |
того, |
согласно |
||||
предложению |
3.54, |
Ый1Т'(п)к[х]к |
= n2-kT'(n, |
п)кТ'(п)к, |
если |
||||
п взаимно просто с N. Поэтому |
[т]^1 |
-В-[т.]к |
= В, |
и |
анало |
||||
гично [т]^1 -Бф .[т]ь = |
Таким |
образом, оператор |
[ т ] ь |
перево |
дит общую собственную функцию из В (соответственно из В$) в собственную же функцию из В (соответственно из В^). Эти фак ты, как показывает замечание 3.59, не обязательно справедливы для А и А$. Однако Гекке получил следующий результат.
|
Предположим, |
что |
1 = |
1, т. |
е. |
Т'0 = T0(N). |
Тогда А$ |
= |
В^ |
||
(по |
крайней |
мере) |
в двух |
случаях: |
|
|
|
|
|
||
|
(I) 1); |
= |
1, N простое |
и Sk(T(l)) |
= |
0 (согласно |
предложению |
2.26, |
|||
последнее |
условие |
выполнено |
тогда |
и |
только тогда, когда к < |
12 |
|||||
или |
к = |
14); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( I I ) 1|з — примитивный |
характер |
по модулю |
N. |
|
|
|||||
По |
поводу деталей см. Гекке [5, теоремы 22 и 24а]. |
|
|
Связь между параболическими формами и эйлеровыми произ ведениями была впервые замечена Рамануджаном [1]. Он рассмат ривал коэффициенты Фурье сп функции
(2п)~™А (z) = |
q [j |
|
(1 - |
с?")2 4 |
= |
S cnqn, |
q = |
e2 ™', |
||
и высказал |
|
71= |
i |
|
|
|
71=1 |
|
|
|
две гипотезы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(X) |
I ' |
w - |
^ |
J K |
i - |
w |
+ p v |
- ' r |
1 ; |
|
|
71=1 |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
(Y) |
cn = 0(пи'2+е) |
|
|
для |
любого |
e > |
0. |
|
||
Последняя |
эквивалентна неравенству |
|
|
|
|
|||||
(Z) |
| с р |
| ^ |
|
2pill2 |
для |
всех |
простых |
р. |
Первая гипотеза (X) была доказана Морделлом [1]. Так как про странство 5 1 2 (Г) одномерно и порождается элементом Д, то этот элемент Д должен быть общей собственной функцией всех опера торов Гекке, и, следовательно, (X) вытекает из теоремы 3.43.
Первым, кто во всей общности систематически исследовал связь между модулярными формами и рядами Дирихле, обладающими эйлеровым произведением, был Гекке. Выше мы уже разъясняли наиболее легкую часть теории Гекке [4], [5] наряду с некоторыми
новыми результатами. |
Идея диагонализации операторов Гекке |
с помощью скалярного |
произведения в пространстве параболиче- |
|
§ 3.6. |
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ |
УРАВНЕНИЯ |
ДЗЕТА-ФУНКЦИЙ |
121 |
||||||||||
ских |
форм принадлежит |
Петерсону |
[ 1 ] . Он |
же |
обобщил |
следую |
|||||||||
щим |
образом |
гипотезу |
(Z): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(Z') |
каждое |
собственное |
|
значение |
Хр |
оператора |
T'(p)kt$ |
|
при |
про |
|||||
|
извольном простом |
|
р, |
не |
делящем |
уровень |
N,удовлетворяет |
||||||||
|
неравенству |
| Хр |
| ^ |
2p<-h~i^2 |
х ) . |
|
|
|
|
|
|
||||
В § 7.5 мы докажем, |
что |
при |
к = 2 |
гипотеза (Z') |
верна |
для |
|||||||||
почти всех р. В |
общем |
случае Ранкин |
[ 1 ] показал, |
что са |
= |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оэ |
|
|
|
|
|
= О (тгЬ/2-1/5) |
для каждого |
элемента |
Tj cne2*inz/N |
6 |
Sh(T(N)). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = l |
|
|
|
|
Различные методы оценок коэффициентов с„ обсуждаются у Сельберга [2] 2 ) .
