книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

100 ГЛ. 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

Итак, умножение элементов Т'(п) можно свести к умножению элементов T'(ph) при простых р. Если р делит N, то Т'(рк) = T'(p)h. При (р, N) = 1 элементы Т'{р'') удовлетворяют тем же соотноше­ ниям, что и в теореме 3.24, если принять во внимание предложе­ ние 3.31. Все эти факты суммируем в виде следующей теоремы.

ТЕОРЕМА		3.35. Кольцо		R(V, А') является				гомоморфным			образом
кольца R(T,		А)	относительно		отображения
Т(п)			Т'(п)	для	всех	положительных			целых	п,
Т(р,	р)	|—*"	Т'(р, р)	для	всех	простых	р,	не	делящих		N,
Т{р,	р)	1—*• 0		для	всех	простых	р,	делящих		N.

По этой причине из утверждения (3) теоремы 3.24 получаем

(3.3.6) Г (т) Т' (я) = 2 d• Г' (d, d) Г (mn/d2)

d

(суммирование ведется по всем положительным делителям d числа

(т,	п), взаимно простым с N).				Далее, если определить формальный
ряд	Дирихле	D'(s)	равенством		со
(3.3.7)		D'(s)=	2	( Г а Г ) - d e l (a)"s = 2		T'(n)n-S,
			Г' \Д'/Т"		п=1
то из предыдущих рассмотрений можно вывести, что
(3.3.8)		D'			(s)=U[l-T'(p)p-riX

По определению

(3.3.9) Т'(р) = Г

		P\N
X	П		Ц-Т'(р)р-Ч-Т'(р,р)р^]-К
1	0"	Г' для	каждого простого числа р.
о Р.

Рассмотрим элементы T'(q, q) при положительных целых q, взаимно простых с N. В силу леммы 1.39 существует такой элемент оq группы SL,(Z), что

(3.3.10)				"	- 1	0"
						4S
		1	0 " и
Тогда	lN{q-aq)			Гд - а д Г	=	T(q, q).	Поэтому
(3.3.11)		О	q\
			T'(q,	q) =		T'q-aqY'.
Класс Г'ссГ' обладает одним простым свойством, которое можно
описать	с помощью	«главной		инволюции» матричной алгебры. Для
а Ь~\
,a = |	d, I 6М 2 (С)	положим					0	Г
		d —Ъ		е • f а е _		е =
		•с	a j				- 1	0

§ 3.3. КОЛЬЦО ГЕККЕ ДЛЯ КОНГРУЭНЦ-ПОДГРУППЫ

101

Легко проверить

что,

с,

( а

+

р)1

=

а 1

+

Р1 ,

( а Р ) 1

= р 1 а \

(са)

1 =

с а \

с е

а

+ а 1 =

tr(a) - 1 2 ,

а а 1

=

det(a)

- 1

2 .

Отображение

i называется

главной

инволюцией

алгебры М2 (С). Оче­

видно, алгебры M 2 (Q) и M 2 (R) сохраняются

при

i .

Пусть

а £ Aft

и

det(a) = q.

Тогда

XN

(a) =

1

О"

( a l )

=

q

0'

.0

q.

0

1

так

что

a == aqal

=

alon

mod(Ar ).

Поэтому,

если

учесть,

что

a

и a l

имеют одни и те же элементарные делители, из утверждения

(2)

леммы 3.29 получаем, что

(3.3.12)

Г а Г '

=

Г'стд аТ' =

Г'а 1 а д Г',

если а 6 Aft, det(a) = q.

Кроме

того,

легко

проверить,

что

T'aq

=

одТ';

следовательно,

в силу предложения

3.7

(3.3.13)

Г'оГ'

=

( Г с т д Г ) - (Г'аТ')

=

( Г ' а Т ' )

-(Т'о^').

