книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

190 ГЛ. 6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ

6.21. Для		а 6	GQ+	определим		т(ос) равенством
(6.6.1)				hxW =	ho а	для всех h £ %.
Очевидно,		это	дает гомоморфизм группы				GQ+ В группу	A u t ( ^ ) .
Таким	образом,			символ	т	определяется	на S L 2 ( Z ) =	£/* |~| GQ+

двумя различными способами, которые, однако, приводят к одно­

му

результату

в силу утверждения (3) предложения

6.21. Для

х

—

иа

6 GA+,

где

и £

U

и

а 6 <?Q+,

ПОЛОЖИМ

Х(Х)

=

х(и)х(а),

так

что

Если

а; = и'а'

— другое

представление,

где

и' £

С/ и а ' £ GQ+, ТО

u _ 1 u '

=

аа,'-1

Е S L 2

( Z ) .

Поэтому, полагая

б =

u _ 1 u ' , получаем

т(и')т(а')

= т(мб)т(б_ 1 а)

= т(и)т(б)т(б)_ 1 т(а)

= х(и)х(а)

в

силу

мультипликативности

отображения

х на

С/ и GQ+. Таким

образом, символ т(:г) определен незавпсимо

от выбора

и и а .

Сле­

дует

показать,

что

х — гомоморфизм. Для

этого

возьмем

х

=

иа

и

у

=

при и Z U, v £

U,

а £ GQ +,

В 6 GQ +.

Так

как

Сл +

=

=

t7c?Q-, существуют такие

элементы w 6 t7 и у 6 GQ +,

что

ai>

=

=ify . Согласно определению,

х(ху) = т(шу)т(уР) = T(U)T(W)T(Y)T(B)

и

х(х)х(у)

= т(и)т(а)т(у)т(Р).

Поэтому

достаточно

показать,

что

т(гу)т(,у)

=

x(a)x(v).

Однако

это не что иное, как утверждение (2) предложения

6.22.

Так

как

т(а)

и

ст(а)

тривиальны на Q a b ,

если

a

£ GQ+, ТО

из утверждения (2) предложения 6.21 получаем

(6.6.2)

х(х)

=

а(х)

на

Q a b

для

каждого

х

£

Gj.+.

Докажем

теперь

равенство

(6.6.3)

Q_XUN

=

{х

6 Сл+ I Ф)

=

i d

на

f b } -

Включение cz

очевидно

в

силу

формулы (6.5.1). Пусть

х

£

GA+;

предположим,

что х(х)

=

i d

на

% N .

Согласно

формуле

(6.6.2),

а(х)

= i d на

kN.

Поэтому

в силу леммы 6.17

х

=

иа

при

и £

UN

и a

6 <?Q+. Тогда

x(a)

=

i d

на % N и, следовательно,

a

6

Q"

Г я ,

так

что

х £

Q*UN.

Доказательство

равенства

(6.6.3)

закопчено.

Из (6.6.3)

мы получаем, что

Кег(т)

=

оо

= замыкание

группы

=

Qx Go«+

П Q*UN

Qx GT C -j-

N=1

(так как группа Q*OJo+ замкнута в Q,,).

§ 6 , 6,	СТРУКТУРА ГРУППЫ Aut (?Y)	191
Соотношение (6.6.3)	показывает также, что отображение	х

непрерывно и, кроме того, т индуцирует открытое вложение груп­

пы

G

A J

Q

X G

со+

в группу

X(GA+)-

Поэтому т индуцирует тополо­

гический изоморфизм из GA+/Q*G«,+

на

%{GA+)-

В

силу

утверж­

дения

(1)

предложения

6.21

x{U) = G a l ^ - / ^ ) .

Так

как

группа

Gal{%/%i)

открыта

в группе

A u t ( g ) ,

то группа T(G-I+)

открыта и,

следовательно,

замкнута в

A u t ( g ) 1 ) .

Докажем

теперь

одну

из основных теорем нашей теории.

ТЕОРЕМА

6.23.

