Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

15.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 339 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

80		ГЛ.	3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ I I ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
Зафиксируем			теперь	произвольную полугруппу Д,						для которой
Г с	Д с	Г. Пусть R(T,		Д)	обозначает Z-модуль всех формальных
конечных		сумм	У] ck-TakT,		где ck	£ Z и	ah	6 Д. Относительно			вве-
			к				Д)	становится		ассоциатив
денного выше закона умножения R(T,
ным	кольцом. Которое			мы	называем кольцом				Гекке	относительно
группы Т.и полугруппы Д. Очевидно, Г =							Г>1 -Г является единичным
элементом		этого	кольца.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.8. Если					группа	G обладает			антиавтоморфизмом
<х	а*,	при котором Г* =			Г и (ГаГ)*		=	ГаГ	для каждого а 6 А,
то кольцо		R(T,	А) коммутативно.			(Под	антиавтоморфизмом				здесь
подразумевается взаимно однозначное отображение группы G на
себя,	при	котором (аВ)* =			ра.)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Применяя * к ГаГ, мы обнаруживаем, что число правых смежных классов в ГаГ равно числу левых смеж ных классов. Поэтому, согласно лемме 3.5, можно считать, что ГаГ = U Га, = Ц «|Г и ГВГ = у Гр, = у рД1 (все объединения

разделенные) для любых а, Р 6 А. Тогда ГаГ = Га*Г = у Га? и ГрГ = ГР*Г = у Гр*. Если ГаГрГ = у ГЕГ, то ГрГаГ =

=Гр*Га*Г = (ГаГрГ)* = U Г£Г. Следовательно,

(ГаГ)-(ГрГ) = S с6 (Г£Г),

(ГрГ) - (ГаГ) = У] сЦТЩ s

при одних н тех же компонентах Г|Г. В силу предложения 3.2

сгйеВ(ПТ)	=	#	{(», /)	\| Га«р; Г	=	ГЩ	=
	=	#	{ ( i , j)	\| Гр\|а?Г	=	ГЕГ}	(после применения *) =

= фс1е8 (Г£Г),

так что eg — с*. Предложение доказано.

До сих пор мы не давали мотивировок. Начнем их с рассмотрения простейшего случая. Пусть 77 — поле алгебраических чисел конечной степени, / — кольцо целых чисел в F и Е = J* (см. 0.2). Для про стоты предположим, что число классов поля 77 равно единице. Тогда

с каждым идеалом А =				a J	в 77	можно	сопоставить смежный		класс
аЕ	=	ЕаЕ.	Таким образом,		в данном		случае мы	полагаем Е	= Г
и	А =	/ —	{0} (или	А =	77 —	{0}).	Введенное	нами умножение

является здесь умножением идеалов. Если число классов поля боль ше единицы, то аналогичные рассмотрения можно провести с помо щью иделей.

Возьмем теперь какую-либо (скажем, простую) некоммутативную алгебру X над некоторым полем алгебраических чисел. Пусть S —

§ 3.2. ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ ДИРИХЛЕ С ЭЙЛЕРОВЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ 81

какой-нибудь порядок в X, т. е. конечно порожденный Z-подмодуль
в X	максимального ранга, являющийся кольцом с единицей. Если
Г =	S*,	то каждый левый главный идеал Sa определяется смежным
классом		Га. Поскольку в данном случае нет коммутативности умно

жения, перемножение идеалов не проходит так гладко. Поэтому

вместо Га	мы можем взять двойной смежный класс		ГаГ, который
доставляет	меньше затруднений.	Эта точка зрения	стаиет яснее
в последующих параграфах, где в		качестве X мы возьмем матричную

алгебру M „ ( Q ) , и в частности M 2 ( Q ) . В § 7.1 мы выявим связь между классами ГаГ и алгебраическими соответствиями на алгебраических кривых.

§ 3.2. Формальные ряды Дирихле с эйлеровым произведением

Остановимся

теперь

на конкретном

случае

G =

GL„(Q)

= SL„(Z). Для

произвольного

целого

числа

N ф 0

положим

Г л- =

(V 6 Г

17 =

1,! mod(A)} .

ЛЕММА

3.9.

Пусть

р £ M n

( Z ) ,

clet(P) = b ф

Тогда

Г' N b

с :

с= р - ^ р n p r w p ^ .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим

Р' =

b p - 1 .