Отсюда

вытекает,

что

(3.3.14)

Г'аГ'

коммутирует

с Г ' а Т ' ,

если

а £ Aft.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.36. Для каждого положительного целого числа а, взаимно простого с N, зафиксируем элемент оа группы S L 2 ( Z ) так, как это делалось в (3.3.10). Тогда для любого положительного целого числа п

{ a 6 A ' | d e t ( a ) = n } = U U Гаа

о Ь=0

где a > 0 , ad = п, (a, N) = 1 и объединение

'а Ы'

0 d разделенное.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Очевидно, правая

часть

содержится

в левой. Для доказательства

разделенности объединения

в правой

части предположим,

что

"уст0 •

а

ЪГ

'и

vt'

при у

0

d

0

w

ЖИМ

ОиУОа

Тогда

а

Ы'

и vt'

так

что

h

/г

0

d

0

w

g = 0.

Так

g

1;

следова­

как ISdet(au1 vo"a ) =

1 и

аи > 0 ,

то

е =

h =

тельно,

а =

и,

d =

w и

vt =

bt +

fd.

Так как у

£ Г',

то / =

ft

при некотором / '

£ Z. Но тогда v =

b +

fd,

так что v =

b. Это дока­

зывает

разделениость.

Пусть теперь ?г = mq при т | №° и (g, iV) = 1. Тогда deg(T'(;z)) =

=7?г-deg^'^)). В силу утверждения (7) теоремы 3.24 и утверждения

(5) леммы 3.29 имеем deg(2"(g)) =	deg(T(ff)) =	2	с-	Поэтому
		с 1 q, с>0
легко видеть, что deg(!T'(/z)) совпадает с числом		смежных		классов
нашего разделенного объединения.	Доказательство		закончено.

102 ГЛ. 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

§ 3.4. Действие двойных смежных классов на автоморфпые формы

До сих пор наши рассуждения о двойных смежных классах были исключительно алгебраическими или арифметическими. Теперь мы обратимся к ситуации гл. 2 и рассмотрим представление двойных смежных классов на пространстве автоморфных форм, как это и было намечено в § 3.2. Напомним сначала обозначения:

	/(a,	z)	= cz + d		(z 6	а	=	а Ъ'
								с d 6 GL 2 (R)),
	/ | W f c		= det(a)f t / 2 ./(a(z))7(a, z)~h
для произвольной функции / на полуплоскости ,<§.
Пусть	Г4	и	Г 2	— соизмеримые		фуксовы			группы	первого	рода,
группа Г — соизмеритель					групп 1\ п		Г 2	в	GL*(R)	в смысле	§ 3.1
и а 6 Г.	Для		fdAk{Ti)		положим
(3.4.1)			/ | [ r 1 a r 2		] f t = d e t ( a ) f e		/ 2 - 1 .		2
где							v = l
				d
		Г1 аГ2 =		U	(объединение			разделенное).

v = l

Очевидно, что функция / | [Г^аГ^ь не зависит от выбора предста­

вителей	a v .
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.37. Оператор [Г^аГ^ь переводит									A^Ti),	Gh(Ti),
Sh(Yi) в Ah(T2),		Gh(T2),		Sh(T2)	соответственно.
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Пусть	б £ Г2 .		Тогда	совокупность
{ r i a v 6 } v	как целое совпадает с { r \ a v					} v . Поэтому если g — f				|[Г1 аГ2 ]11 ,
		g|[6]k	=	det (a)h'2-i-yif\		V	[av6]h	=
			=	det (a)f t / 2 _ 1 -2/|[av]) t				= g.
						V
С другой	стороны, в		силу предложения				2.4	/| [ a v l ) t	£	А^а^Т^).
Положим
			Г3	=	П G C v ^ i C X v П		Г2 .
					v

Тогда Г3 — подгруппа конечного индекса в Г 2 и g 6 ^/i(r3 ). В силу предложения 2.6 g£Ak(T2). Те же рассуждения применимы к G;t (I\)

иSk(Tt).

Рассмотрим модуль	R i	2 ,	порожденный классами 1\аГ2 при а £ Г
(см. § 3.1). Для каждого X =			2 са -Г^аГг 6 i ? i 2	П Р И са 6 Z определим
/ I lX]h =	2	оJ	| [ГчаГЛ, /	6	Ak(Tt).

