книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

320

СПИСОК. ЛИТЕРАТУРЫ

Танняма

( T a n i y a m a

Y . )

1.

L - f u n c t i o n s

of

n u m b e r

fields

and

zeta functions of abelian varieties,

/ .

Math.

Soc.

Japan,

9

(1957),

330—366.

Фрикке

( F r i c k e

R . )

1 . D i e e l l i p t i s c h e n F u n k t i o n e n u n d i h r e A m v e n d u n g e n , I I , L e i p z i g — B e r ­

l i n ,

1922.

Xacce (Hasso H . )

1.

Neue

B e g r i i n d u n g

der

k o m p l e x e n

M u l t i p l i k a t i o n ,

I

,

I I , / .

Reine

Angew.

Math.,

157 (1927), 115—139; 165

(1931),

64 — 88 .

Шалпка,

Танака

( S h a l i k a

J . A . ,

T a n a k a

S.)

1 .

On

a n

e x p l i c i t

c o n s t r u c t i o n

of

a

c e r t a i n

class

of

a u t o m o r p h i c

forms,

Anier.

J .

Math.,

91

(1969),

1049—J076.

Шевалле

К.

1. Введение

в теорию

алгебраических

функций

от

одной

переменной,

Фпз -

матгпз, М .. 1959.

Шсиеберг

(Shoeneberg

А . )

1.

Das

V e r h a l t e n

v o n

mehrfachen

T h e t a r e i h e n

boi

M o d u l s u b s t i l u t i o n e n ,

Math.

Ann.,

116

(1939),

511—523.

Шнмпдзу

( S h i m i z u

I I . )

1.

O n

zeta f u n c t i o n s

of

q u a t e r n i o n

algebras,

Ann.

of

Math.,

81

(1965),

166—

193.

Шимура

( S h i m u r a

G.)

1 .

R e d u c t i o n

of

algebraic varieties

w i t h respect

to

a

discrete

v a l u a t i o n of

t h e

basic

f i e l d , Amer.

J . Math.,

77

(1955), 134—176.

2.

Correspondances

m o d u l a i r e s

et

les

f u n c t i o n s

t,

de

courbes

algebriques,

Math.

Soc.

Japan,

10

(1958),

1—28.

3.

Sur

les

integrates

attachees

a u x

formes

automorphes,

/ .

Math.

Soc.

J a ­

pan,

11

(1959), 2 9 1 — 3 1 1 .

4.

On

Hie

t h e o r y

of

a u t o m o r p h i c

f u n c t i o n s ,

Ann.

of

Math.,

70

(1959),

101 —

144.

5.

On

the

zeta - funclions

of

the

algebraic curves

u n i f o r m i z e d

b y

certain

a u t o ­

m o r p h i c

f u n c t i o n s ,

/ .

Math.

Sue.

Japan,

13

(1961), 2 7 5 — 3 3 1 .

6.

O n

D i r i c h l e t

series

and

abelian

varieties attached

to

a u t o m o r p h i c

forms,

Ann.

of

Math.,

76

(1962),

237—294.

7.

O n

the

f i e l d

of

d e f i n i t i o n

for

a

field

of

a u t o m o r p h i c

functions,

I . I I

I I I ,

Ann.

of

Math.,

80

(1964),

1 6 0 - 1 8 9 ;

81

(1965), 1 2 4 - 1 6 5 ;

83

(1966),

3 7 7 - 3 8 5 .

8.

A r e c i p r o c i t y

l a w

i n non - solvable

extensions, / . Reine

Angew.

Math.,

221

(1966),

209 — 220 .

9.

C o n s t r u c t i o n

of

class

fields

and

zeta f u n c t i o n s

of

algebraic

curves,

Ann.

of

Math.,

85

(1967),

58 — 159 .

10.

A l g e b r a i c

n u m b e r

fields

and

s y m p l e c t i c

discontinuous

groups,

Ann.

of

Math.,

86

(1967),

503 — 592 .

I t .

L o c a l representations

of

Galois

groups,

Ann.

of

Math.,

89

(1969),

99 — 124 .

12.

On

canonical

models

of

a r i t h m e t i c q u o t i e n t s

of

bounded

s y m m e t r i c

do ­

m a i n s ,

Ann.

of

Math.,

91

(1970),

144—222.

Щпмура,

Танняма

( S h i m u r a G . ,

T a n i y a m a

Y . )

1.

