11. Закон сохранения момента импульса при вращательном движении

Сравним попарно между собой законы и формулы механики поступательного движения и механики вращательного движения: второй закон Ньютона – с основным законом динамики вращения, закон изменения импульса – с законом изменения момента импульса при вращении, выражение линейной скорости – с угловой скоростью и т.д. Бросается в глаза большое сходство в формулировках сравниваемых законов и в структуре сравниваемых формул. Каждой физической величине, характеризующей поступательное движение, соответствует определенная физическая величина, характеризующая вращательное движение. Эти примеры для наглядности представлены в таблице.

Поступательное движение	Вращательное движение
Время…………………………..t Радиус-вектор………………… Линейная скорость ………….. Линейное ускорение ………… Масса…………………………. Сила…………………………... Второй закон Ньютона	Время…………………………t Угол поворота……………… Угловая скорость…………... Угловое ускорение………… Момент инерции…………… Момент силы относительно оси Уравнение моментов

Обнаруженное сходство с законами поступательного движения характерно для всех законов вращательного движения. Пользуясь этим, напишем закон вращательного движения, аналогичный закону сохранения импульса материальной точки:

_, (7.30)

или для системы тел:

(7.31)

Выражение (7.31) носит название закона сохранения момента импульса: в изолированной системе сумма моментов импульса всех тел – величина постоянная.

Из формулы (7.30) следует, что изменение момента инерции тела должно сопровождаться изменением угловой скорости вращения тела: увеличение (уменьшение) момента инерции вызывает соответствующее уменьшение (увеличение) угловой скорости. Это следствие рассматриваемого закона доказывает в частности «скамья Жуковского».

Человек с расставленными в стороны руками вращается, стоя на скамье Жуковского. Затем он быстро опускает руки. При этом его момент инерции уменьшается, а угловая скорость увеличивается. На законе сохранения импульса основаны акробатический прием «сальто-мортале», балетный прием «пируэт» и т.п. Все свободные гироскопы действуют на основе этого закона: вращающаяся с большой скоростью масса сохраняет постоянным ось своего вращения. Этим объясняется устойчивость оси Земли, вертикальная устойчивость движущегося велосипеда и т.п.

12. Кинетическая энергия вращающегося тела

По аналогии с поступательным движением запишем выражение: , где– момент инерции,– угловая скорость вращения тела.

Действительно, кинетическая энергия одной частицы вращающегося тела массой , движущейся со скоростьюпо окружности радиусом, равна, где– момент инерции частицы,– угловая скорость вращения тела. Тогда, суммируя энергии всех частиц, составляющих тело, получим выражение кинетической энергии вращающегося тела:

За счет кинетической энергии вращения тело может совершать работу. Эта работа должна равняться изменению кинетической энергии вращения , гдеи– начальная и конечная угловые скорости вращения. Кинетическая энергия вращающихся тел используется в технике, например, при внезапном увеличении нагрузки машина не останавливается, а совершает работу за счет запаса кинетической энергии вращения маховика.

Найдем работу, совершаемую внешней силой при вращении твердого тела. Рассмотрим частный случай, когда сила направлена по касательной к окружности, по которой движется точка приложения силы (рис. 7.12). В этом случае сила и перемещениеточки ее приложения коллинеарны. Элементарная работа

(7.32)

Рис.7.12

Поскольку направления оси и векторасовпадают, формулу (7.32) можно представить в виде

, (7.33)

где – проекция векторана направление вектора_.