	§ 3.4. ДЕЙСТВИЕ ДВОЙНЫХ СМЕЖНЫХ КЛАССОВ								103
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.38. [XY]h			= [X]hlY]k		для каждого			X £ R\z и каж­
дого Y 6 -^23-
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Достаточно показать,					что
(/	I [Г 1 а Г 2 ],0	| [ Г 2 р Г 3 ] л =		/	| К^аГаМГаРГз)]*.
Пусть ( Г 1 а Г 2 ) - ( Г 2 р Г 3 )		= S	с^Г^Га)		при	с6 6 Z	и
Г 1 а Г 2	= U r i a f l	Г 2 рГ 3 =		U Г2 р^,		Г^Гз	=	U	Tilh
	г			i				h

— разделенные объединения. В соответствии с нашим определением умножения имеем

Поэтому
</1 [Г^ГаЬ) | [Га рГа и	=
= det (ар)' 1 7 2 " 1	S / 1 [а*РЖ = det ( а Р ) * ' 2	" 1	JJ cvf\ Ыи =
	i, i

= /|[(Г1аГ2 ).(Г2 рГ3 )]й , что и требовалось доказать.

Вчастности, зафиксируем фуксову группу Г первого рода.

Тогда действие кольца R(T, Г) на пространстве Ak(T)						(Gk[T),	Sh(T))
определяет некоторое представление кольца R(Y, Г).
Сосредоточим			теперь внимание		на пространстве	Sk(T) и введем
в нем скалярное произведение. Для двух элементов / и g из							Sk(T)
положим
(3.4.2)	</,	g)=	\	f(Z)TU.yh-4xdy	{z = x +	iye®.
Заметим,	что	f(z)g(z)yh		и y~2dxdy	инвариантны относительно		дей­

ствия Г в силу предложения 2.18 и соотношения (1.2.3). Поэтому указанный интеграл определен, если он сходится. Для доказатель­ ства сходимости достаточно показать, что f{z)g(z)yh как функция на факторпространстве Г\§* непрерывна в точках, соответствую­

щих	параболическим			точкам.		Пусть		s — произвольная		параболи­
ческая		точка	группы	Г,	а р — такой			элемент группы		SL 2 (R), что
p(s)	=	оо, и	пусть Г5	=	{7 6 Г		| y(s)	— s).	Тогда
			р Г . р - 1 . { ± 1 > =			f	П	^ Т "	1
						[±[0		4J	mezj

при некотором положительном вещественном числе h. В этой ситуа­ ции существуют голоморфные при q = 0 функции Ф(а) и ¥(#), для которых

/ 1 [Р- 1 Ь = Ф (eKi2/h),

g I [р-1 ]/, = T (в**/*).

104 ГЛ. 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

Ио тогда

/ И Т Й I m (шк) =	/ (р-1 (z)) g~W4m I m (р-1	(z))h	=
=	ф (ея,-2/Л) ЦТ (еяи/Л) I m (z )"	( w =	р-1 ( Z ) ) .

Так как Ф(0) = ^(0) = 0, то рассматриваемая функция непрерывна вблизи точки на Г\<§*, соответствующей точке s, что и требовалось доказать.

Скалярное

произведение

(/,

g)

является,

конечно, эрмитовым

и положительно

определенным;

оно

называется

скалярным

произве­

дением Летерсона

(или метрикой

Петерсона)

в пространстве

5ь(Г).

Найдем теперь оператор, сопряженный к [Г^аГг^ относительно

этого

скалярного

произведения.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.39. Пусть

Г\ и Г 2

— соизмеримые

фуксовы

группы

первого

рода,

и

пусть

а £ Г4 .