Последовательность

1

Q*Goo+ -»- GA*

Aut(gf) -»- 1

точна,

так

что

группа

A u t ( g ) изоморфна группе

GA+/QXG«,+

как

топологическая

группа.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как

группа

X(GA+)

замкнута

в A u t ( g ) ,

достаточно доказать, что

x(GA+)

плотна в Aut(gf). Пусть

£ 6 Ant(g-).

В сплу леммы 6.16 существует такой элемеит у

группы

G A

+ ,

что

а(у)

=

£ на Q a b . Положим я =

£ - т(г/) - 1 . Тогда я — тож­

дественное отображение на Q a b . Так

как поля g и С линейно раз­

делены над Q a b , можно продолжить я до некоторого

автоморфизма

поля Cgнад С; этот автоморфизм мы также обозначаем через я. Выберем и зафиксируем произвольное целое положительное число

N >

2.

Можно

найти

два

таких целых положительных

числа М

и М',

что

N<M<M',

g J - ' c g M

и Ймс=д-м<. Но тогда

0%Nczz

а

С$м с= С%м-,

так

что

существует

подгруппа

А

группы

TN,

содержащая Гм- и такая, что поле

Cg*/ является полем всех

моду­

лярных

функций относительно

А.

Пусть

<g* — объединение полуплоскости

<§ и

параболических

точек группы Г\. Положим V

=

! Q * /

T M ,

V

= ^*/А и

обозначим

через ф (соответственно через ср') проектирование из J§* в

V

(соот­

ветственно в V).

Тогда V и V

являются компактными

римановыми

поверхностями,

и С%м

(соответственно

С%м) можно

отождествить

с

полем

С(У)

(соответственно

C(V'))

всех

мероморфиых

функций

на

V

(соответственно

на

V)

с помощью отображения C(F)9/t—*•

и-* /

о ф

(соответственно

С(У') Э /

/

° ф')-

Так

как

я — изо­

морфизм поля С%м

иа поле С%м ы а д

С, существует

такой

бирегу-

лярпый изоморфизм г) поверхности

V

на V, что (/ о ф ) я =

/ о и ° ф'

для каждой функции / 6 C(V).

Положим V0 = ф(^) и V0

=

ц>'($).

Мы

собираемся

показать,

что

ф ( ^ ) =

V0.

Пусть

р

Ё. У0

и r|(p)

V0,

т. е. т|(р) = (p(s) при некоторой

параболической

точке

s группы Тм.

Если

v — дискретное

нормирование поля С-^'л/, соот­

ветствующее точке р, то v неразветвлено в CJ-, так как р = ф'(г)

для

Замкнутость	группы	т((?л+)	можно доказать и так. Поскольку	группа
T(G.-I+) гомеоморфпа	группе	GA+/Q.K	G«>+, она локально компактна п,	следо­
вательно, замкнута	в A u t ( g )	в силу	предложения 1.4.

192	ГЛ.	6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО					УРОВНЯ
некоторой точки z из			не являющейся			эллиптической. (Отметим
здесь, что ни группа Тм,				ни группа	А	ие имеют эллиптических
элементов, так как N >			2.)
Определим		теперь	нормирование		v*	поля	C g M	равенством
t>*(/i)	= v(hn)	для /г 6 С%м.		Так как	л — некоторый			автоморфизм
поля	С%, нормирование		v* должно быть неразветвленным в поле
С%. С другой		стороны,	v* — дискретное нормирование					поля Щм,

соответствующее точке ц(р) = cp(s). Так как s — параболическая

точка,	нормирование	v* разветвлено		в	С^у. (Действительно,	если
L — кратное числа		М,	то индекс	ветвления нормирования и*
в поле	CjyL равен ЫМ;		см. предложение		1.37 и § 1.6.) Таким	обра­

зом, мы получили противоречие, и, следовательно, точка г\(р) должна содержаться в У0 .

