книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

200 ГЛ. 6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ

Поэтому диаграмма

—> С/аш	-> Е
I	i d
1
-> C/s'h	!'_> Е°

при некотором подходящим образом выбранном изоморфизме |" коммутативна. Пусть а £ Q a /Z 2 и и = i z (а). В силу леммы 6.4

(2)

Ш

=

hh(Uu))

( i

=

1,

2,

3),

и s x u =

s 1 ч 2 (а) =

u (a-g(s)-1 )

=

i z (aya'1)

=

л-ч^ (аг/) (mod s _ 1 a z

=

=

Алц .). Поэтому

£ ' ( S _ 1 M )

=

|"(1ц,(яу)), так

что

hUd'is-'u))

=

pay(w)

(i

= 1, 2, 3)

согласно

лемме

6.4; следовательно, из (1) и (2) получается

(3)

fi(z)°

=

кШиГ)

= / ^ ( а - Ч * ) )

(i =

1,

2,

3).

Кроме того,

(4)

т в

=

=

Я » )

=

Д а - Ч г ) ) .

Фиксируем теперь целое положительное

число N >

2, и

пусть

i V -

1 Z 2 ( Z 2

—

{0}

=

{а,

Ь, . . . } .

Пусть

У# — геометрическое

место

для

множества

ф'(а)

=

(/(s). Ш

,

Ш .

• • • . /2(8).

Ш .

• •

/2(8).

/2(8).

• •

•).

где

i — переменная

на

ф, в аффинном пространстве

размерности

3(ЛГ 2 — 1) -г

1.

Если

Р =

Q'tVjv, то

кривая

У Р

бнрационально

эквивалентна кривой V'N и существует такое бирациональное

отображение

X

из

У Р

в У^

над /гР

=

/сл -,

что

X ° срР

= ср'. Так

как

кривая

У Р

не имеет особепностей,

отображение

X

определено

во

всех

точках

множества фР ($3); отображение X ие бирегулярно,

по

взаимно

однозначно

в

следующем

смысле:

(5)

если

% £

z2

6 ф

"

ф ' ( 2 1 )

— ф'(2 г). m o

фр(2 0

=

фр(2 2)-

Действительно,

если

cp'(z±)

=

cp'(z2 ),

то

j ( z i ) =

Д 2 2 ) и

существует

такой элемент у

группы

Г\, что

y ( Z i )

=

z2 . Положим L i = Zz:

+

Z

n i ( a ) = a

1

для a 6 R 2 . Обозначим той же буквой

i отображение

из

R 2 / Z 2

иа

C/Lj,

индуцированное

отображением

i . Пусть

£t —

изоморфизм

тора

C/Lt

на

эллиптическую

кривую

Е{

6 %.

Если

а; =

i (а),

а £ i V _ 1 Z 2 / Z 2

=

{ 0 } и г/ = 1.(ау), то в силу формулы (6.1.3)

и леммы

6.4

hUU*))

= Pa (Z>)

=

/

i ( Г 2 ) =

Ра

=

= / i T ( * i )

=1г}±(Ш)

d = 1, 2, 3).

§ 6.8. ЯВНАЯ ФОРМА ЗАКОНА ВЗАИМНОСТИ

20-1

Поэтому

в силу

( 4 . 5 . 3 ) га{^(х))

=

£,i(y)

при некотором

автомор­

физме

е а

кривой

Et.

Если

Ei 6 %и то е а

=

± 1 и еа а =

ау для

всех

а £ i V _ : L Z 2

/ Z 2

—

{ 0 } . В силу

леммы

6 . 2 у £ Г ^ * { ± 1 } ,

так что

фр(2 г) =

V P ( T ( z I ) )

=

ФР(2 1)>

а

э т

о

доказывает (5 ) в

случае

Et 6

(г £i-

Предположим,

что ZJj 6

$ 2 » тогда L i —

дробный пдеал

поля

К =

Q ( ] / — l )

