книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

220

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

группы G0,

для которого ур равно

1 о

пли 1 в зависимости

от

того,

.0

делит

р число N или

пет. Очевидно,

aq1y

£

U', так что Jss(aq)

=

=

Jssly)-

Имеем

а(у)

= [ d e t ( i / ) - 1 Q ]

=

p(q)

иа kN, а

также

ту =

-

ifx

viif

£

U';

поэтому в силу свойств (4) и (7) из предложения 7.2

XSS(T)

=

XSs(xy)

= Xss(T)P«I)

О / S S ( Z / )

=

Z S S ( T ) P ( 9 )

О / s

s ( f f , ) .

ся

Алгебраическое

соответствие

Xss(a)

при

а g GQ+ часто называет­

модулярным

соответствием уровня

N.

Если S =

U (i.

е. уро­

вень равен 1) и а — примитивный элемент алгебры M 2 ( Z ) с определи­

телем

п в

смысле § 4.6, то модулярное соответствие Хиъ-{а)

можно

представить уравнением F „ ( X , J)

= 0, где F N

— многочлен пз (4.6.3).

§ 7.4. Отношения сравнения для модулярных соответствий

Пусть р — простое рациональное число и — простой дивизор поля Q , на который делится р. Если X — многообразие (пли цикл и т. п.), рациональное пад Q , то будем обозначать через X илп^ЩХ) объект, полученный из X редукцией по модулю 5)5. Пусть U, V,

W	— проективные неособые кривые,				X — собственный положитель­
ный 1-цикл на		U X V и Y — собственный положительный 1-цикл
на Y X W, причем все рациональны над Q . Предположим, что U, V,
W	— неособые	кривые,	а циклы	X,	Y	собственные. Тогда
		$	(X ° Y)	=	X	о Y.

(По поводу общей теории редукция по модулю ^ мы отсылаем чита­

теля	к работе	автора [1], а также к книге ГДпмуры п Таниямы [ 1 ,
гл.	I I I ] . )
Зафиксируем теперь произвольную группу S из множества g,
имеющую вид		S =	Q*C/', где U' — некоторая открытая		подгруппа
в U,	a U — та же		группа, что	в (7.3.3). Отметим, что	существует
конечное множество			2 j s рациональных простых чисел р,		для каж­
дого пз которых справедливы следующие утверждения:
(7.4.1) Up<zz		U'.
(7.4.2) $Р (Vg) — неособая кривая для каждого сг £ Gal(/eS /Q)					и	каждого
	простого положительного			дивизора\># поля Q, делящегочисло р.
(7.4.3) ^(Jss(c))		— бирегулярный		изоморфизм] кривой' ЩУ8)		в кри­

вую ^ (Vs( c ) ) для каждого с £ Ojt и каждого простого ^дивизора поля Q , делящего р.

(Заметим, что существует лишь конечное множество циклов /ss(c )> так как факторгруппа Q A / ( Q A П S) конечна.)

(7.4.4) Если	Si	=	Q'C/,	то	S($(/sis(l)) —	сюръективный	морфизм
из $	( F S l )	в	%{VS)	для	каждого	делящего р.

§ 7.4. ОТНОШЕНИЯ СРАВНЕНИЯ ДЛЯ МОДУЛЯРНЫХ СООТВЕТСТВИЙ 221

В

данной ситуации

7 S l

рассматривается

как

проективная

прямая

и

cpSl

—

как модулярная

функция

J из

теоремы

2.9.

Возьмем теперь рациональное простое число р, не принадлежа­

щее множеству

93s , и простой дивизор

поля

Q, делящий р. Пусть

л — автоморфизм возведения в р-ю

степень универсальной

области,

содержащей

поле

вычетов поля

Q по модулю 5$. Обозначим через

Ф 3

соответствие Фробениуса на Vs X

V%,

т.

е.

геометрическое

место

точек

а X а™ на

многообразии

Vs

X Vs

при

а £

Vs.

ТЕОРЕМА

7.9.