§ 3 . 6 . Функциональные уравнения дзета-функций,
ассоциированных с модулярными формами
Докажем сначала две фундаментальные леммы для произволь ной фуксовой группы Г первого рода.
|
ЛЕММА |
3 . 6 1 . Если |
f £Sh(T), |
|
то |
| f(x |
+ iy) | ^ |
Му~к'2 |
при |
неко |
||||||||||
торой константе М, не зависящей |
от х. |
Обратно, |
|
если |
какая-то |
|||||||||||||||
функция |
f |
из Ah(Y) |
голоморфна |
на |
$Q и |
\ f(x |
+ |
iy |
6 |
| ^ |
My~k/2 |
при |
||||||||
некоторой |
|
константе |
М, |
не зависящей |
от х, |
то f |
|
S^iY). |
|
|
||||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Для |
произвольного |
|
голоморфного |
|||||||||||||||
элемента |
/ |
на Ап(Т) |
|
определим |
вещественнозначную |
функцию |
h |
|||||||||||||
на полуплоскости § равенством h(z) = h(x + |
iy) = |
|
\f(z)\yhl2. Так |
|||||||||||||||||
как Im(v(z)) = I m (z) | j(y, |
z)\~2 |
для у £ S L 2 ( R ) , |
то функция h |
Г-пнва- |
||||||||||||||||
риаитна. Если s — параболическая |
точка для Г, выберем р п q |
= |
||||||||||||||||||
= |
e2nizlh |
(или |
q = |
enizlh), |
как |
это |
делалось |
на |
стр. |
49. |
Тогда |
|||||||||
/ |[p_ 1 ]ft = |
|
Ф(?) при некоторой функции Ф, голоморфной в области |
||||||||||||||||||
О < |
I Ч I < |
г> г Д е г — вещественное положительное число, и такой, |
||||||||||||||||||
что |
7i(p- 1 (z)) = |
0(gr)lm(z)f t / 2 . |
Заметим, |
что |
| q |
] = |
е-271""1 |
(или |
||||||||||||
| q |
| = е _ л |
^ л ) . |
Предположим, |
что |
/ £ Sk(T). |
Тогда |
|
Ф(а) -»- 0 при |
||||||||||||
q-*-0. Поэтому |
h(w) |
|
0 |
при |
|
i w - v s |
(в |
топологии |
|
пространства |
||||||||||
<§*). Таким образом, |
h может |
рассматриваться |
как |
|
непрерывная |
на Г\<д* функция. Так как пространство Г\^3* компактно,
функция h(z) должна быть ограничена. Обратно, если h(z) |
ограни- |
||||||||||
х ) Появился препринт П. Делиня, посвященный доказательству гипотезы |
|||||||||||
Римана — Вейля. Ранее Делинь показал, что к |
ней сводится |
гипотеза |
Рама- |
||||||||
нуджана — Петерсона |
(гипотеза |
Z ' ) . Об |
этой |
редукции |
можно |
прочитать |
|||||
в статье Делиня, помещенной в качестве |
приложения |
к р у с с к о м у |
|
переводу |
|||||||
книги Серра «Абелевы |
I-адические представления и |
эллиптические |
кривые» |
||||||||
(«Мир», М., 1973). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Оценка Гекке с = 0(пЬ/%) |
получается совсем просто |
(см. лемму |
3.62). |
||||||||
Сельберг [2] |
доказал |
оценку сп |
= 0(/г''/2-1/4+е) для |
любого |
е > |
0; |
оценка, |
||||
отвечающая |
гипотезе |
( Z ' ) , имеет |
вид сп |
= 0(гсЬ/2-1/2+в).—Прим. |
ред. |
|
122 ГЛ. 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
чена, то Ф должна быть голоморфна при q = |
0 и Ф ( 0 ) = 0. Лемма |
||||||||||||||||||||||
доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ЛЕММА |
3.62. |
Предположим, |
|
что |
оо — параболическая |
точка |
||||||||||||||||
группы |
Г , и |
пусть |
|
|
|
|
|
|
" 1 |
к т |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
{ у е Г . { ± 1 } | 7 ( с о ) |
= |
оо} = |
{ ± 1 } . {-0 |
1 . |
|
mez\ |
|
|
|
|||||||||||
при |
некотором |
вещественном |
положительном |
числе |
h. Пусть |
/ £ |
|||||||||||||||||
€ Sh(T) |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