и е а отождествляется

с умножением на одну из еди­

ниц

(всего их четыре) ± 1 , ±У—1-

Д л я

е

€ ( ± 1-л,,

±

V " — 1 | можно

ы

1 ^ = 1

ч

"ez/

е* . 1

_

е

так что

ау

для

а 6 i V _ 1

Z 2

/ Z 2 —

{ 0 } . Теперь

нам

будет

нужна

ЛЕММА

6 . 3 2 . Пусть N — положительное

целое

число,

большее 2,

у — произвольный

элемент

группы

Tit

Zj — эллиптическая

точка

группы

Г\ и

А = {б £ Г4

| 6(z£ ) =

Zj}.

Предположим,

что

для

каждого

и £ Z 2

существует

такой

элемент

б и группы

А, что иу =

=u6ii mod(A) . Тогда у 6 АГ^-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так как каждая

эллиптическая

точ­

ка группы

Т± является

^-эквивалентной

точке У—1

или

точке

е 2 я 1 / 3 ) достаточно

провести

доказательство

в

случаях

zt

Г=1

и z, = e2 5 t i /3 .

Если

zt

= e2 l t i /3 ,

то, согласно

нашему

результату

из § 1 . 4,

"

0

1 "

г

2>

" -

1

. — 1

1 .

. — 1 0 .

Положим о = ( 1 ,

0 ) , с =

( 0 , 1 )

и 7' = убь1 . Тогда

Ьу' =

Ь mocl(iV);

следовательно

7

=s

1 0

mod(iV) при некоторых

целых числах

р

и q. Так как det(y')

=

Р (7.

получается

1 , то q = 1 mod(iV), в силу чего

1

0",

сравнение

у ==

1

mod(iV). С другой

стороны,

(р,

1 ) = = су

=

сб mod(iV) при некотором

б 6 А. Рассмотрение

элементов

груп

пы А показывает, что б = 1 2 или

0

Т

" О

Т

1

1

Но если б =

1 1

-

то у

1

0 mod(iV) и (Ь +

с)у' = ( 0 ,

1 ) ф

(b - f с) е шоа(Лг )для

1

1

каждого элемента е группы А. Мы пришли к противоречию.	Поэто­
му б = 1 Г и у' 6 TN; следовательно, у £ Гл -А. Случай zx =	У—1

рассматривается аналогично и более просто.

Применяя доказанную лемму к данной ситуации, мы получаем

включение уд £ ГЛ - при таком б			из группы	что б ^ ) =	Zj. Но
тогда ф Р (z2 ) = фрСуб^)) = фр(г			4 ), чем доказывается (5 ) в		случае
Е 6 %г-	Оставшийся	случай Е £ <£3 можно		разобрать с помощью
тех же	соображений,	пользуясь леммой 6 . 3 2 .

202

ГЛ.

6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ

Возвращаясь к исходным z, s, а, а,

у и Р

=

Q x t 7 A r , мы

видим,

что

а(у) — a(<7(s)-1) =

[s,

К] =

а

на

Q o b .

Отображение

fla

»—»• flaU

определяет

теперь автоморфизм

поля

^yj V

пад полем

который

индуцирует

бнрациоиальное отображение

/ '

кривой У#

в

V$(v\

определенное, очевидно, всюду на Y'N

п

удовлетворяющее

равен­

ству

/ ' о X

=

Х° о JPP{y).

Из

(3) и

(4) мы получаем соотношение

cp'(z)0 =

/'[cp'(a - 1 (z))],

в

силу

чего

XaWP(z)a]

= / , [ Х [ ф Р ( а - 1 ( г ) ) ] ]

=

=

XalJPP(y)[<?P(a-\z))]}.

Согласно

утверждению

(5), фР (г)° =

/рр(г/)[фр(а_ 1 (г))].

Полагая

R =

аРа~г

=

q(s)Pq(s)~1,

получаем

Ф Р ( * ) °

= / р р ( г / ) [ / р л ( « - г ) [ ф Й ( 2 ) ] ]

=

/ р П ( ? ( 5 ) - 1 ) [ ф п (Z)].