В прежних

обозначениях

и

предположениях

пусть

wp

— элемент

кольца

M 2 ( Z P ) , для

которого

det{wp) = р,

и

w —

эле­

мент

группы

G A , р-я

компонента

которого

равна

wp,

а

остальные

компоненты равны 1. Если

р £ SBS, то соответствие

Xgs^w*1)

рацио­

нально

над ks и

Xssiw-1)

=

Os +

'Ogo/ggfdetH-1 ).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

U" — проекция

группы

U'

на

[J Ut. Тогда

V

=

UPU",

так что wU'w-1

Г| V

= {wpUpw?[)

UP)U".

В

силу

леммы

7.6

detiwU'w1

f| U')

=

det(t7').

Следовательно,

ks = kY,

если

Y

=

ivSw*1

|~|

S.

В силу свойства (1) из

предложе­

ния 7.2 цикл Xssiw1)

рационален

над

ks.

Далее, можно найти бесконечное множество мнимых квадратич­

ных полей К, в которых распадается р.

Возьмем любое поле К

с та­

ким свойством

и нормализованное

погружение q поля К в

алгебру

M 2 ( Q ) ,

при

котором

g(ojc) с= M 2 ( Z ) ,

где Од —

кольцо целых алгеб­

раических чисел поля К. Пусть

z —

неподвижная

точка

группы

q{K")

на полуплоскости

и р =

5$ Г| К.

В силу предложения

6.33

композит К •/vs(tps(z)) является подполем поля Каь,

соответствующим

группе

К* -{s

£ Кл\ q(s) £ S).

Согласно

(7.4.1),

число

р

неразвет-

влеио

в

К 'ks{q>s(z))-

Пусть /vp — пополнение

поля

К в

точке

р,

up — простой

эле­

мент

поля

Кр

и

и — элемент

группы

К л,

р-компонента

которого

равна up, а остальные компоненты

равны 1. Пусть, далее,

ц. —

авто­

морфизм Фробениуса

поля Q над К относительно

дивизоров

$

и р.

Так как

ц = [и,

К] на ZiT-/«s((ps(z)),

то

в

силу

утверждения

(ii) тео­

ремы 6.31 cpslz)^ = /sr((7(l t )~1 fc Pr(z )b

г Д е

?

=

(z(w-)jSg(ii)-1. Поскольку

д(0я) с : M 2 (Z),

элемент

q[u)p

содержится

в алгебре M2 (Z,,)

и

имеет

те же элементарные делители, что п wp.

Поэтому

в

силу

(7.4.1)

8а{и)~г8

=

Sw_1S.

Выше

было

показано,

что

ks

=

kY

,

еслп

Y

=

=S П wSw~x. В силу свойства (5) из предложения 7.2 это означает,

что цикл Xss(w~1) зависит только от Sw^S. Поэтому, полагая R =

=S Г| Т, находим, что

Xss(w-i)	=	ХввШ-1)	= / S fi(g(u) - X ) о */ 8 Н (1 ) =
	=	/ S r № ) - V / r f i ( l ) » ' / S R ( l ) .

222			ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
Из установленного		выше включения <pT(z) X <Ps(zYl 6				sr(<z(l i )- 1 ) с л е _
дует,	что <ps(z) X	9s(z)^ 6 Xssiw1).		Положим а = s,p(<ps(z)). Тогда
а X а я 6 X s s ( I / J > _ 1 ) , и			потому / S i s ( l )	(а)	= 9si(z ) =	Л 2 ) -	Если Е -•
эллиптическая кривая, изоморфная тору					C/(Zz + Z), то J{z)			— инва­
риант	кривой Е.	Так	как число р	распадается в		К,	то	кольцо

EndQ (Е) должно быть изоморфно полю К. (Этот результат принадле­ жит Дойрингу. Доказательство см. в его работе [1] или в книге Шпмуры и Тапиямы [ 1 , стр. 114, теорема 2].)

Беря бесконечное множество различных полей К, мы получаем бесконечное множество различных инвариантов J{z) и, следователь­

но,

в силу (7.4.4)

бесконечное

множество

различных

точек а на

Vs,

для

которых

а X ап

£ Xssi™'1)-

Таким

образом,

Ф 5

c z

X s s ( u > - 1 ) . .

В силу свойства (9) из предложения

7.2

Xss{w)

= A " s s ( H > ~ 1 ) ( 7 ( " ' ) , .