{ |
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
к нечетно |
и точка |
оо |
|
нерегулярна, |
|||||||||||
|
|
|
2 cne2ninz/h |
в остальных |
случаях. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
п=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(См. |
§ 2.1.) |
|
Тогда |
существует |
такая |
константа |
В, |
|
не |
зависящая |
|||||||||||||
от |
|
п, |
что |
|
| сп |
|
| <1 В -пи>2 |
для |
всех |
п. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Если |
к |
четно, |
то |
положим |
q — |
|
e2nUih |
||||||||||||||
ж |
F(q)= |
2 спЧп- |
|
Тогда |
с„ = |
( 2 ш ) - 1 \ F (q) q~n~l dq, |
где |
интеграл |
|||||||||||||||
|
|
|
7 l = i |
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
берется |
по |
окружности |
| q | = |
г |
в |
положительном |
|
направлении |
|||||||||||||||
при |
достаточно |
|
малом |
г > |
0. |
Если |
Im(z) = |
у |
|
= |
h/2nn, |
то |
|||||||||||
| e2mz/h |
|= |
g - i/n . Согласно лемме 3.61, |
|
| F(q) | < |
My~h'2 |
|
при |
||||||||||||||||
некоторой |
константе |
М. |
Поэтому, |
беря г равным |
е - |
1 |
/ " , |
получаем |
|||||||||||||||
1 сп |
I ^ |
Me-(h/2nn)~h/2. |
|
Случай |
нечетного |
к |
можно |
рассмотреть |
|||||||||||||||
аналогично. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Наша цель — доказать справедливость |
функционального |
урав- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нения для |
ряда |
Дирихле |
2 |
ann~s, |
отнесенного |
к |
произвольной |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
71=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
форме f(z) |
= |
2 |
апе271™21* |
из Sh(T', |
op). По |
причинам, |
указанным |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
п=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
замечании |
3.58, |
достаточно |
рассмотреть |
случай |
|
t — 1, |
т. |
е. |
||||||||||||||
Г' |
= |
r0 (i\0. |
Наш |
вопрос |
мы |
обобщим, |
обратившись |
к |
ряду |
||||||||||||||
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Х^а^п^ |
|
при |
произвольном |
характере |
% группы |
( Z / r Z ) x , |
где |
|||||||||||||||
71=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г — целое |
положительное число, взаимно |
простое |
с |
N. Поэтому |
напомним сначала несколько элементарных фактов о гауссовых
•суммах, ассоциированных с %. |
|
|
|
|
|
Фиксируем |
положительное целое число |
г и характер |
% группы |
||
( Z / r Z ) x , т. е. |
некоторый гомоморфизм |
из |
(Z/rZ)* |
в С". |
Предполо |
жим, что х — примитивный характер |
по |
модулю |
г (под этим мы |
подразумеваем следующее: не существует ни одного характера £
группы (Z/sZ)*, |
где |
s—собственный |
делитель 7-, удовлетворяю |
|
щего равенству |
£(#) |
= lix) |
при (х, |
г) = 1). В этих случаях для |
|
§ 3.6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
ДЗЕТА-ФУНКЦИЙ |
123 |
||
с |
£ Z положим |
|
|
|
|
|
|
J %(cmodrZ), |
если |
(с, г) = 1, |
|
|
Х ^ |
= 1 0, |
если (с, |
|
|
и |
определим гауссову сумму W (у) равенством |
|
|||
|
|
W ( x ) = 5 J x ( < 0 £ B , |
£ = < ^ i / r . |
|
|
|
|
с = 0 |
|
|
|
|
ЛЕММА 3 . 63 . В |
прежних обозначениях |
|
|
(1)2 Х(сКЬ с = Х(Ь) ИЧХ) д л я каокдого Ъ£Ъ;
(2)W(%)W(x) = х( - 1)г;
(3)1 W{x)? = г;
(4) Щ Х ) = %(-l)W(X).