Эта формула справедлива для Р =

Q*UN

при произвольном N >

>2. Для произвольной группы S £ S можно найти такое целое

положительное

число N >

2,

что

Q* (7 Л - с : S1. Поэтому,

полагая

/> =

QX £/\Y п

Г

= g(s)iSg(s)- 1 ,

находим,

что

(6)

ф 5 ( 2 ) в

=

/ З Р ( 1 ) ° [ ф р ( г ) а ]

=

/ S p ( l ) ( J [ / p f l ( g ( s ) - 1

) [ T R

(z)]]

=

=

J S R ( 9 ( в ) - х ) [ ф я

( z ) l =

/ S T ( ? ( S ) - 1 ) [ / T R ( 1 ) [ ф л ( г ) ] ]

=

= / S r(?(s _ 1 ))[tPr(z)] .

Пусть

/ i — произвольный

элемент

поля ^ , определенный и конеч­

ный

в

точке

z.

Тогда / i =

/

о cps

при

некоторой

группе

S (; S

и некоторой функции / на кривой Vs,

рациональной пад ks

и опре­

деленной в точке Фа(г). Поэтому

в

силу

(6.7.6)

(7)

h(zf

=

А Ф 5 ( 2 ) а )

=

/ а ( / 8 т ( д ( 5 ) - 1 [ ф Т ( 2 ) 1 ) =

/тйСН) (z).

Из формул (6) и (7) мы заключаем, что

q>s(z)a

ы Hz)a

зависят

толь­

ко от s, т. е. только от ограничения

а на КаЬ.

Поэтому cps(z) и

и р ­

рациональные функции

над

Каъ,

ы можно

заменить а

иа

[s, К]

в (6) и (7) и, таким образом, получить утверждения

(ii) и (i) тео­

ремы 6.31.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.33. Пусть

обозначения

имеют тот

же

смысл,

что в теореме

6..31,

S £ % и

W =

{s

6

К*Л

I q(s)

6 5 } .

Тогда

К •ks((ps(z))

—

подполе

поля

КАЪ,

соответствующее

подгруп­

пе K*W группы

КА-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

s £ КЛ

и л

=

[s,

К].

Тогда

я =

a(q(s)~1)

на

Qa /,. Если s

£ W,

то

я

=

i d на

ks.

В силу

свой­

ства

(6.7.9) и утверждения (ii) теоремы 6.31 фв(г)л =

фв (г),

так что

§

6.S. ЯВНАЯ ФОРМА ЗАКОНА ВЗАИМНОСТИ

203

лх =

i d

на

ks((ps(z)).

Обратно,

предположим,

что

л

=

i d

на

/cs (cps (z)).

В

силу

утверждения (i) леммы

6.17 g(s)_ 1

=

ta

при

t £ S

и

а

£ Gq+. Полагая

Т

=

q(s)Sq(s)~1,

мы получаем иа

основа­

нии утверждения

(и) теоремы

6.31 и свойства (6.7.10), что

cps(z)

=

cps(z)'n

=

J ST(ta)UpT(z)]

=

cps (a(z))

и,

значит,

z =

ya(z)

при

у

£ T s

. В

силу

формулы

(4.4.4)

уа

=

=

q(b)

при

6 6 Л х -

Но

тогда

g(5s)- 1

=

^Т- 1

6 З1, так

что s

£

i f x W .

Доказательство

закончено.

Получим теперь более конкретный вид формулы

(i)

из

теоре­

мы 6.31, взяв в качестве h более явно заданную

функцию. Сначала

вместо h возьмем fa.

Хотя

результат

в

этом

случае,

по

существу,

такой же, как в утверждении (3) из

теоремы

6.31, мы

сформули­

руем его несколько иначе.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

6.34.

