Зависимость (2.3)

есть векторное кинематическое уравнение движения материальной точки.

Каждую из приведенных формул (2.1) и (2.3) называют также кинематическим законом движения материальной точки. Для полного описания движения точки достаточно знать кинематические законы движения.

2. Скорость и ускорение при прямолинейном движении

Линию, которую описывает материальная точка при своем движении в пространстве, называют траекторией. В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным или криволинейным. Исключив из (2.4) или (2.7) время, можно определить уравнение траектории.

Расстояние, пройденное по траектории, называется путем. Обозначается как .Путь всегда выражается положительным числом. Поэтому пути, пройденные за отдельные промежутки времени, в течение которых материальная точка не изменяет направления своего движения, складываются арифметически.

Отрезок прямой, проведенный из начального положения материальной точки в конечное, называется перемещением. Перемещение обозначается как или .Кроме числового значения перемещение характеризуется также и направлением. Следовательно, перемещение – векторная величина. Поэтому перемещения складываются геометрически.

Пусть материальная точка движется вдоль прямой линии. Примем эту прямую за координатную ось Х, поместив начало координат О в какой-то произвольной ее точке. Положение материальной точки в рассматриваемом случае определяется одной координатой:

(2.4)

При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и длина пути равна модулю перемещения, т.е. .

Пусть в какой-то фиксированный момент времени материальная точка находится в положении . В этот момент времени ее координата равна. В более поздний момент времени материальная точка переместится в положениес координатой. За времяматериальная точка проходит путь. Он считается положительным, если перемещение совершается вправо, и отрицательным, если перемещение совершается влево. Отношение пройденного путик промежутку времениназываетсясредней скоростью материальной точки за время . Таким образом, по определению средняя скорость равна

(2.5)

Такое определение средней скорости имеет смысл для любых как угодно малых значений , но отличных от нуля.

Вообще, средняя скорость зависит не только от , но и от. Теперь, оставляя момент временинеизменным, промежуток временибудем брать все меньше и меньше, устремляя его к нулю. Тогда к нулю будет стремиться и пройденный путь. Как показывает опыт, отношениепри этом будет стремиться к вполне определенному пределу, который может зависеть только от, но уже не будет зависеть от. Этот предел называется истинной или мгновенной скоростью материальной точки в момент времени:

(2.6)

В математике предел, определяемый формулой (2.6), называется производной функции по аргументу. Таким образом, по определению производной следует, чтоистинная или мгновенная скорость материальной точки есть производная координатыпо времени, или производная пройденного путиs по времени:

(2.7)

Если за равные, сколь угодно малые промежутки времени материальная точка проходит одинаковые пути, движение материальной точки называется равномерным. Разделив путь s на время , за который он пройден, получим величину

, (2.8)

которую в обыденной жизни называют скоростью материальной точки. Она в данном случае совпадает с мгновенной скоростью.

Если движение неравномерное, величина, получаемая делением s на время , дает среднее значение скорости за промежуток времени:

(2.9)

Скорость материальной точки, вообще говоря, является функцией времени: .

Зная мгновенную скорость, можно вычислить путь, пройденный материальной точкой от момента времени до моментапо формуле

(2.10)

С учетом данного выражения можно получить формулу для средней скорости:

(2.11)

Производная скорости по времени называется ускорением материальной точки. Ускорение мы обозначим через а. Таким образом, по определению ускорения

, (2.12)

или

(2.13)

Производная (2.12) называется также второй производной координаты x или пути s по времени и обозначается символами

(2.14)

В общем случае ускорение является функцией времени .

При равноускоренном движении .

В существовании производных координаты по времени убеждаемся опытным путем, а не путем логических рассуждений.