откуда Xss(w)n

=

' X s s ( u > _ 1 ) .

Положим

с =

det(w),

wl = cw~l.

Так

как матрицы и-р и wp

имеют одинаковые

элементарные

делители,

то

SwlS

=

SwS,

так

что

Sw^S

=

Sw'-c^S

— Swc^S;

следовательно,

Xssiw1)

— Z . s s ( u ; ) a ( c _ 1 )

° ^ss( c _ 1 )

в

силу

свойства

(7)

из

предложе­

ния 7.2. Так как a(c_ 1 ) =

[с2 , Q] =

р 2

на ks,

то

X S S

(иг*) =

Xss

(wf-о

J

s

s

(c-i)

=

=

'Xss

(иг1 )" о Jss (с"1 ) о

*Ф% о Jss (с"1 ) •

Легко

видеть,

что

d{Os)

=

d'(4ps

о / ^ ( с - 1 ) ) =

1

и

а"{Ф8)

=

=

d(^l>s о Jssic'1))

=

р. Так как

циклы Ф 5

и ' Ф ^ о / s s ( c - 1 )

неири-

водимы и различны, то

(•)

Ф В +

'Фа о / ^ ( с - 1

) cz

Xssiw-1).

С

другой стороны,

[ 5 : ш^и;-1

f]

5 ]

< [£/р : wpUpu>?

П

*7Р ] =

р +

1.

Поэтому в силу предложения 7.3 d(Xss(w~1))

= d(Xss(w~x))

^

р -)- 1.

Беря d и d' от обеих частей соотношения (*), замечаем, что на самом

деле в (*) должно быть равенство. Доказательство

закончено.

СЛЕДСТВИЕ

7.10. Пусть

S

и U' те

же,

что

в

(7.3.5),

ар

— эле-

Г1

0"

мент

группы

S L 2 ( Z ) , удовлетворяющий

(7.3.8),

и

а-

Lo

P

J

'

"0

— Л

(1)

I s s (a) =

Ф 8 + 1Ф8

о / в 8

(Стр),

(2)

<ФВ о j f s s

(Op) = %

s

(т) о <Ф5 о X S

S (т).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Заметим

сначала,

что Upcz

U'

тогда

и только тогда,

когда число

р не делит N.

Поэтому,

если

р (J 93,о,

§ 7.5. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ Vg

223

то

р не делит N. Пусть у — элемент группы GA,

/J-компонента кото­

рого равна 1, а остальные

компоненты равны а.

Положим

а =

wy,

с =

&el(u>). Тогда

у1

£

U ' , y^Sy

=

S

и

а(у)

= o(w~1).

В

силу

свойств (7) и (9) из предложения

7.2

(*)

Xss(a)

=

Xss(w)a(i/)

о Jss(y)

= tXssiw-1)

о

Jss(y).

Поэтому

уОр1

6 U '

и

р

=

det(a) = cz/z/1. Таким

образом,

Jssic'1)

=

Jss(yyl)

=

Jssiy)

=

JSS{°P)-

Из

предыдущей

теоремы

и

соотношения

(*)

вытекает,

что

Xss

(а) =

'Xss

К 1

) о /

s s

(i/)

=

=

г Ф 3 ° / s s

(Op)

+ lfss

(Op) ° <DS ° /ss

(o-p).

Заметим, что ks

= Q, откуда Ф§ =

ФБ- Так как цикл JSS(°P)

рацио­

нален над

ks

=

Q,

то

цикл

Ф е

коммутирует

с Jss(ap)

в

силу

(7.1)

из дополнения. Таким образом, мы получаем (1). Формула (2) следует

непосредственно из предложения 7.8		и из дополнения (равенство (7.1)).
§	7.5. Дзета-функции кривых	F s и множители	якобиева
	многообразия кривой Vs
Определим теперь дзета-функции кривых Vs,			где группы S
берутся	из множества % и удовлетворяют (7.3.5),		а также дзета-

функции некоторых абелевых многообразий, появляющихся в виде множителей якобиева многообразия кривой Vs. Основная идея заключается в том, чтобы связать морфизм Фробеииуса с оператора­

ми Гекке посредством соотношений сравнения из теоремы

7.9

или

из следствия

7.10.