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Если (b, г) — 1, то, обозначая через |
|||
Ь - 1 элемент, обратный к Ъ по mod r Z , получаем |
|
|||
2 X » £ Ь с = 2 X (Ь"1а) £° = X (Ь-1 ) 2 X (а) ?а = X |
W (х) • |
|||
с |
а |
|
а |
|
Предположим, |
что s = гУ(г, |
& ) < ? " , и положим |
|
|
|
Я = {а 6 (Z/rZ) x |
| а = 1 mod sZ}; |
|
|
пусть (Z/VZ)X = |
U /Ту — разложение на непересекающиеся клас- |
|||
сы. Так как bs= 0 mod(r), |
то |
== b mod(r) для х £ Н. Далее, |
так как % — примитивный характер по модулю г, то он не может быть тривиальным на Н. Следовательно,
2 x W C b c = 2 2 х ( ^ ) ^ ь = 2 Л (у) 2 х(*)=о.
В силу (1)
W (х) W (%) = 2 W (х) %(с) £с = 2 X W £ Ь Т =
с Ь, с
=2 х ( Ь ) 2 с с < ь + 1 , - х ( - 1 ) г,
Ьс
так как 2 £ а с равно г или 0 в зависимости от того, сравнимо а с О
с
по модулю г или нет. Заметим, что %(—1) = ± 1 . Поэтому
*Пх) = 2х>) Г с = 2 х ( - с К с =
сс
= |
x(-i)W(x)=x(-i)W(x), |
W (х) W (х) = W (х) W (х) х ( - 1 ) = г.
124 ГЛ. 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
Напомним определение Г-функции1 ):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г (s) = |
j |
e - V 1 dx, |
seC . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
ax |
вместо |
x, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(3.6.1) |
|
artr(s)=^e-axxt-1dx, |
|
|
|
|
|
s6C, |
a£R, |
a > 0 . |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ПРЕДЛОЖЕНИЕ |
3.64. Пусть |
N |
|
и г — положительные |
целые |
числа, |
||||||||||||||||
s — положительный |
делитель |
числа |
N |
и |
М |
— наименьшее |
общее |
|||||||||||||||
кратное чисел N, г2 |
и rs. Пусть |
% (соответственно ар) — |
примитив |
|||||||||||||||||||
ный |
характер |
группы |
(Z/rZ)* |
|
(соответственно |
(Z/sZ)*). |
Пусть |
|||||||||||||||
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/(z) = |
2 |
aneZltinz |
|
— |
произвольный |
|
элемент |
из |
Sk(T0(N), |
|
ар). |
[Тогда |
||||||||||
|
п=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h(z) — 2 |
%{n)ane2ninz |
|
принадлежит |
пространству |
Sh(TB(M), |
арх2)- |
||||||||||||||||
|
п=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г1 |
и/г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для |
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Положим ,£ = е 2 Л 1 / г |
и |
аи |
= |
^ |
^ |
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
u £ Z . |
Тогда |
/|[«u]fc= |
S |
а п е 2 я г п ( 2 + и / г ) = |
2 |
|
?*апе™"*, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
так что |
в силу |
|
|
71=1 |
|
|
(1) |
|
|
71=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
утверждения |