	Аналогично можно показать, что и - 1 отображает V0							в V'0, и, сле­
довательно, 11			дает	бирегулярный		изоморфизм	поверхности		V0
на	поверхность		V0.	Так как	V'0 — Jg/Д, V0 = Q/TM			и группы	А
и	Г л х	не имеют	эллиптических элементов, можно найти такой эле­
мент		р группы	SLo(R), что		ср о 6	= т] о ф' и	р - 1 ( { ± 1 } - Г М ) В		=

={ г Ы } - Д . Заметим, что группа Td порождает M 2 ( Q ) над Q для

каждого положительного целого числа d. (Действительно, элемен-

	"1 d~	"1 0~	~d2 + l	d"	"d		d
ты	-0 1.	d 1.	d	1 .	. 1	d 2	+ l .группы			T d линейно неза­
висимы над Q.)			Поэтому	p - 1	M 2 ( Q ) P = M			2	( Q ) , так	что х\—*• р- 1 :гр—

автоморфизм алгебры M 2 ( Q ) .

Согласно хорошо известной теореме, существует такой

элемент

а

группы

G L 2 ( Q ) ,

что

$~гх$

— а^ха

для

всех

х £ M 2 ( Q ) .

Тогда

а$~1х

= яссВ- 1 для всех

х £ M 2 ( Q ) ,

так

что

а Р " 1

=

с - 1 2

при

с £

£ R*.

Следовательно, а

— cf>, det(cx) =

с ! >

0 и

ф о а =

сров

=

=

т| о ф';

поэтому

(/ о ф)1* =

/ о г| о ф'

=

/ о с р о а

для

каждого

/

6 С(У), т. е. h71 =

h о а для каждого

h £ t%M.

Мы получили,

что

я

= т(сс) на 5'м и,

значит, £ = л о х{у)

=

х{ау)

на

% м .

Так

как

число М может быть как угодно большим,

доказанное означает,

что группа

X(GA+)

плотна в группе A n t (%). Доказательство

закон­

чено.

Существует очевидная аналогия между доказанной выше теоре­

мой и

точной последовательностью

(5.2.1)

теории

полей

классов.

На самом деле здесь налицо не только

аналогия, но и тесная

связь

с помощью некоторой явной формулы, которая описывает поведе­ ние значений функций поля ^ в специальных точках, принадлежа­ щих мнимому квадратичному полю. Этот вопрос будет обсуждаться

в §	6.8.
	УПРАЖНЕНИЕ		6.24. Пусть		— подполе поля fy, порожденное
над	Q функциями j			о а для	всех а 6 G0 +. Докажите, что (i) под­
группа		группы	G A	+ , соответствующая полю %' (в смысле предло­
жения		6.11), равна		Q^-troo+; (ii) пересечение Q a b ("I %' является

§ 6.7. КАНОНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МОДЕЛЕЙ ПРОСТРАНСТВА г\£>*										ЮЗ
композитом всех квадратичных			расширений поля				Q; ( i i i ) подгруп­
па группы	GA+,	соответствующая		полю		Q a bg\		равна		{х 6
6Q..jG~+ | det (ж) £ Q " Q c o + } ;			(iv)	каждый			элемент		группы
Aut(g - ') продолжается до некоторого				элемента			группы		A u t ( g ) ;
(v) группа Aut(5 - ') (канонически) изоморфна						группе			GAJQAGCO+
(ср. предложение 6 . 8 ) .
УПРАЖНЕНИЕ 6 . 2 5 . Покажите, что каждый						автоморфизм поля %,
продолжаемый	до	некоторого	элемента		группы		A u t ( g ) ,		должен
принадлежать	группе Gal ($N/%i),		т.	е.	равняться			ограничению

некоторого элемента подгруппы т(С/) на 5л-- В частности, ни одни

автоморфизм		поля % i t кроме		тождественного, не	продолжается
до автоморфизма			поля
УПРАЖНЕНИЕ			6 . 2 6 . Пусть % 0 — подполе поля		состоящее					из
элементов, инвариантных относительно х(х) для всех х =							[1	О"	£ U
							п	aJ
							|_0
(при	d6Q *i) .	Докажите, что (i) % = Qo b fto> (ii)			go	П Qab =				Q;
( i i i )	поле g 0	порождается над		Q функциями j(Nz)	и	/„	при		a	=

=(1/Л', 0 ) для всех целых положительных чисел N; (iv) поле go

является полем всех модулярных функций (произвольного уровня; с рациональными коэффициентами Фурье на оо (относительно пере­

менной

e2 l t '2 /'v прн некотором N

(ср. предположение 6 . 9 ) .