Пусть

а — дробный

идеал

поля

К

и

{coj,

со2 }

—

базис

дробного

идеала

а

над

Z,

для

которого

z0

=

=

COJ/COJ 6

Далее,

пусть

N

— целое положительное

число,

СN

—

максимальное

поле классов лучей

над К по модулю Nub

—

дробный

идеал

в К,

взаимно простой

с N.

Тогда

для

каждого

а £ N~XZ2,

а

4 Z 2 ,

значение

fa{z0)

принадлежит

полю

СN.

Кроме

того,

если

о = ( ^ ) ,

a r - Z c o i + Z c o ; , ( o l / a ^ e e ,

=

при

£ £

GQ+,

то

fUz0)a

=

Д « )

(i

= 1, 2,

3),

где

Ъ — элемент

группы

N~XZ2,

для

которого

b =

a£ mod Zp

для

всех

простых

множителей

р

числа

N.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из

предложения

6.33

следует,

что

h(z0)

6 СN

для

каждой

функции

h £ %N,

а это

доказывает

первое

утверждение. Для доказательства второго рассмотрим такой эле­

мент	s группы		КА,	что	S<QK	— Ь. Элемент s можно				выбрать так,
чтобы sp		= 1 для всех простых делителей р числа N. Тогда [s, К] =
= ст	на	CN.	Определим		погружение			q: КM2(Q)		равенством
[ICO,		СО!				. Для каждого простого				рационального
			для LI £
числа	р	L w2
		7-	СО	(a о 1 ) p =		apsp1	=Z%	COj Sp
			со,
						COj	•Z%q(s-X)		со,
									CO,
						« 2	J

(Каждыйчлен	этих равенств является решеткой в группе Кр =
= К CH>Q Q p =	QpC0i+ Qp co2 ; р-компонента sp элемента s является

204 ГЛ. 6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ

элементом		группы К? .) Поэтому Zp =						Zpg(Sp1)| для всех р, так
что <?(s_1) £ = t			при	некотором t		из	U.	В силу утверждения (i)
теоремы 6.31
			ГаЫ°	= (Га)^	U-^o))		=	(/а)Т < ( )	« ) •
Так как sp =			1 для всех р,		делящих N, то at = я.| mod Zp для
всех р,	делящих N. Так как идеал Ъ взаимно								прост	с N, то £ £
6 G L 2 ( Z P )		для	всех	таких р. Поэтому				(/а)т < 0	= /ь,	где	Ъ — эле­
мент, описанный выше. Доказательство закопчено.
ЗАМЕЧАНИЕ.			ЕСЛП	Ь — целый		идеал,		то a i	об "	так	что
6 M 2 ( Z ) .	В	этом случае Ъ =			а\,	так	что
(6.8.1)				/t(zo)a	=		fUl~\4)).

Теперь мы рассмотрим модулярную функцию, которая полу­ чается из автоморфиых форм с рациональными коэффициентами Фурье:

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.35. Пусть gt						и g% — автоморфные		формы веса к
относительно			группы Г =		SL 2 (Z), отличные		от О,	и а, — произ­
вольный		элемент		группы	Gq+. Положим		S = Q ^ c i - 1		U a f| U)
и h =	(gi	I [ a l h ) / g 2 ,		где
			gi	[а]ь	d e t ( a ) f t / 2 g 1 ( a ( z ) ) / ( a , а ) - *
(см. §	2.1) u символ			U имеет тот же смысл,			что в § 6.4.		Предполо­
жим,	что коэффициенты				Фурье	разложений	для g^ и gz		относи­
тельно	е 2 д ' г		рациональны.		Тогда	h £ %s.

Отметим, что вес к должен быть четным, так как ие существует автоморфиых форм относительно Г нечетного веса (см. § 2.1).