леммы 3.63 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
W(%)h(z)= |
|
|
2 х(и) / | [ а « ] * . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Согласно |
предложению |
2.4 |
и |
лемме |
3.9, |
k£Sk(T (r2N)). Поэтому |
||||||||||||||||
для доказательства |
нашего утверждения достаточно проверить |
пове- |
||||||||||||||||||||
дение функции h при действии элемента у |
|
Г |
а Ъ~ |
группы Г0 |
(M). |
|||||||||||||||||
= . Мс d |
||||||||||||||||||||||
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
а' |
= |
а + |
сиМ/г, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
V |
= |
Ь + |
|
|
— ad)/r — |
|
cd2u2Mir2, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
d' |
= |
d — |
|
cd2uMlr. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда |
a, |
b, |
c, |
d — целые |
числа, |
d = |
d' |
mod(s) |
и |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
" 1 i i / r " |
a |
b~ |
|
' |
а' |
Ъ'~ |
1 |
d2u/r~ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
.0 |
1 . _Мс d_ |
|
_Мс d'_ 0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
1 ) |
Символ |
Г встречается у |
нас |
в д в у х случаях: |
когда речь идет о дискрет |
|||||||||||||||||
ной подгруппе |
группы |
S L 2 ( R ) |
и |
когда |
речь идет |
о гамма-функции. Так как |
||||||||||||||||
различия видны из |
контекста, |
мы |
употребляем одну и |
ту |
же |
б у к в у |
для |
обоих |
||||||||||||||
объектов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 3.6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЙ |
125 |
Поэтому, полагая v = d2u, получаем / |[au 7],t = яр(й)/ |[a„]h , так что
h | [у]к = W |
(X)"1 яр (d) х (d2) 2 X И /1 [a0]fc = |
Ф № Х (d2 ) A, |
|||||||
что и требовалось |
доказать. |
|
|
|
|
|
|
||
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.65. Сохраняя |
обозначения |
из |
предложения 3.64, |
||||||
предположим, |
что |
г |
взаимно |
просто |
с |
N, |
и |
положим |
|
" 0 |
— Г |
|
" |
0 |
- Г |
|
|
|
|
т = N |
0 |
|
r2N |
0 |
|
|
|
71=1 |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л | [T']f |
t = |
яр (г) х W |
|
W (х)2 |
г"1 |
2 |
X (») |
M 2 l t i " z . |
71=1
Д о к а з а т е л ь с т в о . Будем пользоваться обозначениями предыдущего доказательства. Предположим, что (и, г) = 1. Тогда можно найти такие целые числа d и w, что dr — Nuw = 1. Следо-
г—и>~
вательно, аих |
гх |
•Nu |
d_ |
aw. |
Положим |
g = / \[x]h. Тогда |
|
|
|
|
|
||
W(x)h\ [x]h |
= 2 X (u) /1 |
[OuT']f t = |
2 X (») Ф (r) gI [ajfc = |
|||
|
|
u |
|
|
u |
|
|
= * ( r ) 2 x ( - ^ ) g | [ a U I ] k = |
|
||||
|
= 4> W X |
W (x) |
2 X H |
bne^nz, |
71=1
Вместе с утверждением (2) леммы 3.63 это доказывает требуемое.