§

6.7. Каноническая система моделей пространства Г\^§*

для всех конгруэнц-подгрупп Г группы GL2 (Q)

Прежде чем обратиться к основной теме этого параграфа, вве­

дем

понятие

модели

римановой

поверхности

Г\<§*,

где

Г

—

фуксова группа первого рода и

ig* — объединение полуплоскости

<д и

параболических

точек группы Г. (Группа Г может быть под­

группой группы S L 2 ( R ) , S L 2 ( R ) / { + l } ,

Gc=+ или G,» + /R* . )

Так как

Г\^§* — компактная

риманова

поверхность

(см. § 1 . 5 ) ,

сущест­

вует проективная неособая алгебраическая кривая V, определен­

ная

над некоторым

подполем поля С, бирегулярно изоморфная

поверхности

Г\§* .

Часто

оказывается

удобным

выделять

Г-инвариаптпое голоморфное отображение ср пространства

<§* в

V,

которое

определяет

бирегулярный изоморфизм из Г\§* в

V.

Если символы

V и ср сохраняют тот же смысл, то пара (V,

ср) назы­

вается

моделью

пространства

Г\<§*. Например,

если Г =

SL2 (Z)

и Р 1

—

проективная

прямая, то

пара

(Р1 ,

/)

—

модель

простран­

ства

Г\§*.

Возвращаясь к общему случаю, рассмотрим другую фуксову

группу первого рода Г', объединение

полуплоскости ^

и пара­

болических точек группы Г' и модель

( V ,

ср') пространства Г'\^ *'.

Предположим,

что а Г а - 1 cz Г'

при

некотором элементе

а

группы

Тогда, как

было показано в §

2 . 1 , можно

определить

рацио-

13—01118

194	Г Л . 6. М О Д У Л Я Р Н Ы Е Ф У Н К Ц И И В Ы С Ш Е Г О У Р О В Н Я

нальное отображение Т кривой У в кривую V равенством jf'(cp(z)) =

=cp'(a(z)), т. е. с помощью следующей коммутативной диаграммы:

§* > .£*'

ф !	Jф'
V	V

В качестве частных случаев сюда включаются два типа отображе­ ний.

С л у ч а й

а: a

= 1; следовательно,

Г cz

Г'. Тогда Т —

обыч­

ное

проектирование.

С л у ч а й

б: а Г а - 1

=

Г'.

Тогда

Т — бнрегулярпый

изомор­

физм кривой V в кривую

V.

Цель этого параграфа — обсудить следующий вопрос, который

является пока нанвио поставленной задачей (его

модификация

будет

дана

позже):

Г,

произвольной

фуксовой

группе

содержащейся

в Gq+ и

содер­

жащей TN

при

некотором

N,

поставить

в

соответствие

раз

и

навсегда

некоторую

модель

( V T

, срг ) поверхности

Г\ф*

и

поле

алгебраических

чисел

А*г

таким

образом,

чтобы

выполнялись

сле­

дующие

условия:

(1)

кривая

VT

определена

над

полем

кТ;

(2)

если

а

6 GQ+ — такой

элемент,

что

с с Г а - 1 с ;

Д,

то

kAcz

cz кг

и

рациональное

отображение

Т

из

Vr

в

VA,

определенное

равенством

7Vpr =

ф д о

а,

рационально

над

Ат-

Здесь

и

в

дальнейшем

<g*

обозначает

$ U Q U {°° }•

Предположим, что можно найти такую пару (VT,

фг ) и поле

кг.

Рассмотрим

поле

%г = и°ФГ

i / e w r ) } ,

где

kv(Vr)

— поле функций на кривой

VT,

рациональных

над

кг;

см. дополнение, п. 4. Естественно предположить, что ^уд =

% х

,

если

Д =

ТN.

По условию группа Г содержит группу TN

при некотором

N.