Д о к а з а т е л ь с т в о .			Можно		найти	такие	элементы	у п 5
группы Г, что	a = у$8	и	В =	"гт	О"			Тогда
				О	при г £ Q, т £ Z.
(gt I [ Р № г =	h о б" 1 и	QX (B_ 1 C/B П U) =				бЯб"1 .	Поэтому	доста­

	точно доказать утверждение для В. Другими словами,			можно счи-
	тать, что a	~гт 01	Тогда а ^ Г а П Г = Г0 (то)	и h(z) =
		О

=mk/2gi(mz)/gz(z). Поэтому функция h инвариантна относительно'

Т0(т) и имеет рациональные коэффициенты Фурье; следовательно, h принадлежит полю %'т = Q(/, j(mz), fa), рассмотренному в утвер­ ждении (2) предложения 6.9. Согласно этому предложению и в си­ лу изоморфизма между группами UlUm и GL2 (Z/?nZ), имеем ft'm = = %т, где

T=-.Q*.{xeU\xp= J ° m o d m - M ^ Z p ) (deZJ)J .

6.9. ДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ГРУППЫ G

205

Легко проверить, что a~xUa f| Ucz T0(m)-T. Так как функция h инвариантна отиосителы-ю Т0(т) и относительно Т, то h £ g s . Предложение доказано.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.36. Пусть

gu

g2,

а и h те же, что

в

предложе­

нии

6.35,

и Аг, а,

Ь, colt со2 ,

z0 ,

а,

СN

те же,

что в

предложе­

нии

6.34.

Предположим,

что

det(a)

= N

и

а £ M 2 ( Z ) .

Тогда

h(z0)

£ Cjy.

Кроме

того,

существует

элемент

т| группы

GQ+,

удов­

летворяющий

следующему

условию:

{*)

1]

1

—

базис

идеала

аЬ - 1

над Z

и а н а - 1

£ G L 2 ( Z P ) Зля всех

р,

L W 2 J

N.

делящих

Если

т| удовлетворяет

условию

(*), ?no /i(z0 )°

= /г(т](г0 )).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим

5 =

Q*(a _ 1 i7a

f]

С/)-

Сог­

ласно

предложению 6.35,

h £

g-s . Заметим, что

UN cz

a^Ua

("| U;

следовательно, h £ g s .

Поэтому

/г(г0 ) £ С я , как отмечалось

в

нача­

ле

доказательства

предложения

6.34.

Возьмем

<в|, со^,

|,

s

и

£,

как в предложении 6.34 и его

доказательстве. Положим L =

Z 2 .

Так

как t

£ U, то

группа

LlLat

изоморфна группе L / L a и L a i =

=iay для некоторого -у £ Г в соответствии с леммой 3.12. Но тогда

			Fcoi	Так как
<xyt~ya~x 6 U. Положим и =	у ! - 1	. Тогда	г)
= £ для всех р, делящих		то а л а - 1	L W 2	для всех таких
	N,		Е G L 2(Z p )

ja. Мы тем самым доказали существование элемента т], удовлетво

ряющего	условию	(*).
Пусть	теперь	п — произвольный элемент,	удовлетворяющий
условию	(*). Возьмем и - 1 в качестве элемента £,		рассматривавшегося

в доказательстве предложения 6.34. Тогда, как было там доказано,

^(s"1 ))]"1 = t				при t £ U. Поскольку sp = 1 для					всех р, делящих	N,
имеем л - 1			=	tp для всех таких р,			так что atpa~x		£ G L 2 ( Z P ) . Последнее
включение верно также для всех р,								не делящих N, так как det(a)		=
=	N	и a	£ M 2 ( Z ) .		Поэтому a t a - 1			6 С/; следовательно, t £ a - 1 (7a |~|
Л	U <zz S.		В силу утверждения (i) теоремы 6.31
				/i(z0 )f f	=	(z0 ) =	Л* СО (n(z0 )) =		/I(TI(Z 0 )),
так		как	h £ g s .		Доказательство			закончено.

УПРАЖНЕНИЕ 6.37. Обобщите предложения 6.34 и 6.36 на случай, когда порядок решетки а = Zcot - j - Zco2 не максимален (ср1. пред­ ложение 4.11 и формулу (5.4.2)).