Если

det(a) =

1,

то

(/

I t r i a r j f c , g)t

=

(/,

g

\ [Тз/х-ЧАь

>4

для всех

/

6 ^ ( Г } )

и g £ ^ ( Г г ) ,

где

(

,

) г — скалярное

произведение

Петерсона

в 5 л (Г г ) для

£ =

1,

2.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Заметим

сначала,

что

для

любого

a g SL2 (R) и любого измеримого множества А на полуплоскости ig

(3.4.3)	J f.^-yh-4xdy^	j ( / I [a]f c )-(g| [ a ] h ) . y h - 2 d x d y .
a	(.А)	A

Пусть P — фундаментальная область пространства Г2\<д. (Напри­ мер, можно взять в качестве Р многоугольник П на рассмотренный в доказательстве теоремы 2.20.) Пусть

Г 2 = U ( Г а П а - В Д е , ,

			V
— разделенное объединение. Тогда и З^аГг = U Глаег — разделен-
ное	объединение.	Согласно (3.4.3),		V
\	(fli^aT^^.y^dxdy^
р
	=	2	j (/|[ae v ] f t ) - g - » f t - 2 <te^	=
		V	Р
	=	2	j {f\Mk)-l-yh-2dxdy	=

	= j ( / l № - F - i / f t - 2 &	dy = j	f-isW^hd-y^dxdy,
	Q	a(Q)
где	= U ev (P). Легко видеть, что	(2 — фундаментальная область
	V

для группы Г 2 П ос - 1 ! 1 !»; следовательно, a(Q) — фундаментальная

§ 3.4. ДЕЙСТВИЕ ДВОЙНЫХ СМЕШНЫХ КЛАССОВ

105

область

для а Г 2 а - 1

П I V

Обозначая

через

( ,

) ' (соответственно

( , )")

скалярное

произведение

Петерсоиа

в

Sk(Tz

П с б _ 1 Г 1 а )

(соот­

ветственно

в 5 , , 1 ( а Г 2 а _ 1

П Ti)))

получаем

</

I t r j a r j f t , g)2

=

(f

I [ a ] f c

,

g ) '

=

</, g

I t a - l ] f c > " .

Поменяем местами / и g

и возьмем

a _ 1

вместо

a; тогда

(/,

g

I [Г 2 а - 1 Г 1 ]„> 1

=

(/, g

I [ a - 4 f t > " ,

и

доказательство

закончено.

В

силу

определения

функции

j(a,

z)

и

оператора [o]h

имеем

/

] Гс]л

=

/

для каждого

с

£ R x ,

так

что

(3.4.4)

/

| [ Г 1 С Г , ] к =

с"-2 /,

с 6

По этой причине предложение 3.39 можно модифицировать, вводя скалярный множитель в случае, когда det(a) Ф 1. Однако если воспользоваться главной инволюцией i матричной алгебры M 2 (R) (см. § 3.3), то для произвольного элемента a £ Г ; (не обязательно такого, что det(a) = 1) получим

(3.4.5)

(/iUVxIVlb,

g)2

=

{/,

gllT^TJkh.

Это легко проверить, так как если a =

ср при с

6 R* и Р 6

S L 2 ( R ) ,

то

сс1 = с р - 1 .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.40.

Пусть

Г 0

— нормальный

делитель

конеч­

ного индекса

в

некоторой фуксовой

группе Г

первого

рода.

Тогда

линейное

преобразование

[ r 0 o T 0 ] f t

на

векторном

пространстве

iSft(r0 ) при произвольном

а £ Г

унитарно

относительно

скалярного

произведения

Петерсона

на

Sh(T0).

Это непосредственное следствие предложений 3.7 и 3.39.

Линейное

преобразование на

S ^ I V

типа

[ Г ^ а Г ^ называется

оператором

Гекке

(в обобщенном

смысле). В следзаощем

парагра­

фе мы детально

обсудим операторы Гекке в том виде, в каком

они

были определены самим

Гекке.

Упомянем

вкратце, что двойной смежный класс Г^Гг допу­

скает интерпретацию

«алгебраического

соответствия»—

подробно

об

этом

будет

сказано

в гл. 7. Пусть Г' = Г2Па~1Г1СХ> и пусть

Фь

Фг и

ф'

обозначают

проектирования

из

на

ГД^д*, Г 2 \ § *

и Г'\<§*

соответственно.