В

силу

условия

(2) очевидны включения

/сг

с= kN

и %rcz

%N.

Поэтому %г — подполе поля ft. Но тогда (если считать, что ft —

расширение Галуа поля ft?) поле ft-p соответствует некоторой					ком­
пактной	подгруппе группы A u t ( g ) ,	согласно	предложению		6.12.
Группа Aut(g-) изоморфна группе Gvi+/Q*G<»+.			Поэтому	представ­
ляется	естественным рассматривать	вместо	семейства	групп Г

семейство всех открытых компактных подгрупп группы GA*/ Q*Goo+ нлн подгрупп группы GA+, соответствующих упомянутым под­ группам.

Мы приходим, таким образом, к рассмотрению множества % всех таких открытых подгрупп S группы G A * , содержащих группу

§ 6.7. КАНОНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МОДЕЛЕЙ ПРОСТРАНСТВА Г\§*							195
Q'Gco+,	что	факторгруппа 67QXG<*>+ компактна. Легко				видеть,	что
множество % обладает следующими свойствами:
(6.7.1.)	Если	S б S	и Т 6 S i mo	S	и Т — соизмеримые	подгруппы
	и S n res.
(6.7.2)	Если	S 6 S	и х £ GA+,	mo	xSx~x £ S.

Для каждой подгруппы S 6 S положим

=

^ П GQ+,

g . s

=

{/г

£ g-

I /1т(д=) = д

д Л я

всех

х 6 5 } .

В силу предложения 6.12 поле g-s

конечно порождено над Q, поле g

является

расширением Галуа поля

и

(6.7.3)

S

=

{х

6

т(а:)

= i d

на

% s ) , т. е. т(5) =

Gal(g/gfs ).

Например,

если

5

=

QXUN,

то

T s

=

(Q*!/^) fl

<?Q+ =

= Qx(UNa

GQ + ) =

Q x r j Y ,

так

что

группа

Г а

(или

r s / Q x ) как

группа

преобразований

полуплоскости !Q совпадает с

Г^.

Кроме

того, % s = % N в силу формулы (6.6.3) и предложения 6.11. В общем

случае

справедливо

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

6.27. Для

каждой

группы

S £ % группа

Г 5

соиз­

мерима

с

группой

Q T j (так что Гд/Q* — фуксова

группа

пер­

вого рода,

соизмеримая

с 1 У { ± 1 } )

и Cg-S

является

полем

всех

авто-

морфных

функций

относительно

группы

Ts.

Кроме

того, поле

ks

алгебраически замкнуто

в %s, где

ks

то

же,

что в §

6.4,

стр.

184.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В силу

утверждения

(6.4.3)

группа S

содержит

Q*UN

при некотором N.

Положим

Т

=

Q*UN.

В

силу

свойства

(6.7.1) [S

: Т]

<с о о , так что

[ Г я

: Г г ]

< . о о . Так

как Г т

=

= Q T j V ,

группа

Г 8

соизмерима

с

Q T Y

Согласно

леммам

6.16

и 6.17, каждый элемент группы Gal(Q o b /A; s ) можно записать в виде

a(s)	при некотором		s £ S. Поскольку		каждый элемент		поля g s f|
П Qab		инвариантен	относительно	x(s), имеем % s f| Qa b			= ^s>	т а к
ч т о	%s	П Qab = ks-	Ввиду того	что	поле	Q a b алгебраически		зам­
кнуто		в %, сказанное означает,		что	ks	алгебраически	замкнуто

в % s . По определению поля % s группа Gal(g/g-s ) изоморфна фактор­

группе

iS7Q*C?oo+ относительно

т и группа

27Q*G~+

соответствует

полю g-T

=

% N . Положим

R

=

{х

6 GA+ I х(х)

= i d

на

kT%s}.

Очевидно,

что

T S

T

с R

. Обратно,

в] силу

леммы

6.17 и (6.7.3

Rcz

S

{]

(Gq+T)

=

(5 П GQ+)T

=

T S T

,

так что

T

S

T — R. Поэтому

поле

kT%s

соответствует

группе r s r ;

следовательно,

[ S T : М Ы = [ T S

T : T ]

=

[ Г в : Г т ] .