ТЕОРЕМА 7.11. Пусть

U ' , S , Г'

те же, что в (7.3.5) и (7.3.6), a <QS

то же, что в § 7.4. Пусть

ор,

где р — простое

число, р $

обо­

значает элемент группы

SL<>(Z),

удовлетворяющий

(7.3.8)

(см. также

(3.3.10)),

иар

=

"1

01

g

. Пусть,

далее,

52 (Г") — векторное

простран­

ство

всех

параболических

форм

веса

2

относительно

группы

Г'

и [ Г " а Г ] 2

— действие класса Г ' а Г

на пространстве

S 2 ( T

' )

,

определен­

ное в (3.4.1).

Тогда

для любого р,

не принадлежащего

множеству

S5S,

дзета-функция

кривой p(Ys)

над простым полем задается

равнеством

Z(u;

p(Vs))

= [ ( 1 - и ) ( 1 - р и ) ] - М е 1 ; ( 1 - [ Г ' а р Г ] 2

и + р . [ Г « т р Г ] 2 и 8 ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Зафиксируем

простое

число

р $ 9SS

и простой

дивизор

поля

Q,

делящий р. Обозначим,

как

выше,

через X или через $Р(Х) объект, полученный из X редукцией по мо­

дулю

$|$. Пусть A s

— якобиево многообразие кривой Vs,

а Rt

(соот­

ветственно

Ri)

будет Z-адическим

представлением

кольца

E n d ( 4 s )

224	ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
(соответственно	E n d ( / l s ) ) для некоторого простого рационального

числа /, отличного от р. Согласно предложению 14 из книги Шиму-

ры и Таннямы

[ 1 , § 11], можно

считать, что Ri{X)

=

R'i(X)

для

каж­

дого

X £ E n d ( 4 s ) .

Пусть

я р

— эндоморфизм возведения

в

р-ю

сте­

пень многообразия

As.

Тогда существует элемент пр

кольца

E n d ( 4 s ) ,

ассоциированный

с

циклом

^Ф8

и

удовлетворяющий

равенству

ЛрПр =

р. Пусть |р, т|р и (3 — элементы кольца E n d ( / l s ) ,

ассоцииро­

ванные

с

A " s s ( a p ) ,

Jssi°p)

1 1

Xssi^)

соответственно. Тогда

из

след­

ствия 7.10 мы выводим, что

(7.5.1)

1л =

Яр^л*г|р,

(7.5.2)

j r j i i p - . p - ^ p .

Поэтому,

если

и — переменная,

то

[1 -

и • Ri (л.р)] [1-й.Ri

(P"4*p)] =

= 1 - м . Д | ( 1 Р ) - г - р « я - Д 1 Ы =

=

l - u . f l , ( g p )

-rpu2.R,(4P).

Так

как

преобразования

я р

и

Яр имеют

один и

тот

же

характери­

стический

многочлен,

то

del [i-u-Rl

( я р ) ] 2

del [1 -

и. Д, (£р ) -f- ри*- Rt (г|р )].

В описанной ситуации представление Rt

эквивалентно

представле­

нию

R0

кольца EndQ(.4s ) на первой

группе когомологий

многообра­

зия

. 4 S . Если

R — представлеиие кольца

EIIC1Q(^1s) на пространстве

3(AS),

то представление R0

эквивалентно прямой сумме

представле­

ния R и комплексно сопряженного к нему представления (см. допол­

нение 11). В § 7.3 было показано, что циклы A s s ( a p

) 1 1 Jss(ap)

рацио­

нальны над Q, так что £ р ы

Цр рациональны пад Q. По этой причине,

беря базис пространства 3>(AS)

над полем

Q, мы можем считать, что

Д(£р) п i?(r|p) —

рациональные

матрицы. С помощью этих двух

экви­

валентных

представленпй

получаем

det

[1-u-R'i

(яр)]2 = det [l-u-R

(|р) + puz-R

( n p ) ] 2 ,

откуда

det [1-u.Rl

(яр)] =

det [1 -u-R

(gp ) +

pu*-R{i\p)].