Complex

m u l t i p l i c a t i o n of abelian varieties

and

i t s a p p l i c a t i o n s t o n u m b e r

t h e o r y , P u b l . M a t h .

Soc.

J a p a n ,

№

6,

1961.

Уйхлер

( E i c h l e r

M . )

1.

A l l g e m e i n e Kongrucnzklasseneinteilungen

der

Ideale

einfachor

Algebren

uber

algebraischen

Z a h l k o r p e r n u n d

i h r e L - R e i h e n ,

/ .

Reine

Angew.

Math.,

179

(1938), 2 2 7 — 2 5 1 .

2.

Quaternare

quadratische

F o r m e n

u n d

die

Riemannsche

V e r m u l u n g

f u r

die

K o n g r u e n z z e t a f u n k t i o n ,

Arch.

Math.,

5

(1954),

355 —366.

3.

t l b e r

die

D a r s t e l l b a r k e i t v o n

M o d u l f o r m e n

d u r c h

T h e t a r e i h e n ,

/ .

Reine

Angew.

Math.,

195

(1956),

1 5 6 — 1 7 1 .

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

321

4.

E i n e

V e r a l l g e m c m e r u n g

der

Abelschen

I n t e g r a l e ,

Math.

Zeitschr.,

67

(1957), 267—298.

5.

Quadratische F o r m e n unci

M o d u l f u n k t i o n e n , Acta

Arithm.,

4

(195S),

217—

239.

6.

E i n f i i h r u n g

i n die Theorie der algebraischen Z a h l e n u n d FuDktionen,Basel —

S t u t t g a r t ,

1963.

Эрмнт

( H e r m i t o

C.)

1 .

Sur ciuelques formules relatives a

l a t r a n s f o r m a t i o n

des

f u n c t i o n s e l l i p t i -

ques,

/ .

Math.

PuresAppl.,

Ser.

2, 3 (1858), 26—36 (Oeuvre

I , 487-493).

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(добавленный

редактором в

корректуре)

Дрипфельд

В .

Г.

1 * * .

Две теоремы о модулярных кривых, Функциональный

анализ

и

его

приложения,

7

(1973),

выи. 2,

8 3 — 8 4 .

Мамин

10.

И.

1 * * .

Параболические

точки

и

дзета-функции модулярных кривых,

Изв.

АН

СССР,

36

(1972), вып.

1 , 19 — 66 .

2 * * .

E x p l i c i t

f o r m u l a s

for

the

eigen values of Hecke operators, Acta

Arith-

metica,

X X I V

(J973),

239— 249.

3**.

Периоды

параболических

форм и р-адические

ряды

Геккс,

Матем.

сб.,

1973

(в

печати).

Мпяке

Т .

( M i y a k e

Т.)

1 * * .

O n

a u t o m o r p h i c f o r m s

on

GL-,

and

Hecke

operators,

Ann.

of

Math.,

94

(1971),

174— 189 .

Нагапума

( N a g a n u m a

H . )

1 * * .

O n

the

algebraic

curves,

u n i f o r m i z e d

b y a r i t h m e t i c a l

a u t o m o r p h i c

f u n c t i o n s ,

Ann.

of

Math.,

86 (1967),

N

3,

449 — 460 .

O r r (Ogg

A . P.)

1 * * .

M o d u l a r

f o r m s

and

D i r i c h l e t

series,

B e n j a m i n ,

1969.

Пятецкин - Шапнро

И.

И.

1 * * .

О

теореме

Вейля

—

Жаке — Лапглендса,

препринт,

№

38,

1972,

Институт

прикладной

математики

А Н

СССР,

М .

Серр

(Serre

J.-Р.)

1 * * .

Сравнения

и модулярные

формы,

У МП,

28 (1973), вып. 2,

183—196.

Харнш - Чандра

1 * * .

Автоморфпые формы на полупростых группах Ли, <<Мпр», М . , 1971 .

Шпода

(Shioda

Т.)

1 * * .

O n

r a t i o n a l

p o i n t s of

t h e

generic

e l l i p t i c curve w i t h

l e v e l

К s t r u c t u r e

over

the

f i e l d

of

m o d u l a r f u n c t i o n s of

l e v e l

TV,

/ .

Math.

Soc.

Japan,

25

(1973),

№

1 , 1 4 4 - 1 5 7 .