Зададим

два

голоморфных

отображения

Л :

Г'\&* - > ГД<е*,

Р2:

Г'\£*

Г 2 \ £ *

равенствами

Pi о ф'

=

ф 4 о а , Р 2

о ф '

= ф2 . Заметим, что Р2

— есте­

ственное проектирование, а Pt — композиция естественного

проек­

тирования из

Г'\ф*

иа ( a - 1 r j a ) \ i Q *

с

изоморфизмом

из

( а ~ 1 Г 1 а ) \ ^ *

в Г Д § * ,

определенным

соответствием z ь-*- a ( z ) .

d

Пусть Г 2

=

U Г'е г

— разложение

на непересекающиеся

смежные

г=1

106	ГЛ.	3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ I I ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
классы.	Тогда	d			(объединение			разделенное; см.
		Г^аГг = U Г^ае^
		i = i
доказательство		предложения		3.1).	Поэтому		если cp2 (z) — точка
на Г 2 \ £ *	при	z 6 £ * , то
		^(Ф2(2))	-	{Ф'(в,(2))| i		=	1,	. . .,	е},
		PilP-АчШ	=	Ыа*Ш		i =	1,	. . .,	е} .

Так как cpt (P(z)) зависит только от Г4 р, то мы доказали следующее утверждение:

е

если 1\аГ2 = [) Г^а*, то при отображении Pt о Р'1 точка

Ф2 (з) соответствует точкам cp^a^z)) для i = 1, . . ., е.

Это наиболее примитивная форма того, что мы называем алгеб­ раическим соответствием и, в частности, модулярным соответст­ вием, когда группы Г являются конгруэнц-подгруппами в SL 2 (Z) . По поводу исторической стороны этого вопроса мы отсылаем чита­ теля к Гурвицу [2].

§ 3.5. Операторы Гекке и пх связь с коэффициентами Фурье

Рассмотрим теперь группу Г = SL2 (Z) и ее конгруэнц-под- группы. Пусть N — фиксированное положительное целое число, а A*N, Г' и Д' те же, что в (3.3.1) — (3.3.3). Из (3.3.14) и (3.4.5) следует

ТЕОРЕМА 3.41.		Линейные преобразования [ Г " а Г ] ; ,			на простран­
стве Sh(T')	при а	6	А% попарно коммутируют	и нормальны отно­
сительно	скалярного		произведения Петерсона	на	Sh(V).

Мы называем линейное преобразование нормальным, если оно коммутирует со своим сопряженным относительно введенного ска­ лярного произведения. Если N = 1, то ГаГ = Га1 Г для каждого а 6 А, так как a n a 1 имеют один и те же элементарные делители. Таким образом, из (3.4.5) вытекает

ТЕОРЕМА 3.42. Линейные		преобразования	[ Г а Г ] Л	на пространстве
Sh(T)	при а 6 А попарно	коммутируют и самосопряжены относи­
тельно	скалярного произведения Петерсона		на	Sh(Y).

Хорошо известно, что попарно коммутирующие нормальные линейные преобразования одновременно приводятся к диагональ­ ному виду, т. е. существует базис рассматриваемого векторного пространства, элементы которого являются собственными векто­ рами всех этих преобразований. Поэтому можно найти общие соб­

ственные	функции операторов		[ Г ' а Г ] ^ для всех	а £ Aft , которые
образуют	базис в Sk(V).	В частности, если N =		1, то собственные
значения	вещественны,	так как	операторы [ Г а Г ] Л	самосопряжены.

§

3.5.

ОПЕРАТОРЫ

ГЕККЕ

107

Пусть

N =

1.

Так

как / | Т(р,

p)k

=

р й ~ 2 / , то

элемент из

Sh(T)

является

общей

собственной

функцией

для [ГаГ]^ при всех

а £ Д тогда и только тогда, когда

он является

общей

собственной

функцией для

Т(р)

при всех простых р. Пусть /

— такая собствен­

ная

функция

и

/

| Т(п)к

— и п /, где

| i n

6 R

Для каждого положи­

тельного

целого

числа. Согласно (3.2.2), имеем

(формально)

5 Ц П П - ^ П И - И Р Г ' + Р * - 1 - 2 * ] - 1 .

71=1

V

В следующем параграфе мы покажем, что этот ряд Дирихле схо­ дится в некоторой полуплоскости и может быть голоморфно про­ должен на всю комплексную i-плоскость; далее будет показано, что он удовлетворяет некоторому функциональному уравнению, аналогичному тому, которому удовлетворяет дзета-функция Римана. Мы докажем подобные результаты и о конгруэнц-подгруппах группы Г.