§ 6.9. Действие элемента группы G Q с отрицательным определителем

Для каждого	х	£ GA обозначим через х0		проекцию этого	элемен­
та на G 0 . ЕСЛИ	a	£ GQ+, ТО элемент т(а) =		т ( а 0 ) определяется равен­
ством /Vе№ = h о а		для h £	Если a £ GQ И det(a) <с 0, то		символ

206	ГЛ. 6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ
т ( а 0 )	имеет смысл, так как а0 £ G.a+, в то время как элемент т ( а )

не определен. Поэтому естественно задаться вопросом о природе элемента т(а0 ). Ответ дается следующей теоремой.

ТЕОРЕМА

6 . 3 8 .

Пусть

а — такой

элемент

группы

Gq,

что

det(a) <

0,

и а0 — проекция

элемента

а на

неархимедову

часть Go-

группы G_iТогда

(i)

/ i

T (

a

o ) (z) =/г(a

(z))

для всех

h£$

и

всех

z £ £ i;

(ii)

если

S g S

11

S' =a0Sa01,

mo

J s

- S (a0 ) [cps

(z)] =

cps< (a (z))

для

всех

z £ .

(Здесь

черта

над символами

означает комплексное сопряжение.)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть z 6 £>

и

L = Zz +

Z. Пусть

\ — изо­

морфизм тора C/L на эллиптическую

кривую

Е^%.

Тогда

можно

определить

изоморфизм

из

C/L в Е

равенством

|' (и) = £ (и.). Поло­

жим

б -

0

Г

Тогда

б

1

0

,

6(z) =

—

И

Ь = Ъ -;-Zz.

Поэтому

( 1 )

7(F) = 7 ( Я ) =

у (Ё) =

у ( l / i ) =

/

(б(i)).

Для каждого

а 6 Q2

1

=

£

U 6

так что, согласно лемме 6 . 4 ,

(2)

fa

(б (I)) =

^

(|'

(a [

1 ]) )

=

hE

(б (ав [ * ] ) ) =

} а 6

(z).

Так как бо 6 U, из формулы (1) находим

Г$о) (Z) = ; ( 2 )

= / ( 6 ( z ) ) ,

а в силу (2) это означает,

что

Л'(во) (z)

=

/i(6(z))

для

всех

h £ %•

Если a и a 0

те же;е, что в формулировке теоремы,

то аб 1

6 Gq+; зна­

чит,

полагая

/У =

7ih - (~ '>) =

h о а б

-

,

получаем

6

1

x( Ta6 a 1

- 11

/г^«хо) ( z )

=

/jT(a6-i)x(6o)

( z )

=

fe'T(60) ( Z )

=

=

/г'

( б ( г ) ) = / г ( с ф ) ) ,

что доказывает утверждение (i). Утверждение (ii) следует непосред­

ственно из (i) и ( 6 . 7 . 6 ) .

СЛЕДСТВИЕ 6 . 3 9 . Пусть	К — мнимое квадратичное поле, q — нор­
мализованное погружение	поля К в алгебру M 2 (Q) и z — неподвижная

§ G.9. ДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТА ГРУППЫ G(

207

точка группы q(Kx)

на полуплоскости

<д. Пусть

9} —

нормализатор

группы

q{K")

в группе

GQ.

Тогда

(1)

[3h q{IC)\

=

2 ;

( 2 )

det(a) <

0

к

cc(z)

=

z

для

каждого

а 6 31 —

(3)

h(z) =

/гх<ао) (z)

для

каждого

h е Й' u

каждого

а 6 31 —

q(Kx).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В

соответствии с рассуждениями

§ 4 . 4

существует

такой

элемент

р

группы GQ, ЧТО det(P) <с 0 ,

P(z) =

z

и q(a)

=

Р"х ?(а)Р

для всех а 6 J5T. Тогда р 6 Зс — q{Kx).

Пусть а

6 ft-

Так как a~kq(K)a

=

можно

определить автоморфизм

а

поля

К равенством q(aa) = a~1q(a)a

для

всех

а е К.