П Р Е Д М Е Т Н Ы Й У К А З А Т Е Л Ь

Абелево	многообразие				313
— —	с комплексным				умножением
164,	259
Автоморфизм		абелевых			многообразий
313
— эллиптических			кривых 142
Автоморфная		форма		48,	49
— функция		48,	50
Г-автоморфная форма 49
— функция		48,	50
Аделнзацпя		группы		G L 2 183

—простой алгебры 294 Алгебраическая кривая 313 Алгебраическое многообразие 309

—соответствие 106, 211

—— собственное 212 Арифметическая фуксова группа 300,

301 Аффинное многообразие 309

Бёрча и Свиннертона-Дайера гипотеза 271

Бирацпональная эквивалентность 310 Бпрацпональное отображение 310 Бпрегулярный изоморфизм 310

Вес автоморфной формы 49 Вейерштрасса фзтшцпя 132

Гауссова	сумма		123
Гекке кольцо		80,		8 1 ,	93
— оператор		105,		108
Геометрическое			место		точки 310
Гиперболическое			преобразование (мат­
рица)	21

Гипотеза Бёрча и Свипнертона-Дайера 271

—Рамапуджана 243

—Хассе - Вейля 210 Главная инволюция 1 0 1 , 297

—конгруэнц-подгруппа 39 Гомоморфизм абелевых многообразий

313

—эллиптических кривых 130

Группа когомологий 273

— преобразований 15 Гурвнца формула 38

Дзета функция 121

— абелева многообразия 209, 210

—алгебраической кривой 209 Дивизор алгебраического многообра ­

зия 315

—алгебраической кривой 211

—римановой поверхности 56 Дирихле ряд 87 Дискретная подгруппа 17

Дифференциальная форма 57, 312

— — первого рода 58, 313 Дробно-линейное преобразование 20

Изогеиня 130, 313, 314 Пзогенные кривые 130 Изотропная подгруппа 16

Инвариант эллиптической кривой 131, 34

Инволюция главная 1 0 1 , 297

— кольца эндоморфизмов абелева многообразия 315

Индекс ветвления 37

Канонический класс 58 Кватериионная алгебра 296 Класс дивизоров 57 Кольцо Гекке 80

—— относительно S L n 81

—— для конгруэнц-подгруппы 93

Комплексное представление 314

—умножение для абелева многооб ­ разия 164

—— эллиптической кривой 137 Конгруэнц - подгруппа 39

—главная 39

Кондуктор 141

Локальный параметр 38 Локсодромическое преобразование

(матрица) 21

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

323

Максимальное поле классов лучей 153 Максимальный порядок 10, 139 Меллнна преобразование 127 Мера инвариантная на верхней п о л у ­

плоскости 63, 6-1

— фундаментальной области 64 — 68 Мероморфная функция 310 Метрика Петерсоиа 104 Модель пространства Г\!р* 193 Модулярная группа 32

—форма 51

—функция 51

— — у р о в н я N, рациональная над

полом Q{e2ni/N)

176

Модулярное соответствие 106, 215, 220

—уравнение 146 Морфизм 310

—Фробеинуса 312

Накрытие 37 Начальная точка эллиптической к р и ­

вой 130 Нейтральный элемент 130

Неособое многообразие 310 Неразветвленный простой днвпзор 299

— характер 261 Нерегулярная точка 49 Нормализованная пара 150

Нормализованное погружение 139, 300 Нормализованный изоморфизм 150

Общая точка для мероморфных функ­

ций	175
— —	многообразия			309
Однородный			элемепт	86
Оператор		Гекке 105,		108
Орбита		15
Г-орбнта		15
Основной полярный				дпвпзор	315
Отображение			несеиарабельное		148

—сепарабельиое 148

—чисто несеиарабельное 148 Отражение СМ-тппа 164

Параболическая		точка 24,		37
— —	модулярной		группы	32
Параболическое		преобразование			(мат­
рица)	21
Подмногообразие		309
Поле алгебраических			чпсел	10,	162

—классов 152, 153

—модулей абелева многообразия 168 169

— — эллиптической кривой 132

—определения 309

—рациональности 309

Поляризация 315 Поляризованное абелево многообра ­

зие 315 Порядок числового поля 139

—эллиптической точки 26 Преобразование гиперболическое 21

—локсодромическое 21

—параболическое 21

—эллиптическое 21

Примитивная матрица 144 Проективное многообразие 309

Разветвленный простой дивизор 299 Рамануджана гипотеза 243 Рациональное отображение 309