13*

196 ГЛ. 6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ

Так как поля С и % т линейно разделены над кт, то [СЙт : C g s ] = [%т : kT%s] = ITS : Тт].

Пусть ЗЭД s ~ поле всех автоморфных функций относительно группы

Г 5 .

Тогда

C g s c =

4Sils 1 1

C g r =

следовательно,

[Cj>T : SRS ] = [ЯКг : SOU

=

t r s : Г т ]

=

[С%т : C g s ] .

Этим доказано

равенство

9 t t s =

C $ s .

ЗАМЕЧАНИЕ 6.28. Может случиться, что

S Ф

Т,

даже если Г в

=

=

Г г

и ks

= /Vr . Рассмотрим

пример

S =

Q?.{xeU\xp~

I

°{ modN-M2(Zp),

аец},

[

Г1

on

1

Г = Q x - | x 6 t 7 | x p = Q d

m o d / V - M 2 ( Z , , ) , d 6 J •

Тогда

Г 5

=

Г г

=

Q T j V ,

ks

=

kT

=

Q;

но

S Ф

T , если ЛГ >

2.

Тем не менее

справедлива

ЛЕММА

6.29.

Пусть

S 6 £ ,

6 £ •

£ сл«

Г 5

= Г т ,

A:s

=

А-г

u Scz

Г,

mo S =

Г.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В

силу

утверждения

(i)

леммы

6.17

предположение

о

равенстве

ks

=

кТ

влечет

за собой

равенство

GQ+S

= GQ+T,

И

если

5 с

Т,

то

Г с ( G Q +

fl

Л-S =

Г г

5 . Поэто­

му

соотношения Г т

=

T s

cz S

обеспечивают

обратное

включение

Г с

5, так что

Т

=

S.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.30. Пусть

Г' —дискретная

подгруппа

в G<» + /R x ,

соизмеримая

с

Q T i / Q *

и содержащая

TN

при

некотором

N.

Тогда

Г'

=

r s / Q x

для

некоторой

подгруппы

S £ %.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

В — элемент

группы

G«,+ ,

представляющий

некоторый

элемент

группы

Г', и пусть Г" =

=

Tj П p r j B - 1 .

Так

как

[Г4

: Г"] < ; оо, легко

видеть, что Г" поро­

ждает

алгебру

M 2 ( Q ) над

Q,

так что

p M 2

( O J P _ 1 =

M 2 ( Q ) . Теми

же

рассуждениями, что и при доказательстве теоремы 6.23, показы­

вается,	что		Р = с а при с 6 R* и а			6 GQ+. Поэтому можно				считать,
что Г'	=	Д / Q " при		некоторой подгруппе А группы					GQ+. Выберем
число	N	так, чтобы			Г ^ с : Д . Можно		найти конечное число эле-
							d
ментов	ctj,		. . ., ad,		для которых	А =	|J	Q T ^ a j -	Положим
							i = l
							d
			W	=	fl а-гиха	=	П	a?UNa,i
и S =	A W .		Тогда	W — открытая		подгруппа группы GA+ и фа­
кторгруппа			W/Ge°+ компактна; при этом a~xWa = W для							любого

§ 6.7. КАНОНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МОДЕЛЕЙ ПРОСТРАНСТВА

г\§*

197

а Е А.

Поэтому

S — открытая

подгруппа

в GA+ И факторгруппа

iS7Q*G=<,+ компактна, так что

S (Е 2 . При этом

Г 3 = А - ( И / П

GQ+) = A ,

так

как

W[\GQ+CZ

UN()GQ+

— TNcz

А .

Доказательство

закончено.

В силу предложения 6.27 можно

найти модель {Vs,

cps) поверх­

ности

r s \ < g * ,

которая

характеризуется

следующими

свойствами:

(6.7.4)

кривая

Vs

определена

над

ks;

(6-7.5)

%s

=

{ / o c p s

| / 6

kS(VS)}.

