3.4. Выпуклость.

Ценовой риск чувствителен к уровню доходности при которой был рассчитан. Ценовой риск – это скорость изменения цены облигаций при изменении доходности (первая производная), а выпуклость – ускорение (вторая производная от зависимости цена- доходность), следовательно, выпуклость – это изменение дюрации по отношению изменения доходности. По смыслу выпуклость показывает расхождение рыночной цены и прогнозной, полученной с помощью дюрации.

Рис. 3.10.. Графическая интерпретация дюрации и выпуклости.

доходность

Заштрихованная область на рис.3.10 – область положительной выпуклости. Коэффициент выпуклости обычно выражается в процентах от цены облигации.

Коэффициент выпуклости (Convexity) равен

(3.29)

Вторая производная от цены облигации равна

. =

Можно получить другое выражение для показателя выпуклости, если взять вторую производную из выражения для цены облигации (3.1) или первую производную от выражения (3.24а)

(3.30)

Выпуклость, как и дюрация измеряется в годах. Выпуклость, как и дюрация, применяется для оценки ценового риска облигации.

Цена является нелинейной функцией доходности. При малых изменениях доходности цену можно оценить используя разложение функции в ряд Тейлора

(3.31)

В нашем случае

- модифицированная дюрация, (3.32)

- показатель выпуклости. (3.33)

Используя выражения для модифицированной дюрации и выпуклости, найдем оценку для относительного изменения цены облигации

(3.34)

Остаток равен сумме производных более высокого порядка: три и т.д. Влияние этого остатка при малых изменениях доходности мало.

Чем выше доходность, тем ниже цена облигации. Инвестиции даже в государственные облигации подвержены риску изменения процентной ставки.

Показатель дюрации и выпуклости составляют мультипликатор ценовой неустойчивости, при помощи которого можно более точно предсказать цену облигации при малых изменениях доходности. Эффекты выпуклости на растущих и падающих рынках не одинаковы. Падение уровня рыночной доходности сильнее воздействует на величину выпуклости, чем равное по величине увеличение процентных ставок. Облигации с большей продолжительностью имеют более высокий показатель выпуклости, чем краткосрочные облигации. Коэффициент выпуклости является стандартизированным показателем, позволяющем сравнить различные типы облигаций. Оценка изменения цены облигациина основе выпуклости и дюрации дают более точные результат по сравнению с такой же оценкой на основе только дюрации. Средневзвешенные значения выпуклости позволяют оценивать направления изменения процентной ставки и их неустойчивость.

Пример 11. Найти ценовой риск, дюрацию, выпуклость 30 летней облигации с купоном 8% и доходностью равной 7%. Номинал облигации 100. Сравнить изменения цены облигации .

Решение. Ниже в таблице приведены результаты расчета в Excel. Расчет дюрации проведен по формуле (3.24)(можно использовать функцию ДЛИТ), расчет коэффициента выпуклости по формуле (3.30). Цена облигации рассчитывалась по функции ПС, предсказанное изменение рассчитывалось по формуле (3.34) с учетом дюрации и выпуклости.

Таблица 3.6. Фактическое и предсказанное изменение цены облигации.

изменение в рыночной доходности в БП	цена облигации	фактическое процентное изменение	предсказанное изменение	выпуклость	коэффициент выпуклости
-300	141,44	41,44	30,6	10,38	3,46
-200	124,9	24,9	20,4	4,22	2,11
-100	111,28	11,28	11,2	0,96	0,9
0	100	0	0	0	0
100	90,52	-9,38	-10,2	0,82	0,82
200	82,54	-17,46	-20,4	3,13	1,57
300	75,74	-24,26	-30,6	6,61	2,2

Как видно из таблицы фактическое и процентное изменение цены облигации до 100 базисных пунктов практически совпадают, с увеличением изменения рыночной доходности расходение предсказанного и фактического изменения цены растет. При этом, если доходности растут , то расхождение между фактическим изменением цены и предсказанным немного меньше, чем при падении доходности.