3. Движение тел с переменной массой. Реактивное движение

Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Принцип действия ракеты заключается в следующем. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с огромной силой. Выбрасываемое вещество той же силой, но противоположно направленной, в свою очередь действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. Если нет внешних сил, то ракета вместе с выброшенным веществом является замкнутой системой. Импульс такой системы не может меняться во времени.

Пусть – масса ракеты в произвольный момент времени, а– ее скорость в тот же момент. Количество движения ракеты в этот момент времени будет. Спустя времямасса и скорость ракеты получат приращения. Заметим, что величинаотрицательна. Количество движения ракеты станет равным.

Обозначим через массу газов, образовавшихся за время, а через– их скорость. Тогда количество движения газов, образовавшихся за времяравно. Из современной формулировки второго закона Ньютона имеем, что

,

где – геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету.

Таким образом,

(5.19)

Раскрывая скобки и учитывая, что и– малые величины за время, можно отбросить произведениекак бесконечно малую высшего порядка. Обозначим черезскорость истечения газов относительно ракеты, которую называютскоростью газовой струи ракеты. Кроме того, из закона сохранения массы следует, что

.

С учетом этих замечаний выражение (5.19) преобразуется к виду

. (5.20)

Разделим это выражение на и из (5.20) получим

(5.21)

По форме уравнение (5.21) совпадает с уравнением, выражающим второй закон Ньютона. Однако масса тела здесь не постоянна, а меняется во времени из-за потери вещества. Кроме того, в правой части выражение имеет смысл дополнительной внешней силы. Она называется реактивной силой и имеет значение силы, с которой действуют на ракету вытекающие из нее газы. Уравнение (5.21) впервые было получено русским механиком И.В.Мещерским и называется уравнением Мещерского или уравнением движения точки с переменной массой.

Применим уравнение (5.21) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая , получим

(5.22)

Предположим, что ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости газовой струи . За положительное направление примем направление полета. Тогда в скалярной форме уравнение (5.22) примет вид

.

Следовательно,

(5.23)

Скорость газовой струи может меняться во время полета. Однако для простоты мы примем, что она постоянна. В этом случае

Значение постоянной интегрирования С определяется начальными условиями. Допустим, что в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее масса равна . Тогда предыдущее уравнение дает

откуда

Следовательно,

(5.24)

или (5.25)

Формула (5.25) называется формулой Циолковского.

Формула Циолковского позволяет рассчитать запас топлива, необходимый для сообщения ракете определенной скорости. Она показывает, что:

• чем больше конечная масса ракеты, тем больше должна быть ее стартовая скорость;

• чем больше скорость истечения газов, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.

Уравнение Мещерского и формула Циолковского получены для нерелятивистских движений, т.е. для случаев, когда скорости ималы по сравнению со скоростью света.