Фиксируем

модель

(Vs,

cps)

для

каждой

подгруппы

S £ S

раз

н

навсегда. Пусть

S

£%,

Г £ %

и

х £

Предположим,

что

xSx^cz

Т. Тогда %(х) дает изоморфизм поля % т

иа некоторое под­

поле поля % s . Заменяя g-s

и % т

на

ks{Vs)

и

kT(VT),

мы

получаем

изоморфизм х'(:г) поля kT(VT)

в поле &s(^s)> П Р И

котором/т '(ж > о ф 5 =

— (/ ° ф т ) т ( х )

Для

/

6 /cr(Vr)-

Поэтому

в силу

дополнения

6

мы

находим

однозначно

определенный

бирегулярный

морфизм

JTs(x)

кривой

VS

в

кривую

V T X

\

при

котором

р№

о Jтs(x)

=£/т '(*)

для

/ € kT{VT),

т.

е.

(6.7.6)

fa(x)°JTs(x)°Vs

= (/°Фг) т ( ж )

для

/

6

М У Т

) .

Легко

проверить,

что

J

T

S (х)

обладает

следующими

свойствами:

(6.7.7)

морфизм

J

T

S (х)

рационален

над

ks\

(6.7.8)

JTs(x)a(v)°JsR(y)

=

JTR (Х,

у);

(6.7.9)

J s

s

(х) =

i d ,

если х

£ S;

(6.7.10)

J T S { & )

[фSz )

1 — Фг(а (2 ))>

если а

б GQ+

и

Т

=

а £ а - 1 .

В

частности,

если

Scz

Т,

то

морфизм

/ r

s

( i )

определен

и

•/"rs(l)l9s(z)l

=

Фг(г).

Поэтому

/ Т д ( 1 )

соответствует

естественному

проектированию

из

r s \ $ *

в

Г г \ $ * .

Если

xSx-1

=

Т,

то

имеют

смысл

символы

JTS(x)

и

JsAx'1),

и / s r ^ -

1 ) * 1 ^ ' 0

J T S ( X )

=

i d ,

так

что J T s ( x ) —

бирегулярный изоморфизм из Vs

в

У т х ) .

В

наиболее

общей

ситуации

х8х~г cz

Т

имеем"

г

м

fJTR(l)a™°JRs(x)

(R =

xSx-i),

{JTP(X)OJps(1)

(P =

X - * T X ) ,

так что JTS(x)

— композиция бирегулярного изоморфизма и

проек­

тирования

в произвольном порядке.

В

качестве

иллюстрации

зафиксируем

целое

положительное

число N и рассмотрим группу S множества 2 , определенную

равенством

S

= Q x t T ,

19S ГЛ. 6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ

где

U' = {х 6 U | хр 6 U'p для всех конечных р)

(Г«

/Л

. .

1

Положим

а

=

01

0

1 .

Легко

видеть,

что

Г 5

=

Q x ( t / '

f]

<?0)

=

=

Q~T0 (iV) с T0{N)

из формулы

(1.6.5)

и

Qx

-del(S)

=

Q*-del(t7)

=

=

Oji.;

следовательно,

/Vs

=

Q.

Далее,

Q"t7i Y cz

5 =

Q* i7 Г|

П Q cc- 1

Ua,

так что функции / и j о а содержатся в поле

и

cz

%N.

Заметим,

что

j(a(z)

=)

j(ATz).

В

силу

предложений

6.27

п 2.10 имеем C%s

=

C(/(z), ](Nz)).

Так как Q(/(z), /(iVz)) c z f t s

и поля

С п

g-s

лппейно

разделены над

полем

A's

=

Q,

то

%s

=

<№),

j(Nz)).