Так

как

Р' £

б M n ( Z ) ,

то из 7 =

1„ mod(Nb)

следует

р'-уР =

р'р

ЬЛп

mod(Nb);

поэтому

Р_ 1 7Р

l , i mod(iV).

частности,

это

означает,

что

Р Л Р ё M„(Z). Еслн 7 6

I \ v b l

то

det(p-^yP) = 1, так

что

р - ^р 6

Г,у ;

следовательно,

7 £ РГ.^Р"1 -

Аналогично

7 £ Р- 1 Гд'Р.

ЛЕММА 3.10.

Г =

G L n ( Q ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

а б GL„(Q), то

ср при неко

торых с б Q и р 6 M„(Z). Имеем а Г а - 1

р г р - 1

. Согласно лемме

3.9,

пересечение

Г П РГР- 1

содержит

при

b =

det(P).

Так

как

[Г : Г ь ] <

оо,

то число

[Г : Г |~|

а Г а - 1

]

конечно. Осуществляя

внут

ренний автоморфизм %

а _ 1 | а

и подставляя

затем

а -

вместо

а,

получаем

[ а Г а - 1 : а Г а - 1 (~|

Г] < ;

0 0 ,

откуда

6 Г.

Положим

А =

{а 6 Mf l (Z)

| det(a) > 0} .

Очевидно,

А —

полу

группа и

Г с

Д с

Г. Выясним

структуру кольца

R(T,

А). Для

произвольных целых чисел аи

. .,

ап

обозначим через

diagtai, . . .

. . ., я„]

диагональную

матрицу

элементами

ах,

. . ., а„

на диаго

нали. Из теории элементарных делителей (см. лемму 3.11 ниже)

известно, что		представители фактора Г\А/Г		задаются	матрицей
diag[al t	. . ., ап]	с такими положительными целыми числами а4 , . . .
. . ., ап,	что at	делит a i + l .	Далее, преобразование \|		является
антиавтоморфизмом группы G и '(ГаГ) = ГаГ для каждого двой
ного смежного класса ГаГ при а £ G, так как матрица а может счи
таться диагональной. В силу предложения 3.8				это доказывает ком
мутативность кольца R(T,			А).

6 - 01118

82	ГЛ. 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ I I ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

Наша ближайшая цель — полулить нечто вроде таблицы умно жения для Л(Г, А). Основная идея состоит в том, чтобы сопоста вить с каждым смежным классом Га некоторую решетку и подсчи тывать число решеток вместо числа смежных классов. Для этого положим

Г векторное

пространство всех

71-мерных ]

{

вектор-строк с координатами из

j '

пусть

группа

G =

GL„(Q) действует на V справа.

Подмодуль

пространства

будем

называть

решеткой

(точнее,

[Z-решеткой)

в V, еслп L конечно порожден над Z, а V порождается L над Q.

Легко видеть, что L будет решеткой в V тогда и только тогда,

когда

— свободный Z-модуль ранга 7г. Еслп а £ G и L — решетка в V, то

и La

— решетка в V. Заметим также, что если ТУ —

подпространство

V и L — решетка в

то

L (]

W — решетка

Далее,

если

и М — решетки в

то

(i)

L +

и L f| М — решетки

(И) существует

такое

положительное

целое

число

с,

что

cL а

М.

ЛЕММА 3.11. Пусть

и М

— решетки

Тогда

существуют

такие

п элементов ил,

. . ., ип

пространства

и такие

п положи-

тельных

рациональных

чисел

by,

. . .,

bn,

что

— 2 J Zut,

i = l

ZbjU;

b i

+ i g biZ.

i = l

Это есть не что иное, как основная теорема об элементарных дели телях (вернее, переформулировка). Очевидно, М cz L тогда и только тогда, когда Ь; £ Z для всех £ = 1 , . . ., 7г. Множество {byZ, . . .

. . ., bnZ} мы будем называть множеством элементарных делителей решетки М относительно решетки L и будем писать

{L:M}=

{h,

. .,

bn}=

{b.Z,

. . ., bnZ).

Если M

L ,

то

[ L : M]

bt . . .

bn.

частности, если a =

d i a g [ b b

. . .,

bn],

то { L : La}

{bu

. . .,

bn}.

В дальнейшем мы будем обозначать через L стандартную решет

ку

Z".

При

этом

соглашении

SL„(Z) =

{а

€ G \ La =

L , det(a) > 0} .