Если

а =

i d ,

то

элемент а должен содержаться в группе q(K), потому что q{K)

совпа­

дает со своим коммутатором

в

M 2 ( Q ) .

Поэтому,

еслп

а (f q(K),

то

аа — а для

всех

а е К, так

что

a^~1q(a)

=

дг(а)аР- 1 для всех

а 6 Я .

Тогда

а р - 1

£

Поэтому

91 =

q{K*)

(J ?(^Х )Р;

следовательно,

доказаны

утверждения

(1)

и

( 2 ) . Последнее утверждение

следует

из утверждения

(i) теоремы

6 . 3 8

и из ( 2 ) .

ЗАМЕЧАНИЕ 6 . 4 0 .

Так как группа G_JQXG«,

естественно изоморфна

группе

G,.i+/Q*Gco+,

можно

определить такой гомоморфизм т' груп­

пы G..i

в

группу

Aut(g)

с

ядром

Q*G«.,

что т =

т'

на

G A + .

Однако

такое продолжение отображения т не сохраняет одного из а основ­

ных свойств ( 6 . 6 . 2 ) . Чтобы	в этом	убедиться, возьмем	и а 0 , как
в теореме 6.38, и положим	а — а0а^.	В соответствии с	утвержде­

нием (i) теоремы 6.38 преобразование т(а0 ) совпадает с комплексным сопряжением на Q a b . Так как a(a) = i d , то

a(a») =		a ( a 0 ) _ 1 =	т ( а 0 ) - 1 =	комплексное сопряженпе (на Qa b)-
С	другой	стороны,	т'(сбсо) =	i d согласно нашему определению, так
что	т'(схоо) ф ст(а<»)		на Qa {,.
	Поэтому для рассмотрения группы GA В целом необходимо (и это

вполне естественно) рассмотреть больше функций, чем их содержится

в поле %. Сделать это можно так. Пусть <§-							обозначает нижнюю ком­
плексную		полуплоскость, т. е.
			<§- =		{z 6	С | Im(z) <	0 } .
Для	каждой комплексиозпачной функции /, определенной или на ,<g,
или	на	зададим /*		равенством /*(z) =			/(z). Положим
		Г =	{/*	i / e g } ,
		=	% ©	%*	=	{(/. g)\fe%,	ge%*}-

Тогда ?у* — поле мероморфиых на <Q~ функций, а ffi можно рас­ сматривать как кольцо функций, мероморфиых на <Q [) ft*. Пусть Aut(3t) обозначает группу всех автоморфизмов кольца 9?. Опреде­ лим отображение

X: G A - > A u t (Ш)

20S

ГЛ.

6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО

УРОВНЯ

равенствами

(/,

/г*)М*> =

(/«*),

( X е

/ 6

д.,

/г

е

g.),

(/,

ft*)M*)

=

( № > ,

(/«*»>)*)

(а: 6

-

GA+,

/

6 g , h 6 Й).

Тогда легко

проверить,

что

А — гомоморфизм

и

( 6 . 9

. 1 )

Кег(л-)

=

Q*<?»+,

( 6 . 9

. 2 )

(я,

о)М«) =

а«*>,

а<*0)

(я € £ ь а 6

Qab),

( 6 . 9 . 3 )

г««> =

г о а

(г 6

Ш, а

6

GQ).

Последняя формула следует из формулы ( 6 . 6 . 1 ) и утверждения (i) теоремы 6 . 3 8 . Если определить вложение i : ->- 9? равенством *(/) = (/, / * ) , то

( 6 . 9 . 4 )

i(f^)

=

ие%,

хеGA*).

Далее, прямыми рассуждениями можно показать, что

( 6 . 9 . 5 ) K{GA) — коммутатор группы K(GJ) в группе Aut(SR).