В силу

коммутативности

диаграмм

(7.2.2)

п (7.2.6)

можно

положить

R ( ^ P )

=

[ Г ' а р Г ' ] ? , i?(r|p)

=

[ Г ' а р Г ' ] 2 .

Доказательство закончено.

ТЕОРЕМА 7.12. Пусть Т'(п)!иу

— символ из § 3.5. Тогда для

почти

всех простых

чисел р каждое собственное значение Хр

матрицы Т'(р)2, ф

удовлетворяет

неравенству

| Хр | ^

2/?1/2.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим

через

I)*

множество

{а 6 9х

I а =

1 mod(iV)}.

Группа

Г'

совпадает

с

группой

Г" из

					§ 7.5. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ				V s		225
(3.5.1'). В силу					(3.5.6) преобразование Т'(р)2,^				является ограниче­
нием		преобразования [Г"ар Г"]2				на пространство S2(T0,				гр). Так как
пр	коммутирует				с лрг\р, то из	(7.5.1)	и (7.5.2)		следует, что		каждый
характеристический корень преобразования Ri{£,p) =										R{{%P)	имеет
вид		и. +	р/,	где	ц. — характеристический			корень преобразования
R'i(np),		а	ц.' — характеристический корень					преобразования			Л;(яр).
В	силу теоремы Вейля имеем | \х | =						| р/	| =	р 1 / 2 . Так как Л(|р ) =
= [Г"а р Г"] 2 ,				то	наше утверждение получается				для всех р,		не лежа­
щих в Щв .

Прототип теоремы 7.9 появился еще в работах Кронеккера. Соот­ ношение (7.5.1) в приведенной формулировке впервые было дока­ зано Эйхлером [2] для группы T0(N) и ее подгрупп Г' индекса 2; им была получена теорема 7.12 для таких групп и теорема 7.11 для

группы T0(N).	Обобщение до предложенной формы и формула (7.5.2)
были даны в статье		автора [2]. В этой статье теорема 7.9, а вернее,
следствие 7.10	были доказаны с помощью		соотношений сравнения
для эллиптической		кривой с переменным	модулем. Предложенный

там метод проще нашего доказательства теоремы 7.9 в том смысле, что для него не нужен ни один результат теории комплексного умноже­

ния. Игуса [1] показал, что множество						простых чисел 25s содержится
в множестве всех простых делителей числа N;								этот	аспект мы не бу­
дем обсуждать в данной книге.
Пусть Д' — полугруппа из (7.3.7). Пусть								Т'(п)	и Т'(а,	d)	— эле­
менты	кольца R(T',		А'), описанные в § 3.3				(см., в частности,				теоре­
му 3.34). Обозначим через Т'(п)2					и Т'(а,	d)2	действие на пространстве
S2(T')	элементов	Т'(п) и Т'(а,		d)	соответственно (см. § 3.4,					3.5). Тогда
[ Г ' а „ Г ] 2 = Г 0 > ) 2		и	[Г'0рГ']2	=	Т'(р,	р)г	в	силу	(3.4.4)	и (3.3.11).

Поэтому, согласно теореме 7.11, дзета-функция кривой Vs над полем Q имеет вид

S ( « ; W Q ) = П d e t [ l - r (p)2p's + T' (PtPhp^T1.

Это выражение с точностью до конечного числа эйлеровых множите­

лей совпадает с рядом Дирихле				типа рассмотренного в § 3.3, 3.5,
3.6. Более точно, пусть Sh(T'0,			гр) и T'(n)ki ф те же, что в § 3.5. Тогда
пространство	Sk(T')	можно	представить в виде прямой суммы всех
пространств	^(Гд,	гр), для	которых		гр(1)) =	1. Положим
			сю
		Dk.*(s)=	2	Г	( B ) F T > +	. » - .
			71=1

Тогда функция £(s; WQ) совпадает с точностью до конечного числа

эйлеровых	множителей с	произведением
(7.5.3)	D(s)=	П d e t [ A , . „ ( s ) ] .