Для а и р из А равенство Га = Гр выполняется тогда п только тогда, когда La = L p .

ЛЕММА	3.12. Пусть М и	N — решетки	в V.	Тогда { L : М) =
= { L : N}	в том и только в том случае,		когда	существует такой
элемент- а	группы Г, что Ма	= N.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточность очевидиа. Для доказа тельства необходимости положим { L : М} = { L : N} = {аи . . .

. . ., ап). Тогда существуют 2тг элементов ut и vt пространства V,

§ 3.2. ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ ДИРИХЛЕ С ЭЙЛЕРОВЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ 83

для

которых

L =

Ziij

^Zvh

Za(ub

N =

Za;y;.

1 , . . .

Определим элемент а группы G равенствами uta

для i =

. . .,

п. Тогда La =

L , Afa =

и det(a) =

± 1 . Если det(a) = — 1 ,

надо взять —Vi вместо

vt.

Пусть

а ь

. . .,

ап — такие

положительные

целые

числа,

что

Ui+i делится иа at.

Определим следующим образом элемент Т(аи . . .

. . .,

ап)

кольца

R{T,

А):

Т(аи

. . .,

ап)

ГаГ,

а =

d i a g [ a b

. . .,

ап].

Как отмечалось выше, кольцо R{T,

А)

порождается

над Z

элемен

тами

T(at,

. . .,

ап).

ЛЕММА

3 . 1 3 . Пусть

ГаГ

Т{аи

. . .,

ап).

Тогда

отображение

Г£ к-»- L \ задает взаимно однозначное

соответствие между

смежными

классами Т\ в ГаГ и решетками

М, для которых

{ L : М}

{аи . . .

• •

•.

ап}-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Можно

считать,

что

d i a g [ a b . . .

. . .,

ап].

Если

Г£ = Габ

при

б 6 Г,

то

{ L : Щ

{ L

: Lad}

{ L

: La}

{а4 ,

. . .,

ап).

Обратно,

если

{ L

: М}

{а{, . . .

. .

ап},

то, согласно лемме 3 . 1 2 , существует

такой элемент у

из

Г,

что М

Lay.

Очевидно, Taycz

ГаГ. Соответствие Г£

|_*. L \ взаимно

однозначно, так

как

Г£ = Гт| тогда

и только тогда, когда

L \ =

L I T .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

3 . 1 4 . Степень

элемента

Т(аи

. . .,

ап)

совпадает

с числом

таких

решеток М,

что { L : М}

{аъ

. . .,

ап}.

Это немедленно

следует

из леммы 3 . 1 3 .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

3 . 1 5 . Если

(ГаГ)-(ГрТ) = 2

с | "Г^Г,

где

сг£Ъ,

то

равно

числу

таких

решеток

М,

для

которых

{ L : М\

[ L : L B } и

{М

: L\)

{ L :

La}.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

ГаГ

U Гаг

ГрТ =

U Гр7-

(объединения

разделенные).

Тогда

с6

{(», j)

I Г а , р ,

{(i,

I La$}

L I } .

Заметим, что число i однозначно определяется элементом | и числом / .

Предположим, что La$j

= L | , и пусть М =

L$j. Тогда { L : М}

—

= { L : L B }

{М

: L\}

{L$j

: La$j}

{ L : Lat

\ =

{ L :

La}.

Обратно,

пусть

— такая

решетка,

что

[ L : М}

{ L : L$}

[М : L I ) =

{ L : La}.

Согласно лемме 3 . 1 3 , М = L$j

для

одного

только

одного

Но

тогда

{ L : 1/ЦЗ,т1 } =

{ L B ; : L\}

{ L

La}.

Согласно

лемме

3 . 1 3 , L^fi]1

Lat

при

некотором i,

так

что

L \ =

Laftj.

Таким

образом,

каждая

решетка М

определяет

пару (г, ;')

обратно. Утверждение

доказано.

ГЛ.

ОПЕРАТОРЫ

ГЕККЕ

ДЗЕТА-ФУНКЩ'Ш

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

3 . 1 6 . Пусть

а и

В — такие

элементы

из

А,

что

числа det(a) и det(P) взаимно просты.

Тогда

(ГаГ) -(ГВГ) =

ГарТ.