— представление 314 Регулярная точка 49 Регулярное расширение 308

Редукция по модулю простого идеала

150
Решетка в		пространстве над С 132,
164,	314

—— векторном пространстве над Q

82

—— поле алгебраических чпсел 139 Римаиа — Роха теорема 58

Рнмаиова поверхность 35

— -форма	314
Род к р и в о й	313

—рпмановой поверхности 37

—Г\§ 42

Ряд Дирихле 87

— Эйзенштейна 53, 54, 107

Скалярное произведение Петерсона 104 Собственный идеал 140 Собственное алгебраическое соответ­

ствие (цикл) 212

—значение функции 106 Соизмеримые подгруппы 20 Соизмеритель 76 Специализация 308, 309 Стабильная группа 16 Степень дивизора 56

—— двойного смежного класса 76,

77

—накрытия 38

—рационального отображения 148, 313

Тэта-ряд 128

Универсальная область 308 Уровень 39, 51

324	ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Фактортопологня 15 Формула Гурвица 38 Фробениуса морфизм

— соответствие 221 Фуксова групиа первого рода 38, 301

Фундаментальная	область 33,	66
Функциональное	уравнение	дзета-
функцпп 1 2 1 ,	125

Функция на алгебраическом много ­

образии	254, 255
L-функция	261

Фу р ь е коэффициент 50

—разложение 50, 75

Хассе	—	Вейля	гипотеза 216
Х о р о ш а я		редукция по модулю просто ­
го идеала 150, 262
Целая	форма		50
0-цпкл		2 1 1 ,	313
1 -цпкл	211

Эйзенштейна ряд 53, 54, 107 Эйлерова характеристика 37 Эквивалентность бпрациональная 310

—линейная 57

—относительно группы преобразо ­ ваний 15

Эллиптическая		кривая 130
—	точка 24,	37
—	— модулярной группы 32
—	функция	132

Эллиптическое		преобразование			(мат­
рица)	21
Эллиптический		элемент	модулярной
группы 32
Эндоморфизм		абелевых	многообразий
313
— эллиптических кривых				137
СМ-поле	162
СМ-тпп	162
Z-аднческое представление				135,	235

О Г Л А В Л Е Н И Е

Предисловие

редактора

перевода

5

Предисловие

'

Обозначения

и терминология .

9

•Список символов

11

Рекомендации

читателю

13

Глава 1 . Фуксовы группы первого рода

15

§

1 . 1 . Группы преобразований и факторпространства

15

§

1.2.

Классификация дробно-линейных преобразований

20

§

1.3.

Топологическое

пространство

Г \ § *

26

§

1.4.

Модулярная

r p y u n a

S L 2 ( Z )

32

§

1.5.

Факторпространство

Г\ф*

как

рпмаиова

поверхность . . .

35

§

1.6.

Конгруэнц - подгрупны

в S L 2 ( Z )

39

Глава 2. Автоморфиые формы и функции

48

§

2 . 1 . Определение

автоморфиых

форм и функций

48

§

2.2. Примеры модулярных

форм и функции

53

§

2.3. Теорема

Рпмана — Роха

56

§

2.4. Дивизор

автоморфной формы

59

§

2.5.

Мера факторпространства Г \ §

. . .

63

§ 2.6. Размерность пространства параболических форм

68

Глава 3.

Операторы Гекке н дзета-функции, ассоциированные с моду­

76

лярными формами

§

3 . 1 . Определенно

кольца

Гекке

76

§

3.2. Формальные ряды Дирихле

с эйлеровым

произведением . . .

81

§

3.3.

Кольцо Гекке для копгруэпц - подгруппы

93

§

3.4.

Действие двойных смежных классов па автоморфиые формы

102

§

3.5.

Операторы Гекке и их связь

с коэффициентами Ф у р ь е . . . .