15-01118

2213			ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
Для	каждого	элемента	/ (z) — 2	апе2пЫг11		пространства			Sh (Г")
положим			71=1
				со
(7-5.4)
				L(s,f)=yAann-\
			71=1
В силу сказанного в § 3.5, и, в частности, в предложении 3.47,
можно	найти	множество	элементов		{hi,	. . .,	hK)	пространства
Sk{T'0,	гр), для	которых
		со
(7.5.4') h4(z)=		2 ЛУ (в) e2«*w/«, 7zv |Г («)„ . * = Av					(и) /гу	(v = 1,	. . . , х ) ,
		71=1
		det (£„,„,(*)) =		П	L ( s ,	hv).
				v = i

(Множество {/jj, . . ., /г^} не обязано быть базисом в пространстве Sh(T'Q, гр).) Поэтому пз теоремы 3.66 и замечания 3.58 вытекает

ТЕОРЕМА 7.13. Дзета-функция t,(s; Vs/Q) кривой Vs над полем Q является целой функцией, удовлетворяющей некоторому функцио­ нальному уравнению.

В силу замечания 3.58 и теоремы 3.66 функциональное уравнение для L(s, f) имеет вид

R	(s, ft =		(tNf2 ( 2 я ) - Г (s) L (s, f) = ih-R (k-s, f | [x]k),
'О		— Л	. Указанные выше функции/^ не могут быть собст-
где т--=	Л Т	_
	л	иJ

венными, функциями оператора [ т ] ь . Однако в силу предложения 3.57

и

результата

Гекке,

упомянутого

в замечании 3.56,

если N просто

и

t = 1,

то

hv |[т]2

=

e v /i v

для

базиса

{hi,

. . ., hK}

пространства

£ 2 ( Г 0 , яр), причем

ev

=

+ 1 игр — некоторый вещественный характер.

Если же характер гр не вещественный, то

[т] 2

переводит общую соб­

ственную

функцию операторов Т'(п)2, $

в общую собственную функ­

цию операторов Т'(п)2

^. Поэтому

ряд

Дирихле D(s)

пз (7.5.3) удов­

летворяет функциональному

уравнению

(7.5.5)

R (s) =

[Ns/2 (2я)-5

Г (s)]sD(s)

= ц . Д (2 — * ) ,

где (х = ± 1 и g — род кривой

Vs.

I | = д", в силу чего Г' =

Предположим,

например,

что

( = 1 и

=

Т'0 =

r 0 ( i V ) . В

соответствии с предложениями 1.40

и 1.43 кривая

V8

имеет

род 1 для следующих 12 значений

числа N:

(7.5.6)

И , 14,

15,

17, 19,

20,

21, 24,

27,

32, 36,

49.

§

7.5. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ

V s

227

В этих случаях дзета-функция кривой Vs

равна (с точностью до пло­

хих

множителей)

00

£ (s;

V/Q) =

L (s,

h) = 2

cnn-

= 11 ( l - c p p - r 1 - I I ( l - C p p - ' +

p 1 - 2 8 ) - 1 ,

C O

где

h{z)=

2

cne2ninz—некоторый

элемент

из

S2

(Г0 (TV")).

Можно

показать,

71=1

/ г | [ т ] 2

= — h

и,

следовательно,

функциональное

урав­

что

нение

имеет вид

R

(s, h) = Ns/2

(2я)-* Г

(S) L (S, h) =

R (2—s,

/г).

Как

заметил Фрикке

[ 1 ] , эллиптическая

кривая

Г0(АО\^б* не обла­

дает

комплексным

умножением

для первых

восьми

значений

из

( 7 . 5 . 6 ) . Дальнейшие примеры см. в упражнении

7 . 2 6 ниже.

Рассмотрим теперь дзета-функции абелевых многообразий,

воз­

никающие как «множители» якобиана As

кривой

Vs.

Для

каждого

положительного

целого

числа

п

обозначим

через

| п

элемент

кольца End(^l s ), соответствующий сумме циклов

Xss(a)

для

всех

Г'аГ',

у

которых

а

6 Д'

и

det (а.) =

п.

Из

предложения

7.7

следует,

что

эндоморфизм

рационален

над

Q.

Более

того,

из диаграмм ( 7 . 2 . 2 ) и ( 7 . 2 . 6 ) видно, что отображение

£ п

соответствует

оператору

Т'(п)2.