Другими

словами,

если

(ап,

bn)

1 ,

то

Г(а„

. . ., an)-T(bu

. . .,

bn)

Tfaby,

. . .,

anbn).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

E. 6 ГаГВГ.

Пусть

М'

таковы,

что

{ L : М)

{ L : М'}

{ L : L B }

{М

: Щ

= {М'

: Щ

{ L : La}.

Имеем

[М

М'

: М]

= Ш'

: М

М'\.

Левая часть этого равенства делит

[ L : М] =

det(B),

а правая

часть

делит [ L : L a ] =

det(a),

так

как

М'

LE cz М

М'.

Так

как числа

det(a)

det(B)

взаимно

просты,

то

М + М'

и М'

М П М',

так что М

М'.

В силу предложения

3 . 1 5 отсюда

следует, что кратность класса ГЕГ в (ГаГ) -(ГВГ) равна единице. Далее, если Е 6 ГаГВГ, то можно найти по крайней мере одну решет ку М с названными выше свойствами. Тогда LE. а М с L и фактор

L l L \	пзоморфеп модулю		ЫМ ф	MlL\,	а следовательно,	н	модулю
L I L a	©	L / L B , поскольку	числа	det(a)	и det(B) взаимно		просты.
Поэтому		элементарные делители		решетки L \ относительно		L	полио

стью определяются элементами а и В. Из сказанного следует, что ГаГВГ состоит ровно пз одного двойного смежного класса, которым, очевидно, является ГаВГ. Предложение доказано.

Из этого		предложения вытекает,		что	каждый	элемент Т(аи . . .
. . ., ап)	можно		представить как	произведение			элементов	вида
Г(р'1, .	. .,	рс"),	где р — простое число		и 0 ^ ех	^	е2 =Sj . . . ^	еп;

такое представление единственно (если брать пе более одного сомно жителя для каждого простого числа). Для каждого простого числа р

обозначим через R'™ подкольцо в R(T,

А), порожденное

элементами

впда

T(pei, . . . .

реп).

Тогда

обсуждаемый вопрос

сводится к

изу

чению

структуры

кольца

R'p'.

Но

сначала отметим

простой факт.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

3 . 1 7 . Имеет

место

равенство

Т(с,

. . .,

с)Т{Ьи . .

., Ь„) =

Т{сЬу,

. . .,

сЪп).

Это

следует

непосредственно

из

определения

закона

умножения

в кольце R(T,

А). В частности, мы видим, что

Т(с,

. . .,

с) не являет

ся

делителем нуля

R{T,

А). (Позднее мы

покажем,

что R(T,

А)

действительности

является

областью

целостности.)

Зафиксируем теперь простое число р и изучим структуру кольца Rpn>. Рассмотрим фактор (Z/pZ)n = L I p L как векторное простран ство размерности п над простым полем Z/pZ.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ	3 . 1 8 . Пусть с™' — число k-мерных				подпространств
в (Z/pZ)n. Тогда
c («) =	c(n2 =	(РП-1)(РП-Р)	• •• (Р"-Р1 '"1 )		_
"	п _ *	(pfc_i)(pk_p)...(pfe_p fc-i)
	=	deg (Т	,	р^^р))•

n-h ft

§ 3.2. ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ ДИРИХЛЕ С ЭЙЛЕРОВЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ 85


Д о к а з а т е л ь с т в о .				Равенство		с}"' =		cln-h 1 1 представле
ние	числа <4П) как		рациональной функции от				р хорошо известны.
Чтобы связать это с deg(T),				воспользуемся				предложением 3.14.
Пусть М		— такая	решетка в	V,	что [ L : М)		=	{ 1 , . . ., 1, р, . . .
. . .,	р},	где на первых п — к местах стоит 1 и па остальных							/сиестах
стоит	р.	Тогда pL cz М cz L , и			MlpL	есть (п — /с)-мерное			подпро
странство		в L/pL.	Обратно,	для	каждого (п — /с)-мерного				подпро

странства К в L/pL можно найти единственным образом такую решет

ку М,	что MlpL	= К.	Вместе с предложением 3.14 этот факт дока
зывает	требуемое	равенство.
Определим Z-линейное отображение тр: Лр1 + 1 > ->• R'™ равенствами
	яр(Г(1,	,	. . .,	=	T(p*i ,		. . .,	р«»),
	\\){Т(ра°, ра^,		. . .,	ра «)) =	0,	если	а0 >	0.
ЛЕММА 3.19. Отображение				т\|э является сюръективным гомоморфиз
мом и	его ядро Кег(яр) совпадает с Т(р,					. . .,	p)-Rlp+1\

Д о к а з а т е л ь с т в о . Сюръективность очевидна. Утвержде ние о ядре Кег(тр) следует из предложения 3.17 и определения яр. Поэтому для завершения доказательства достаточно проверить мультнпликативиость для элементов Г(1, ра *, . . ., р а «) . Положим для простоты

е'

{ 1 ,

р а 1, . .