Ограничимся теперь пространством б'^Г') . На самом деле можно рассматривать ряды Дирихле, ассоциированные с элемен­ тами пространства Gh(T'). Известно, что пространство Gh(V) порож­ дается пространством Sh(T') и «рядами Эйзенштейна», принадлежа­

щими Г',— это было показано			в	§ 2.2		в	частном случае N = 1.
Можно	показать также,	что	ряды		Дирихле, ассоциированные
с рядами Эйзенштейна уровня			N,	имеют			вир
	Цз,	Xi)L(s	— к		+	1,	%г),
где L(s,	х) — некоторая	L-функция,				определенная равенством
			оо]
	L (s, х) =		S	X Н		™-'
			771=1

при некотором характере % группы (Z/NZ)*. Детали см. Гекке [2], [4]. Поэтому природа коэффициентов таких рядов Дирихле довольно проста. В этой связи следует сказать, что арифметический смысл рядов Дирихле, ассоциированных с параболическими фор­ мами, по-прежнему остается таинственным1 ).

Рассмотрим теперь Г' и Д' в несколько специальном случае. Зафиксируем положительный делитель t числа N и рассмотрим

два экстремальных случая:				I) =	(Z/NZ)*			и I) = {1}	в обозначе­
ниях (3.3.2), (3.3.3). Именно,				положим
		Г			Га		tb~\		1
(3.5.1)	г; =	| Y 6 S L 2 ( Z ) | V ( 7 ) =			q	а_г	,	aeimzy,	b e z / i v z j ,
(3.5.1')	Г" =	{ y£T'\\N(y)	=	J	*ь	,	b e z / w z } ,

х ) См. по этому поводу статью 10. И. Манпна [ 2 * * ] . — Прим. ред.

108 ГЛ. 3. ОПЕРАТОРЫ ГЕККЕ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

'a tb

6 (Z/NZ)

d б Z/NZ } ,

(3.5.1")

Д; =

{ а б Д | М а )

=

0 d

, а

\be

Z/NZ,

"1

lb

Д' =

{ а е Д | М а )

=

be Z/NZ,

d£Z/NZ^

,

0

d

где K

N — естественное отображение

из

M 2 (Z)

в

M 2 (Z/iVZ)

Оче-

видно,

Г" — нормальный

делитель

в

Т'0

н

факторгруппа

изоморфна

(Z/NZ)X.

Пусть

а|?

характер

группы

(Z/JVZ)

т. е.

некоторый гомоморфизм из

(Z/NZ)"

в {z 6 C||z

I =

1}. Дляудоб -

ства положим при а £ Z

_

Г 0,

если

(а, N) Ф 1,

если

(а, vV) =

1.

'а Ь~

Далее, если \ = |^ £ Д, положим а(£) = а$ = а. Обозначил!

через

Sh(T'0,

г|э) множество

всех элементов /

из

Sh(T"),

для

которых

(3.5.2)

/

\[y]k

=

^(av) - 1 /

Зля всея

у

£

Г;.

Если a g — такой же элемент из SL 2 (Z), как в (3.3.10),

то

условие

(3.5.2)

эквивалентно

условию

(3.5.3)

/|[o-g]f t = ty(q)f для каждого q, взаимно

простого

с

N.

Поскольку

пространство

Sk(T")

можно

рассматривать

как

(Гд/Г")-модуль, то его можно представить в

виде прямой

суммы

пространств

Sh(Y'0,

я|э) для

всех характеров

\р группы

(Z/iVZ)*. Мы

видим

также, что

Sh(T'0,

г|?) =

{0},

если

только

ие

выполнено

равенство \\>(—1) = (—1)''. Из предложения

3.40

мы

немедленно

получаем,

что

(3.5.4)

подпространства Sk{T'0,

г|:)

пространства

Sh(T")

взаимно

ортогональны

относительно

скалярного

произведения

Петер-

сона.

Пусть

Г',

Ъ) и

Д'

те

же,

что

в

(3.3.2)

и

(3.3.3).