Для

простоты

будем считать

в

дальнейшем,

что

( 7 . 5 . 7 )

* =

1 ;

потеря

в

общности

при

этом,

как

показывает

замечание 3 . 5 8 , неве­

лика.

ТЕОРЕМА 7 . 1 4 . Пусть

f(z) — элемент пространства

iS2 (r'),

являю­

щийся

общей

собственной

функцией

операторов

Т'(п)2

по

всем

п,

и f

| Т'(п)2

=

anf.

Пусть

К

— подполе поля

С,

порожденное

над

Q

комплексными

числами

ап

для

всех

п.

Тогда

существуют

абелево

подмногообразие

А

многообразия

As

и изоморфизм

9 поля К

в кольцо

Endq

(^4),

обладающие

следующими

свойствами:

( 1 )

&im{A)

=

IK:

O J ;

( 2 )

Q(an) — ограничение

эндоморфизма

£n

на А

для

всех

п;

( 3 )

многообразие

А

определено

над

Q.

Пара

(А,

0) однозначно

определяется

условиями

( 1 ) и ( 2 ) .

Кроме

того,

для

каждого

изоморфизма

о

поля

К

в

поле

С

существует

такой

элемент

/а

пространства

S2(T'),

что

f0\T'(n)2

=

a^fa

для,

со

всех

п

и

/о (z) =

2

a°e2ltinz.

Мы можем и будем предполагать для простоты, что, f(z)•=*..

со
= 2 ane27linz	(см. теорему ( 3 . 4 3 ) ) .

71=1

22S	ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

ТЕОРЕМА 7.15. Сохраняя обозначения теоремы 7.14, предположим, что I)* = дх в определении (7.3.5) групп U' и S. (Это означает, что

'Тогда дзета-функция многообразия А над полем Q совпадает с точ­ ностью до конечного числа эйлеровых множителей с произведением

оо

Г 1 ^ , / с ) = П ( 2 аа /г-8 )

которое

берется по всем изоморфизмам а

поля К

в поле

С.

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м

7.14

и

7.15.

Пусть

£ —

подалгебра

кольца

Endg (As),

порожденная

эндоморфизмами

£Г1

для всех га. Если

. 4 S

имеет

размерность

g, то

в

силу теоремы

3.51

£ — коммутативная алгебра ранга g над полем

Q.

Пусть SR — ради­

кал алгебры £ . Согласно теореме Веддербёрна,

существует

такая

полупростая

подалгебра

<3 алгебры

£ , что £ =

(g®iR. Пусть $с4, . . .

. . ., Йг

— простые

компоненты

алгебры @. Тогда

отображение

£ п

»•

*—*• ап

определяет некоторый гомоморфизм р из £ иа поле К и, кроме

того,

р (hi) =

{0}

п p(S?j) ф

{0}

для одной и

только одной из

ком­

понент

й;,

скажем для S?t.

Гомоморфизм р определяет

изоморфизм

из ft, в А". Обозначим

через

р'

отображение,

обратное

к

этому

изо­

морфизму. Тогда р'-р

— проектирование из £

в Si и р'(ап)

— проек­

ция элемента t„ в алгебру

Я4 . Возьмем

целое число q ^

0 таким,

чтобы

ffi3t9

ф {0}

и

Si>lt9 + l

=

{0};

мы

полагаем ЧЯ° =

£.

Пусть Ш — неприводимый

й\-подмодуль

в

Sr\3t9.

Тогда

Ш —

минимальный

идеал

в

кольце

£ .

Положим

50i0 = Ш П End(.<4s)

и А — ШоА8.

Так

как

каждый

элемент из Шо определен над

Q,

то

А — абелево

подмногообразие

в

As,

определенное над

Q. Так

как

действие кольца £ на пространстве 5 2 (Г') совпадает с регулярным

представлением алгебры £ (см. теорему 3.51), то d i m ( ^ ) =				: Q]	=
= [Jl'i: OJ = IK: Q].	Для	каждого а 6 К,	для которого	р'(а) £
£ End( . 4 s ), обозначим	через	9(a) ограничение	элемента р'(а)	на	А.