106

§

3.6. Функциональные

уравнения дзета-функций,

ассоциированных

с

модулярпымн

формалш

121

Глава 4. Эллиптические кривые

130

§

4 . 1 . Эллиптические кривые над

произвольным

нолем

130

§

4.2. Эллиптические кривые над

полем С

132

§

4.3. Точки коночного

порядка

иа эллиптической кривой и корни

пз

едшшцы

134

§

4.4. И з о г е ш ш

и эндоморфизмы

эллиптических

кривых

над полем С

137

§

4.5. Автоморфизмы эллиптической

кривой

142

§ 4.6. Свойства целостности инварианта /

143

Глава

5. Абглевы расширения мнимых квадратичных

полей и

комплексное

умножение

эллиптических

кривых

147

§

5 . 1 . Предварительные

рассмотрения

147

§

5.2. Теория полей классов па языке

аделей

152

326

ОГЛАВЛЕНИЕ

§

5.3. Основная теорема

о

комплексном умножении

эллиптических

кривых

154

§

5.4. Построение

полей

классов

над

мнимым

квадратичным

полем

158

§

5.5. Комплексное умножение абелевых многообразий высшей

раз ­

мерности

162

Глава

6.

Модулярные функции высшего уровня

171

§

6 . 1 . Модулярные

функции

уровня N,

получаемые

делением

эллип­

тических кривых

171

§

6.2. Поле

модулярных

функций

уровия N,

рациональных

над п о ­

лем

Q ( e 2 n i / ' Y )

175

§

6.3.

Одно

обобщение теории

Галуа;

180

§

6.4.

Аделизацпя

группы

G L 2

183

§

6.5.

Действие группы U па поле 5'

186

§

6.6.

Структура группы

A u t (£у)

1S9

§

6.7. Каноническая система

моделей

пространства

Г\у*

для

всех

§

копгруэнц - подгрупп

Г

группы

G L 2 ( Q )

группы

193

6.8. Явная форма закона взаимности в неподвижных точках

j

G Q + па

полуплоскости

§

198

§ 6..9. Действие элемента группы GQ с отрицательным определителем

205

Глава i 7 . Дзета-функшш алгебраических кривых ц абелевых многообразий

209

§

7 . 1 . Определение

дзета-функций

алгебраических

кривых

и

абеле­

вых многообразий; цель настоящей главы

209

§

7.2. Алгебраические соответствия на алгебраических

кривых . . .

211

§

7.3. Модулярные соответствия на кривых V$

215

§

7.4.

Отношения

сравнения

для

модулярных

соответствий . . . .

220

§

7.5. Дзета-функции кривых

Vs

и множители

якобнева многообра ­

223

зия

кривой

T's

§

7.6.

I-адпческие

представления

235

§

7.7. Построение полей

классов над вещественными квадратичными

полями

244

§

7.8.

Дзета-функция

абелева

многообразия

СМ-тппа . . . . . . .

259

§

7.9.

Дополнительные

замечания

.•

• •

269

Глава

8.

Группа

когомологий,

ассоциированная

с

параболическими

формами

273

§

8 . 1 . Группы когомологий

фуксовых

групп

273

§

8.2. Соответствие

между

параболическими

формами

и

классами

когомологий

281

§

8.3. Действие двойных

смежных классов

па

группе

когомологий

288

§ 8.4.

Комплексный тор, ассоциированный с пространством парабо ­

лических

форм

291

Глава 9. Арифметические фуксовы группы

§

9 . 1 . Группы единиц

простых алгебр

294

§

9.2.

Фуксовы группы, получаемые из к в а т е р н п о ш ш х

алгебр . . .

296

Дополнение

.

308

Список

литературы

316

Предметный указатель

322

У В А Ж А Е М Ы Й Ч И Т А Т Е Л Ь !

Ваши замечания о содержании книги, ее оформле­ нии, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Ргокскпй пер., д. 2, издательство «Мир».

Горо Шимура

ВВЕДЕНИЕ В АРИФМЕТИЧЕСКУЮ ТЕОРИЮ

АВТОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

Редакторы Г. M . Цукерман н Л. В. Штейипресс

Художник Г. I I . Юдпцкпй

Художественный редактор В. I I . Шаповалов Технический редактор В. I I . Сизова

Сдано в набор 2 0 / V I I 1973 г. Подписано к печати 21/XI 1973 г.

Г.умага тип. Л» 1 G0x90l/ie 10,25 бум. л. печ. л. 20,50 Уч.-изд. л. 19,53

Изд. Л5 1/0R57 Цена 2 р. 16 к. Зак. 0111S

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МНР» Москва, 1-й Рижский пер., 2

Ордена Трудового Красного знамени Московская типография Лг 7 «Искра революции» Сою.шолпграфпрома мри Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии н книжной торговли.

Москва, К-1, Трехпрудный пер., 9