ТЕОРЕМА 3.66. Пусть г — целое положительное число, взаимно простое с N, % — примитивный характер группы (Z/rZ)* и яр — произвольный характер группы (Z/NZ)*. Для каждой функции f(z) =
оо
= |
2 |
(ine2ninz |
|
из |
пространства |
Sk(T0(N), |
г|з) положим |
|
|
||||||
71=1 |
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
(s, /, |
X) =•- |
2 X (п) |
ann~s, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
R |
(*, /, |
X) = |
71=1 |
|
(2n)-s Г (s) L (s, /, x)- |
|
|
|||
|
|
|
|
|
( r W ) s / 2 |
1 + |
|
||||||||
Тогда |
|
ряд |
L(s, |
f, |
%) абсолютно |
сходится |
при |
Re(s) > |
(к/2), |
||||||
и |
его |
можно |
голоморфно |
продолжить на |
всю |
s-плоскостъ. |
Кроме |
||||||||
того, |
этот |
ряд |
удовлетворяет |
функциональному |
уравнению |
|
|||||||||
|
|
|
R |
(s, f, |
х) = |
»Ч (Г) X (Ю |
W |
(%)2r-iR |
(k-s,f\ |
[x]h, |
х), |
|
|||
где |
х |
= |
'0 |
- |
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
126ГЛ. 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
До к а з а т е л ь с т в о . В силу предложений 3.64 и 3.65 достаточно рассмотреть случай г = 1 и % = 1. Абсолютная схо
димость |
ряда L(s, /, 1) для Re(s) > |
к/2 + |
1 следует из леммы 3.62, |
|||
В силу (3.6.1) мы формально |
получаем |
|
||||
|
|
со |
со |
|
|
|
(*) |
j |
/ № У*'1 dy=YJan<^ |
|
е - 2 я »V |
1 dy = |
(2л)-* Г (s) L (s, /, 1). |
О71=1 О
Чтобы увидеть, что это формальное вычисление действительно возможно, заметим, что
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| j |
/ |
(iy) |
/ |
/ " |
I |
dy\<.A\ |
y-Wyk/2 |
dy^O, |
8 |
0, |
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
если |
|
Re(s) > |
k/2 + |
1 |
(в |
силу |
леммы |
3.61), |
и |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ^f^y^dyl^B |
|
|
|
[ e-z*yynm-idy^0, |
|
|
|
Е-+00, |
|
|||||
|
|
|
|
Е |
|
|
|
|
|
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
для |
произвольного |
s(5С |
(А |
и В — константы). Далее, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Е |
|
|
|
|
со |
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j / |
(iy) |
г/8"1 dy = |
2 |
ап ] |
e-^yys-i |
|
йу^ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
п = 1 |
е |
|
|
|
|
|
|
так |
как |
2 апе~2ппУ |
равномерно сходится для |
г/>е . Для |
произволь- |
|||||||||||||
ного |
|
как |
71 |
|
малого |
п ; > 0 |
можно |
выбрать |
настолько большое |
|||||||||
|
угодно |
|||||||||||||||||
число |
М, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
ап |
j |
е - 2 * * ! / , / - ! ^ 1 ^ ; |
2 |
K |
I } |
е-2™Уу°-Ыу |
|
= |
|
|
|
|||||
п>М |
|
е |
|
|
|
|
п>М |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
Г(ст) (2я)-а |
2 К | и - ° < т 1 , |
Re(*) = |
ff. |
|||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
п>М |
|
|
|
|
|
|||||
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
со |
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| j / (iy) y-ldy- |
|
2 «n J e-**»V-i |
^ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n = l |
|
|
|
|
|
|
Л/ |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= |
l i m |
|
[ / (ip) j |
/ 5 " |
1 d y - |
2 |
e. [ |
e-**«vy-idy |
|
|||
|
|
|
|
|
|
e-»0.E-fco J |
|
|
n = l |
|
J |
|
|
|
||||
Этим |
доказана |
справедливость |
(*) |
для |
Re (s) > (/c/2) - j - 1 . |
По тем |
же |
|||||||||||
причинам, если |
g = |
/ | [ x ] f t , |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(**) |
|
|
|
|
|
J g(iy)ys-1dy |
= |
T(s)(2n)-sL(s, |
g, |
1). |
|
|
|
§ 3.6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЙ |
127 |