Заметим, что

Г"с= Г" cz

Г'

Д" с

Д'

с А ;

и пространство

Sk(V)

есть

прямая

сумма

пространств Sk(T'Q,

\р) для

всех таких

г|з, что \\>(Ц)

=

1.

Для каждого a f AJ можно следующим

образом

определить

линейное преобразование [Г„аГ^Й 1 ( 1 , на Sh(T'Q,

г|з). Возьмем разде­

ленное

объединение

Г„аГо

=

U

и для /

£ Sh(T'0,

\р) положим

(3.5.5)

V

/1 [ГоаГок ф

--= det (af2'1

2

<ф (a (ov )) •/ | [ a v

] k .

V

Легко видеть, что правая часть этого равенства не зависит от вы­ бора представителей { a v } n удовлетворяет условию (3.5.2). Далее,

(3.5.6) оператор	[T$T'0]h,y		является ограничением	преобразования
[Г'РГ"]^	на	пространство Sh(T'Q, -ф) для		каждого Р £ Д'»
если a|)(fy)	=	1.

§ 3.5. ОПЕРАТОРЫ

ГЕККЕ

109

Действительно, в силу предложения 3.36 можно найти

разделен­

ное

разложение Г'ВГ' =

U Г'р\, где

элементы

8V

имеют

вид

a

ib

0

d j . Но тогда в силу того же предложения мы получаем раз­

деленное

разложение

Г0 ВГ0 =

(J

r 0 B v .

Так как тр(а (Р))

= 1 для

В 6 А'» если лр(Ц) =

V

1, то (3.5.6) доказано.

Заметим, что для любого а 6 До существует

такой

элемент В

из

Д", что Т'0аТ'0 =

Г0 ВГ„. Поэтому (3.5.6)

означает, что функция

/ | [Г„аЦ],,, ,| принадлежит пространству

Sk(T'0, \р).

Мы видим теперь, что

отображение

г>г0 ^

[г;аг;];ьМ,

определяет

представление

кольца R(T'0, Д„) на Sh(V0,

лр). Обозна­

чим

через

Т'(а, d)f

t i l j, и Т'(п)к,

^

результат действия

операторов

Т(а,

d) и Т'(п) на 5,г (Г„,г()),

определенного в (3.5.5). Согласно

пред­

ложению 3.36,

d-i

(3.5.7)

/ | Г (га)*. „, =

2

2

W

/ № + Щ/d) d~h

а Ь=0

(В

силу

соглашения

( а > 0 ,

ad = n).

исключить

«чр(а-) = 0 для (а, iV) ф 1» можно

условие

(а, N = 1).)

Согласно

(3.3.11) и (3.4.4),

(3.5.8)

/ 1 2" (g, g)f t .ф

=

(g)./ для f£Sh(T'0>

г|>)

и (q,N)

= l.

Поэтому

из (3.3.8)

и

(3.3.6) формально

получаем

оо

(3.5.9)

2 T'(m)hi^m-S

=

711=1

= П а - г ( Р К Ф Р - Г 1 - П [ 1 - г " ( р ) * . * р - , + ч > ( р ) Р ^ - 2 Т \

(3.5.10)

Т' (m)h,A,T'

(/г)й ,ф=

2

d f e "\p(d)r (™z/d2 )f t . „ .

d|(m, п)

В последней формуле d пробегает множество всех положительных делителей числа (?тг, /г), так как \p(d) = 0, если (d, N) Ф 1. Сходи­ мость суммы (3.5.9) будет доказана в следующем параграфе (лем­ ма 3.62; см. также замечание 3.46).

Заметим, что параболическая точка оо группы Г" регулярна

и стабильная	подгруппа точки	оо порождается элементом1	^
Пусть« / £ Sh(T'B,	\р) и g — f I T'(m)h, $ при некотором фиксирован­*"
ном положительном целом числе т. Рассмотрим разложение			Фурье
для / и g в о о :
	ОО	ОО
/ (z) = 2 с (л) e2 l t i *z /',		g(z)= 2 С (/г) e2 l t i n 2 /'.

Л=1

71=1