2. Ускорение материальной точки при криволинейном движении

В общем случае (и чаще всего) при движении материальной точки скорость меняется как по величине, так и по направлению. Пусть в момент времени материальная точка двигалась со скоростью , а при– скоростью. Перенесем начало вектора скоростииз точки В в точку А, сохраняя величину и направление вектора. Тогда приращение скорости(рис.3.3).

Δυ_τ

υ₁

A

Δv

ΔS

B

Δυ_n ^υ₂

0

υ₂

Рис. 3.3.

Среднее ускорение на отрезке траектории между А и В:

(3.10)

Величина вектора среднего ускорения показывает, как быстро (в среднем) происходит изменение скорости точки, а направление его совпадает с направлением вектора изменения скорости, т.е. направлено под углом к траектории в сторону её вогнутости.

Однако знание перемещения и средней скорости не дает достоверной информации о характере движения в данной точке пространства. Поэтому нужно уменьшить промежуток времени. При его уменьшении будет уменьшаться и величина вектора приращения скорости, следовательно, отношение (3.10) будет стремиться к определенному пределу. Ускорением (точнее мгновенным ускорением) материальной точки в данной точке траектории в данный момент времени называется предел отношения (3.10) при :

(3.11)

Из этого определения следует, что:

• ускорение есть векторная величина;

• ускорение направлено под углом к траектории в сторону её вогнутости;

• ускорение представляет собой первую производную вектора скорости по времени;

• ускорение представляет собой вторую производную радиус-вектора по времени; это следует из формул (3.11) и (3.3);

• вектор ускорения можно представить в виде

, (3.12)

, (3.13)

или ; (3.14)

• составляющие вектора скорости по координатным осям равны:

, ,; (3.15)

• величина ускорения равна; (3.16)

• для нахождения закона движения необходимо найти проекцию ускорения на оси координат по известным зависимостям проекций вектора скорости от времени, а затем интегрировать левую половину уравнений (3.15);

• направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора скорости только в случае ускоренного (или замедленного) прямолинейного движения.

Закон движения материальной точки находится из решения уравнений (3.15). Для примера рассмотрим равноускоренное прямолинейное движение, т.е. , где изменяется только скорость:, где– единичный вектор скорости.

Из этого выражения следует, что в случае увеличения со временем скорости (т.е. ), ускорение направлено так же, как скорость, а модуль ускорения равен. Если же скорость со временем уменьшается (т.е.), направление ускорения противоположно направлению скорости, а модуль ускорения равен.

Пусть движение происходит равноускоренно вдоль оси Ох, т.е. движение равноускоренное и прямолинейное. Тогда из первого уравнения (3.15) имеем:

Рассмотрим подробнее, как меняется скорость при криволинейном движении. Пусть материальная точка за некоторый промежуток времени перемещается из положения А в положение В с изменением скорости отдо. Перенесем векторпараллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с точкой А. Соединим концы векторови. Тогда приращение векторов скорости равно. Отложим на векторевектор, равный вектору. Следовательно, векторможно рассматривать как сумму двух составляющих: как показано на рисунке, обозначим ихи, т.е.. Тогда среднее ускорение равно.

Используя (3.11), из последнего выражения получим:

, (3.17)

где и – соответственнонормальное и тангенциальное ускорения. Причем в пределе направленияипрактически совпадают, следовательно, векторнаправлен так же, как и векторпо касательной в каждой точке траектории, а его значение определяют изменения величины (модуля) скорости:

(3.18)

Нормальная составляющая ускорения при этом окажется перпендикулярной вектору скорости, направленному перпендикулярно касательной к траектории, и показывать изменение направления скорости (рис. 3.4).

V

α_τ

α

α_n

Рис.3.4

Величина (модуль) полного ускорения при его разложении на нормальную и тангенциальную составляющие равна:

(3.19)