Положим A = N 1 |
/ 2 . Тогда |
|
|
00 |
А |
|
оо |
j / (iy) |
J / S _ 1 dy=\f |
(iy) г/8"1 |
dy+\f (iy) z/5-1 dy. |
Q |
U |
A |
. |
Как было показано выше, первое слагаемое |
сходится |
при Re (s) > |
|||||||||||||||
>/е/2-|-1, |
второе — при |
любом |
5. |
Заменяя |
у на l/Ny |
и |
учитывая |
||||||||||
равенство |
/ (i/Ny) |
— Nh/2 |
(iy)k |
g (iy), |
получаем |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
A |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j / |
m |
У8'1 |
dy=\f |
|
Wy) |
N-'y-*'1 |
dy |
= |
|
|
|
||||
|
|
О |
|
|
|
|
A |
|
CO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
ihNh/2~s |
g(iy)yb-i-°dy. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
Последний |
интеграл |
сходится |
для |
всех |
s. |
Аналогично |
|
|
|
||||||||
оо |
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j / (iy) г/-* dy = |
i " / V f t / 2 - s j |
g (iy) |
у*-1-« |
dy, |
Re (s) > ~ |
+ 1 . |
|
||||||||||
A |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому, |
если мы положим |
i?'(s, f) — T(s) |
(2n)~sL(s, |
f, |
1), то R' |
(s, f) |
|||||||||||
можно будет голоморфно продолжить на всю s-плоскость |
и |
|
|||||||||||||||
|
|
|
R' |
(s,f) = |
Wh/2-sR' |
|
|
|
(k-s,g). |
|
|
|
|
||||
Заметим, |
что Г (s)"1 — целая |
функция. Теорема |
доказана. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
В приведенном |
рассуждении ряд |
Дирихле |
L (s) = |
2 |
ann~s |
был |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
71=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получен из |
функции |
/ (z) = |
2 |
ane27linz |
посредством |
«обратного |
пре- |
||||||||||
образования |
Меллина» |
71=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
оо |
(ty) У5'1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j / |
dy = |
T (s) (2n)~s |
L(s) |
= |
R (s). |
|
|
|
|||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оказывается, / (z) можно получить из L (s) |
«прямым |
преобразованием |
|||||||||||||||
Меллина» |
|
|
/ (iy) = |
(2m) -1 |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
R (s) x~s |
ds, |
|
|
|
|
|
где интеграл берется по вертикальной прямой Re(s) = c при неко тором а > 0. Это соответствие между f(z) и L(s) было использовано Гекке для доказательства того, что R(s) удовлетворяет функцио нальному уравнению приведенного типа тогда и только тогда, когда f(z) — автоморфная форма относительно некоторой дискрет ной подгруппы Г группы S L 2 ( R ) . Такой результат не вполне удов-
128 ГЛ 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
летворителен, потому что факторпростраиство r\jg * при этом часто некомпактно -1 ). Более полный результат, недавно получен
ный А. Вейлем, состоит в следующем: если для достаточно |
многих |
||||
характеров |
% ряды |
со |
удовлетворяют |
функциональным |
|
У] %(n)anii~s |
|||||
уравнениям, |
то / |
п = 1 |
пространству |
|
яр) при |
принадлежит |
Sh(T0(N), |
некоторых А и яр. По поводу деталей мы отсылаем читателя к Гекке [3], А. Вейлю [9], [12].
В нашем изложении автоморфная форма была определена как некоторая комплексная аналитическая функция. В плане обобще ния такого подхода Маасе рассмотрел вещественные аналитиче ские автоморфиые формы на полуплоскости <д, являющиеся соб ственными функциями некоторых инвариантных дифференциаль ных операторов. Для этих форм им была развита теория операто ров Гекке и получено обобщение приведенного выше соответствия между /(z) и R(s). Из многочисленных статей по этой теме мы огра ничимся здесь упоминанием лишь работ Маасса [1] — [3].