р«"},

{pai,

р п * } ,

{ 1 ,

pbi, . .

pbn),

{pbi,

рЪп},

{ 1 , р^,

- .

., рс"},

= { p c i ,

рсп},

рЙ.

т(Це')-Т(П;

T(g%

u.g

m(T(e).T(f);

T(g)).

Мы собираемся

показать,

что

\хе — и.д<. Пусть

L ' = Z™*1

2 Z U J ,

S Zuh

N'> = Z u 0

ЛГ =

2 Z p c ^ £

. Тогда

{L:N}=

i=i

i=l

-i=l

{ L ' : N'}

g', и в силу предложения

3.15

ц в

{ М

| {Z, : i ¥ } =

{М

: Ж }

«},

ця .

{ М '

| { L ' : Ж ' }

/ ' , {М' :N'}

е').

Предположим, что

: М'}

/',

{М'

: N'}

е'.

Тогда

и0

£ N'

М'.

Пусть

= М'

(] L . Тогда

Ж ' =

Zu0

и,

очевидно,

{ L

: 7¥} =

{ М

: iV} =

е.

Обратно, если

— решетка

в Q n

—

Qu i>

Д л я

которой

{ L : М)

{Л/ : iV} =

е,

то

положим

М'

ZM.0

+ М.

Легко

проверить, что

i l f = М'

П £> { L '

: М'}

/ ' ,

{ М '

: iV'} =

е'. Это

показывает,

что

\xg

иг<.

Далее,

T(e)-T(f)

Li g r(g),

2, (p.

• . . .

W - r ( / ' )

86 ГЛ. 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

при некотором X

из Rpn+1\

Так

как ty(T(p, .

. .,

р))

= О, то \\> пере

водит T(e')-T(f)

в T(e)-T(f).

Доказательство

закопчено.

ТЕОРЕМА

3.20.

Кольцо

R™

является

полиномиальным

кольцом

над Z от п

переменных

Т(1,

. .

., 1, р),

Т(1,

. . .,

р,

р),

. . .,

Т(р,

. . .,

р),

которые алгебраически независимы. В частности,

кольцо

Rpn) не

имеет делителей

нуля

(отличных

от

0).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Проведем индукцию по п. Для п = 1

утверждение

очевидно,

так как

Т(ра)

Т(р)а

силу предложе

ния 3.17. Предположим, что п^> 1 пчто утверждение верно для п — 1.

Для

каждого двойного смежного класса ГаГ при clet(a) = pv

поло

жим

г^(ГаГ) =

определим

для

У, ck-ТакТ

£ Rpn)

число

w(X)

как наибольшее среди чисел г^(Га,,Г) при ненулевых

ск. Назо

вем

элемент X

однородным, если

числа w(VakT)

равны

для

всех

ch Ф

0. В частности, элемент T ( p a

i ,

. . .,

рап)

однороден и w(T(pni, . ..

. . .,

рап))

= at +

. . . -+- ап.

Произведение

двух

однородных

эле

ментов,

очевидно,

однородно. Положим Ткю

Г(1, . . .,

1, р, . . .

. . .,

р),

где на первых п — к местах стопт 1 и па остальных к местах

стоит

р. Мы собираемся доказать, применяя индукцию

по w, ITO

каждый

элемент

кольца 2?рп> является многочленом от

Т\ю, . . .

. . .,

Т™. Достаточно

рассмотреть

элементы

вида

T(p°i, . . .

. . .,

рап). Если

at >

то,

согласио

лемме

3.16,

Т(р^, . .

р"п) =

Т(р,

. . .,

p)T(p^-i,

. . .,

p«n-i),

так что в этом случае вопрос сводится к элементу с минимальным w.