Тогда отображение 0 можно продолжить до некоторого изоморфизма

поля К в кольцо Еш1о_(/1). Очевидно, что Q(an)

— ограничение

эндо­

морфизма

на А.

Для доказательства единственности пары (А,

0) рассмотрим

дру­

гую пару (А',

0'), удовлетворяющую условиям (1) и (2). Пусть As

—

комплексный

тор

Cs/L,

где L — некоторая решетка из Се.

Можно

считать, что

С8

=

£ 2 ( Г')

и

представляется

оператором

Т'(п)о

иа пространстве 5 2 (Г') . Пусть

W — подпространство в 5 2 (Г'),

соот­

ветствующее

многообразию

А'.

Так как Q'{an)

— ограничение

эндо­

морфизма ^R

на 4 ' ,

то

0'(р(|))

— ограничение

эндоморфизма

£ на

А'

для каждого

| £ £•

Поэтому А' (п, следовательно,

W) аннулируется

действием Ш и 5?г

для

i >

1.

Рассмотрим W как

модуль над

коль-

		§ 7.5. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ Уд					229
цом	Sti <S> QC или К		eg) Q C . Тогда легко найти такой базис				{fx, . . .
. . .,	fm) модуля	W над полем		С, что элемент / v	для каждого		а £ К
переводится отображением aavfv				в элемент 8'(а),	где a v	— некото­
рый	изоморфизм поля		К в поле С, фиксированный для			каждого v.
В данном случае		т =	сНт(^Г)	= [К : Q ] . Имеем
(*)	U\T'	(n)2 = ayv		( 1 < V < 7 7 1 , l < » < o o ) .

Согласно предложению 3.53 и следствию 3.44, элемент / v однозначно определяется> условием (*) с точностью до постоянных множителей. Поэтому изоморфизмы сгь . . ., ат различны и модуль W опреде­ ляется элементами / однозначно. Это означает, что многообразие А' единственно и, следовательно, А = А'. Доказательство теоремы 7.14 закончено.

Предположим, что I)* = д*. Пусть р — простое рациональное число, не принадлежащее множеству 23s - Согласно результатам Коидзуми иШимуры [1], Серра и Тейта [1], многообразие А не имеет дефекта в р. Так как ар £ Г', то г\р = 1, и соотношение (7.5.1) пре­ вращается в £.р = я п - j - Яр. Пусть Щ обозначает Z-адическое пред­ ставление кольца Епс1(Л) и яр1 — эндоморфизм Фробениуса редукции

А

степени р.

Те

же

рассуждения,

что и в теореме 7.11, приводят

к

равенству

det [ 1 — и • R"i (n£) ] =

det [ 1 — Tw

(р)2и

+

ри2],

где Tw

(р)2

— ограничение

оператора Т'(р)2

на

W.

Отсюда

и из

(*)

следует

теорема 7.15.

Для

получения дальнейшей информации, в частности в

случае

Ц* =г= 9Х> отметим сначала,

учитывая предложение 3.53, что

элемент

/

принадлежит

пространству

S2(T'0,

яр) при том единственном

харак­

тере яр группы

(Z/NZ)X,

для которого яр(1)) = 1, где

t) —

подгруппа

в (Z/iVZ)x , соответствующая

I)* . Значения яр(га), как вытекает из

(3.5.8)

и

утверждения

(5)

теоремы

3.34,

принадлежат

числовому

полю К. Пусть 3 — множество всех изоморфизмов поля К

в поле С.

Тогда

для

каждого о

g 3

элемент /с т принадлежит пространству

S 2 ( T ' 0 ,

яр°); это опять-таки вытекает из (3.5.8) и равенства рТ'(р, р)

=

=

Т'(р)2

—

Т'(р2).

Предположим теперь, что выполняется

следую­

щее условие:

(7.5.8)

для

каждого

а £ 3

все

операторы

Т'(п)2

^а

принадлежат

алгебре,

порооюденпой

над

Q операторами

Т'(п)2

^а

для всех

п,

взаимно простых

с

N.

Тогда

(7.5.9)

поле

К

порождается

элементами ап над полем Q

для всех

п,

взаимно

простых

с

N.