Рассмотрим другой пример, в котором

группы

S

и Т

те же,

что в замечании 6.28. Так как

Г 8

= Г т

=

Q T _ V ,

то

в силу

пред­

ложения 6.27 C g s

=

C g T

=

% N . Таким образом, кривые

Vs

и

VT

являются

моделями

пространства

Г я \ $ *

иад

полем

Q,

но

есте­

ственное бпрегулярное отображение Y: VT—*- Vs,

определенное

равенством

Y

° ф г

=

q>s,

не

является

рациональным

над

Q,

если

N

>

2. Можно показать, что отображение Y

определено иад полем

ZN),

где

t,N

=

•2ni/N_

е-

§

6.8. Явная

форма

закона взаимности

в неподвижных

точках

группы

GQ+ на полуплоскости <§

Пусть

К — мнимое

квадратичное

поле,

q — пормалпзованное

погружение

поля

К в

алгебру

M 2 ( Q ) в смысле

§ 4.4

и г —

непод­

вижная

точка

группы

q(Kx)

на полуплоскости

<д (см. предложе­

ния 4.6 и 4.7). В § 4.4 было показано, что

каждая

нетривиальная

неподвижная точка любого элемента из

GQ+ на <д получается

именно

таким

образом. Цель

этого

параграфа — изучить

природу

значений функций поля % в точке z. С самого начала обратим вни­

мание на то, что		погружение q определяет непрерывный гомомор­
физм группы	К А	в группу		G A + \ его мы также обозначим через q.
ТЕОРЕМА 6.31. Пусть			символы		К, q и z имеют прежний		смысл.
Справедливы	следующие		утверждения:
(i) Для каждой		функции		h £ %,	определенной в точке z,		значение
h(z) принадлежит		полю Каъ		и
		h(z)is-If]		=	h**^	(z)

для всех s £ К A -

			§ 6.8. ЯВНАЯ ФОРМА ЗАКОНА ВЗАИМНОСТИ				199
	( i i)	Для	каждой	группы	S £ S точка	cps(z) рациональна	над
Каъ	и для каждого s £			КЛ
			c P s ( Z ) t s ' K ]		=	JsAgis)-1)^)),
где	Т	=	q(s)Sq(s)-1.
	Можно заметить, что соотношение (i) объясняет глубокий						ариф­

метический смысл отображения т, аналогичная ситуация склады­

вается,

когда

каноническое

отображение

группы

Кл

в

группу

Ga\(KajK)

локально

определяется

автоморфизмами

Фробениуса.

Таким

образом,

теоремы

6.23

и 6.31

доставляют

аналог

теории

полей

классов

для

поля

%,

являющегося

кронекеровым

полем

размерности 2. Следует также отметить, что соотношения

(i) и (ii)

являются обобщениями (5.4.1).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Как

было

видно в § 4.4, точка z при­

надлежит

К.

Определим

Q-лииейный

изоморфизм

i z : Q2

->- К

равенством

iz(a)

'

z 1

1

для

а Е Q2

(вектор-строка!).

Так

как

_

Z

_

\xz~

для

(.1 6 К"

(см.

(4.4.5)),

диаграмма

1

i ,

Q 2

->

кх

9(Ц)

->кх

коммутативна.

Если

мы

положим

az

=

Zz -f- Z,

то

отображение

i z

будет

иидуцпровать

изоморфизм

нз

Q 2 /Z 2 па К1аг,

который

мы

по-прежнему

будем

обозначать через

iz.

Пусть

| —

изоморфизм

из

C/az

в

некоторую эллиптическую

кривую

Е £ Ш, о" — произ­

вольный

элемент

из

Aut(C/K)

и s — произвольный

элемент

груп­

пы

КА,

для

которого

о =

[s,

К]

на

/Са ь- Возьмем изоморфизм

|' из C/s- 1 cu на Еа,

рассматривавшийся

в

теореме

5.4

для

о

и s,

так, чтобы

(1)

1(х)°

=

1'{8-*х)

(х

6 К/аг).

В силу леммы 6.19 можно найти такой элемент у из U и такой эле­

мент

а

из

GQ+, ЧТО qis)'1

= г/a"1 . Тогда

Z 2 g(s) _ 1

=

Z 2 a _ 1 .

Поло­

жим

w =

a - 1 (z )

и найдем

такой

элемент

X из

К",

что

Z

Заметим,

что

а

_ 1 _

az

=

i z

( Z 2 ) ,

s - 1 a z

^ ( Z 2 ^ ) - 1 )

=

iz(Z*a^)

=

X-iw(Z*)

=

Xa„