(Заметим, что w(X) =				0 тогда и только тогда, когда X — константа,
т. е. элемент из Z.) Поэтому предположим, что									ах = 0. Рассмотрим
гомоморфизм			г\|э: Rpm-»-	R'p~v,	полученный			в лемме 3.19. По		пред
положению		индукции
			лр (X) =	т ( Р « « , . . . , рап)		=	y j U	h . Mk	(ТГ'),
							h
где	u f c 6 Z	и	Mh(T^-v>)	— одночлены			от Т\п~.		. ., Г™.	Заме
тим,	что каждый одночлен Мь(Т\п~и)					является			однородным элемеп-
том.	Поэтому		можно	предположить,		что 1и(Мк(Т\п~™)) = w(X)				для

всех к, так как никакого сокращения между однородными элемен

тами с различными

w произойти

не может. Подставляя

Т1-"'

вместо

Д п _ 1 ) , положим

%иъ'Мк{Т™,

. . .,

та.

Легко видеть, что ю(Мк(Т^))

w(X).

Так

как

\\>(Х — Y) =

0, то

существует

такой элемент

Rpn), что

— Y

Т(р,

. . .,

p)-Z.

Очевидно,

что w(Z) <

w(X).

По

предположению

индукции элемент

Z является многочленом

от

Г'"';

следовательно,

X 6 Z [ r j n >

, . . .

. . .,

l n j .

§ 3.2. ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ ДИРИХЛЕ С ЭЙЛЕРОВЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ 87

Для

доказательства

алгебраической

независимости

элемеитов

Т\п)

предположим, что существует такой многочлен Р,

что Р(Т\п\ . . .

. . ., Т'™) =

0 и

Р ф

Многочлен

можно

представить в

виде

P ^ f ,

. . . , 2 t > ) =

(T™)ipt(T<?\

. . . , 2 ^ 0 ,

i=k

где 0 ^

к ^

I и Рк Ф

Так

как

не является

делителем

нуля

(см. предложение

3.17), то 0 = 2

{T^)iJhPt{T^\

. . .,

T^li).

При-

меняя

\\>, получаем

P ^ T Y 1 - 1 1 ,

. . .,

Г ^ 1 ' ) =

по

индукции

Рк

= 0.

Мы

пришли

противоречию.

Доказательство

закончено.

Из теоремы 3.20 следует, что R(T, А) — полиномиальное кольцо над Z от бесконечного множества переменных вида Г(1, . . ., 1, р, . . ., р), где /л — простое число. В частности, R(T, Д) — область целостности.

Для произвольного положительного целого числа m обозначим через Т(т) сумму всех ГаГ при а 6 Д и det(a) = т. Мы рассмотрим теперь формальный ряд Дирихле (с коэффициентами из R(T, А))

оо	2 (Г«Г) • de t (a) ~s ,
D («) = 2 Т И m~s =	2 (Г«Г) • de t (a) ~s ,
m = l	Г\Д/Г

где последняя сумма берется по всем различным двойным смежным классам ГаГ, а 6 Д. Из предложения 3.16 легко вывести, что

(3.2.1)	T(mm')	= T{m)T(m'),	если (то,	то') =	1.
Поэтому D(s)	можно	(формально)	выразить	в виде	бесконечного
произведения		со
		со

0(8)=П.[У>Т(рЬ)р-ь°],

р к=0

где р пробегает множество всех простых чисел. По определению Т(т)

со	т (р« ..., Реп) г1 + -+ в »
2 т о*) х к = 2

при произвольной переменной X. Докажем теперь, что этот формаль ный степенной ряд является в действительности рациональным выражением от X.

ТЕОРЕМА		3.21. Пусть	Т\м	=	Т(1, . . ., 1,	р, . . ., р),	где	на
первых	п—	i местах стоит 1		и	на остальных	i местах	стоит	р,
и пусть	X	— переменная.	Тогда
		2 T(Ph)xh=[	2	(-lVpw-wj'0 **]"1

h=0

i=0

88 ГЛ. 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

и,

следовательно,

со

Т (m) m- = \\ \ У, ( - 1)*

p W - D / a i f V l - 1 .

m = l

р i=0

где

произведение распространяется

на

все

простые

числа р.

Докажем сначала

две

леммы.

ЛЕММА 3 . 2 2 . Пусть

целые числа с^ те же, что в предложении 3 . 1 8 .

Тогда

СО

т\п)х*- (23

T(pm)xm)

7)1 =

S ciA ) -{

т ( 1 , . . . ,

1 , р*,..., / Л )

z d l - - + d M

ft=0

l $ d j $ . . . ^ d f t

(подразумевается,

что

С{Й > = 0, если i >

к и с{00> = 1).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Зафиксируем

множество

показателей

{di,

. . ., dh}

и обозначим

через

\i(d)

коэффициент

прп Т(\, . . .