Существуют (по крайней мере) три важных раздела, которых в данной книге мы не касаемся 2 ) . Первый из них — связь между модулярными и квадратичными формами. Если Р(х) =
=2 Paxixi — положительно определенная квадратичная
форма с коэффициентами |
ptj из кольца Z, то |
ряд У] |
e2niPW2, |
называемый тэта-рядом, |
является модулярной |
.г-ez2'1 |
веса к |
формой |
относительно некоторой конгруэнц-подгруппы группы SL 2 (Z) . Существенную роль здесь играют ряды Эйзенштейна. По этому поводу читатель может обратиться к работам Гекке [1], [5] и Шеиеберга [1]. Следует также указать на многие работы Зигеля по ква дратичным формам и их обобщениям, которые можно найти в трех томах его собрания сочинений. Изложение этой темы на языке аделей было дано А. Вейлем [8]. В этой же связи см. Шалпка и Танака [1].
J ) Т о есть дискретная подгруппа Г, отвечающая по теореме Гекке ряду Дирихле с функциональным уравнением, не только не является, вообще гово ря, конгруэнц-подгруппой модулярной группы, но может не быть фуксовой группой первого рода (ее фундаментальная область может иметь бесконечную неевклидову площадь) . — Прим. ред.
2 ) В последнее время получен ряд интересных результатов, связанных
сприменениями теории модулярных функций. Применению модулярных форм
кисследованию значений дзета-функций полей алгебраических чисел в четных
отрицательных точках посвящен доклад Серра па |
семинаре |
Бурбаки |
(июнь |
|||||
1972 |
г.) |
[ 1 * * ] . Отметим результаты Ю. |
И. |
М а ю ш а [ 1 * ] , |
[1**] — [3**] по |
|||
модулярным кривым и рядам Гекке, в том |
числе |
р-адическим. Современное |
||||||
•состояние теории модулярных функций одного |
переменного |
должно |
быть |
|||||
подробно |
освещено в четырех выпусках ((Modular |
functions |
of |
one variables)), |
||||
из которых пока вышел первый: Lecture notes |
i n m a t h e m a t i c s , |
№ 320, |
1973.— |
|||||
Прим. |
ред. |
|
|
|
|
|
|
§ 3.6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЙ |
129 |
Второй раздел посвящен явному вычислению следа операторов Гекке, в связи с чем мы упомянем работы Сельберга [1], Эйхлера [3] — [6] и Шимидзу [1].
И, наконец, третий раздел, в котором теория представлений групп играет существенную роль. Об этом можно прочитать в не давней работе Жаке и Ленглендса [1], а также в более ранних работах, которые там цитируются х ) . Несмотря на то что эти три раздела упоминаются нами порознь, все они тесно связаны между собой и с тем, что рассматривается в данной книге.
Наше изложение было сосредоточено на |
случае конгруэнц-под- |
групп группы SL 2 (Z) . На самом деле можно |
строить дзета-функции |
из автоморфных форм относительно группы |
единиц простой алгеб |
ры над числовым полем. Они обладают эйлеровым произведением вида, указанного в теореме 3.21. Детали можно найти в работах Маасса [2], Годемана [1], Тамагавы [1], Шимидзу [1], А. Вейля [12], Жаке и Ленглендса [1]. Простые алгебры с делением изучают ся Годеманом [1] и Тамагавой [1], в то время как остальные статьи посвящены кватернионным алгебрам (в обобщенном смысле, вклю
чая |
матричные |
алгебры степени |
2). |
|
|
|
|
|
г |
) Изложение |
теории Жаке — Ленглендса имеется также |
в статье |
Годе |
||||
мана |
[ 1 * ] . |
|
|
|
|
|
|
|
О применениях теории представлений групп к |
теории автоморфных |
функ |
||||||
ций |
можно |
прочитать в книге Гельфанда, Граева |
и |
Пятецкого-Шаниро |
[ 1 * ] . |
|||
в сборнике |
«Арифметические группы |
и автоморфиые |
функции» |
(изд-во «Мир», |
||||
М., |
1969) и |
в книге Хариш-Чандры |
[ 1 * * ] . — Прим. |
|
ред. |
|
|
9-01118