ЗАМЕЧАНИЕ 6 . 4 1 . Пусть К, q, z и У1 те же, что в следствии 6 . 3 9 . Очевидно, поле Каь является расширением Галуа поля Q и группа Gal(7i'a b /Q) неабелева; группа Gal(Kab/K) является подгруппой индекса 2 в ней. Положим

	Ш = q(KAm		= q(K*A) U g( £ i)P ,
где Р —	некоторый элемент		из У1 —	q(K").	Тогда можно	определить
отображение		р:	G a l ( / I a b / Q )
равенствами
	р(Ф))	=	К] для s £		КА,
	р(Р) =	комплексное		сопряжение,
	р(агР) = р(аг)р(Р) для			а: 6 (К-Кл).
Согласно	утверждению	(i)	теоремы	6 . 3	1 , утверждению	(3) след­

ствия 6 . 3 9 и формулам	( 6 . 9 . 3 ) и	( 6 . 9 . 4 ) ,	для некоторой фиксирован­
ной точки z
r(z)Pto)	= rM0(z )	(г 6	у£Ш).

Отсюда следует, что р — гомоморфизм.					Таким образом, мы получили
коммутативную		диаграмму	с точными		строками
1	—	q (Кй)	> Ш —>	Ш/q {КА) - Ь 1
		\	1Р		\
1	—	Gal (Я о Ь /Я) - > Gal (/Ta b /Q) - > Gal (ff/Q)				1

Г Л А В А 7

ДЗЕТА-ФУНКЦИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ I I АБЕЛЕВЫХ МНОГООБРАЗИИ

§ 7.1.	Определение дзета-функций алгебраических кривых
и абелевых многообразий; цель настоящей главы
Пусть	V — проективная неособая кривая рода g, определенная

над полем алгебраических чисел к конечной степени. Для каждого

простого

идеала р поля

к обозначим через p(V)

кривую,

получен­

ную

из

V редукцией по модулю

р. Существует конечное множество

23 простых

идеалов поля к, обладающее следующим свойством: кри­

вая

p ( F ) — пеособая

(и

кратности один), если р (J ЯЗ. Можно

пока­

зать, что

род кривой

p(F) для таких р равен g (Шимура и Танияма

[ 1 ,

§ 10.4,

предложение

И]) . Дзета-функция Z(u; р(7)) кривой

p{V)

над полем вычетов

х Р

идеала р имеет вид

Z(u; \>{V)) =

Ff{u)/[(1

-

u)(l -

N(p)u)).

Здесь и — переменная,

Ar(p) — число

элементов

поля к Р

и

—

многочлен

степени 2g,

свободный член которого равен 1.

Дзета-

функция

кривой V над полем к (формально) определяется

как бесконеч­

ное

произведение г )

Us;

VIк) =

П

FP(N(p)-T\

где s — комплексная

переменная.

В действительности

можно

анало­

гичным образом определить дзета-функцию (дзета-функции) произ­ вольного (проективного иеособого) алгебраического многообразия над к. Однако здесь мы будем рассматривать лишь дзета-фуикцип кривых и абелевых многообразий.

Для определения дзета-функции абелева многообразия А, задан­ ного над к, заметим сначала, что существует такое конечное множе­

ство	ЗУ простых идеалов поля к, что	для каждого р (J ЯЗ' многооб­
разие	А обладает хорошей редукцией	по модулю р в смысле Серра

и Тейта [1], или, что эквивалентно, многообразие А не пмеет дефекта в р в смысле Шпмуры и Таниямы [ 1 , § 11]. Пусть р(Л) — абелево многообразие, полученное из А редукцией по модулю р, яр — эндо­ морфизм Фробеипуса на р(А) степени iV(p) и Д , - некоторое Z-адиче- ское представление кольца End(p(^l)), где I — простое рациональное число, взаимно простое с идеалом р. Тогда одномерная часть дзета-

функции			многообразия р(А)	над полем хр задается равенством
			F'v(u) =	d e t t l — Д-(яр) и].
	*)	Х о т я мы п пренебрегаем		в рассуждениях «плохими» простыми идеалами
р,	па	деле	оказывается важным рассматривать и для них эйлеровы множители;
см.	§	7.9,	В.

14—01118