оо

. . .,

1 ,

. . ., pdh)Xdi+--+dh

в Т^Х1

T(pm)Xm).

Заметим,

что

это выражение появляется в

. 7П=0

только тогда,

Т{™Х1

T(pm)Xm

когда i + m = dj + . . . -f- dh. Фиксируем

такую решетку N, что

{ L

: N} = { 1 , . . ., 1 , pdi, . . ., / А } . В силу предложеппя 3 . 1 5

V-

№ = 2

| { L : М)

= { 1 , . . ., 1, р,

. .., р), {М

: N} = { L : La}},

где сумма распространяется на все классы ГаГ, для которых clet(a) = = pm и а 6 А- (Здесь п далее число вхождений р в { 1 , . . ., 1 , р, . . .

. . ., р) равно i.) Если				{ L : М} = ( 1 , . . ., 1 , _р, . . ., р} ж N cz М,
то можно	найти	такой		элемент а из		Д, что {М : iV} =		{ L : L a } ,
н очевидно, что det(a) = pm. Поэтому						\x(d) равно числу таких реше
ток М, что
(*)	NczM,			{ L :М) = ( 1 , . . ., 1 , р, . . ., р}.
						п
Возьмем	базис {и,}		так, чтобы L = 2				Z u v И
					h	v = i
				n - ft	h
		N= 2 ZuV -T- 2 z/vU n _,i + v .
				v = l	v = l
		7 1 - / J		' i
Тогда pL	-\- N —	2	Z u v + 2		ZpUn-k+v',		следовательно,	фактормо-
		v = l		v = l

дуль L/(pL + iV) изоморфен (Z/pZ)f t . Если Af обладает свойством


	§ 3.2. ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ ДИРИХЛЕ С ЭЙЛЕРОВЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ							89
(*),		то pL + N cz М и		модуль	L I M изоморфен	(Z/pZ)1.	Поэтому
\i(d)		ф	0 только тогда,	когда i ^	к. Итак, для i ^	к фактормодуль
M/(pL			+ N) является (к — ^-мерным подпространством				в L/(pL +
+	N).		Обратно, каждое (к — £)-мерное подпространство				в Ll(pL	+
+	N) можно представить в виде M/(pL + N), где М — некоторая

однозначно определяемая решетка, обладающая свойством (*). Таким

образом, p,(d) =	cf-\ и лемма		доказана.
			k
ЛЕММА 3 . 2 3 .	Если fc>0,		то 2 ( — l ) V ( i - 1		) / 2 c ( i h ) =	0 .
			i = 0	й - 1
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Положим / (X) =		й - 1		Тогда
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Положим / (X) =		[}	(Х — р1).	Тогда
	/	1	i	= °
	i = S		fW/if'Wix-p*)],

так как правая часть есть многочлен степени, меньшей чем к, при

нимающий значение 1 в к точках					р°, р1,	. . ., рк~1.		Подставим рк
вместо X.	Тогда
й - 1					й
1 =	2 c f ) ( _ l ) f e - i - l p № - i ) ( f t - i - l ) / 2 =					V	c W ( _ l ) J - l p i O - l ) / 2 f
	г=0				i = l
что и требовалось			доказать.
Д о к а з а т е л ь с т в о				т е о р е м ы		3 . 2 1 . Рассмотрим произ
ведение
	[ S		( - 1 ) * Р^-»/2ТРхЧ		[ §	Т (рт) Х"1) .
В силу леммы		3 . 2 2 оно равно
2 ( - i ) i p w - * ) / 2 2 с?Ч2г(1.							•••
г=0			й=0
Согласно	лемме	3 . 2 3 , здесь		не обращается в			нуль	лишь член при
к = 0, который		равен 1 . Теорема			доказана.

Имеет смысл выделить частные случаи теоремы 3 . 2 1 при п =

=1 , 2 . Если п — 1 , то

	2	Т(т)т-^Ц[1-Т{р)р-Г1\
	7Л=1	Р
если п = 2, то
	со
( 3 . 2 . 2 )	2 Т(т)т-=Ц	р)р- + Т(р, р)	Р^Г1.

m = l	Р
(Заметим, что Г ( 1 , р) =	Г(р).)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 339 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