3.9. Иммунизация портфеля облигаций.

Стратегия хеджирования портфеля облигаций от риска изменения процентной ставки основывается на том, что стоимость облигаций и стоимость реинвестированных купонов по разному зависит от процентной ставки. Х

Портфель облигаций, сформированный на горизонт инвестирования T, будет иммунизирован от риска изменения процентной ставки, если его дюрация равна сроку инвестирования T.

еджирование так же связано с тем, что облигации с различными сроками погашения по разному реагируют на изменение процентной ставки. Так при падении процентной ставки стоимость облигации растет, а сумма от реинвестирования купонов падает и, наоборот, при росте процентной ставки стоимость облигации падает, а стоимость реинвестированных купонов растет.

Условие полной иммунизации. Теорема об иммунизации.

Пусть имеется портфель задолженности, стоимость которого зависит от процентной ставки. Для погашения этой задолженности формируется портфель облигаций. Если при формировании портфеля выравниваются только приведенные стоимости долга и портфеля , то поскольку зависимости стоимости портфеля и долга от процентной ставки разные возможна ситуация, когда стоимость портфеля будет меньше стоимости долга. На рис. показана зависимость стоимости портфеля и долга от процентной ставки. При росте процентной ставки стоимость портфеля меньше долга, а при падении процентной ставки выше долга. Таким образом, портфель облигаций не застрахован от риска роста процентной ставки. Для того, чтобы застраховать портфель одновременно от риска роста и падения процентной ставки, необходимо, чтобы кривая зависимости стоимости портфеля от процентной ставки была больше зависимости стоимости долга от процентной ставки. Эта зависимость должна выглядеть, как показано на рис.3.13

Рис. 3.13. Зависимость стоимости портфеля и долга от процентной ставки.

а) Частичная иммунизация.

б) Полная иммунизация.

Как видно из рисунка условие полной иммунизации означает, что в момент формирования портфеля при процентной ставке равны не только приведенные стоимости, но обе кривые имеют одну касательную в точке, что означает равенство дюраций портфеля и долга. А кривая стоимости портфеля более выпукла, чем кривая стоимости долга. Все эти условия означают, что для полной иммунизации портфеля от риска изменения процентной ставки необходимо выполнение следующих условий:

(3.40)

Теория иммунизации предполагает горизонтальную структуру процентных ставок или параллельный сдвиг временной структуры процентных ставок

Первые два условия называются иммунизацией Самуэльсона.

Пример 14. Пусть процентные ставки в момент формирования портфеля равны 12% годовых. Имеются два вида облигаций. Облигация А номиналом в 1000 руб., купоном 10%, сроком до погашения 2 года, выплаты купонов осуществляются раз в год. Облигация Б номиналом 1000 руб, купон 10%, выплачивается два раза в год, срок до погашения 2 года. Инвестор должен через 3 года погасить долг в 1 млн.руб. Сколько облигаций А и Б необходимо купить, чтобы иммунизировать портфель при изменении процентных ставок на 1%.

Решение. Характеристики облигаций

Облигации	FV	N	m	g	r	PV	D (дюрация)
А	1000	2	1	0,1	0,12	966,20	1,91
Б	1000	4	2	0,1		937,90	3,37

Для нахождения долей облигаций надо решить систему уравнений

(3.41)

Приведенная сумма долга равна 711780,25 руб.

Облигаций А надо купить на сумму руб., а облигаций типа Б надо купить на суммуруб.

Количество облигаций А равно шт.

Количество облигаций Б равно шт.

Проверка иммунизации.

Пусть процентные ставки через год изменились и стали равны 11%. Найдем стоимость портфеля облигаций через три года?

Для расчета стоимости портфеля через три года рассмотрим денежный поток наличности в портфель. Поток наличности в портфель складывается от реинвестирования купонов от облигаций А и Б по процентной ставки 11% и продажи облигации Б. Результаты расчетов приведены ниже в таблице.

облигация/периоды	Денежный поток от одной облигация А	все облигации А 186 шт	доход от реинвестирования в облигации А	облигация Б денежный поток	все облигации Б шт 567 шт. денежный поток	Доход от реинвестирования облигаций Б и продажи Б
1	0	0		50	28346,32	37047,51
2	100	18 636	23086,47	50	28346,32	35116,13
3	0			50	28346,32	33285,43
4	1100	23086,47	228162,99	50	28346,32	31550,17
5				50	28346,32	29905,37
6	Доход от облигаций А		251249,46	50	28346,32	28 346,32
7				50	28346,32	561692,85
8				1050	595272,81

Стоимость портфеля равна =251249,46 +28 346,32+561692,85 =1008193,24 руб.

Портфель иммунизирован от падения процентной ставки, его стоимость выше 1 млн.руб. Если процентные ставки вырастут, то портфель будет также иммунизирован от роста процентной ставки. Стоимость портфеля состоит из стоимости реинвестированных купонов, которая растет (падает) при росте (падении) процентной ставки и стоимости продажи облигаций Б. Стоимость же облигаций падает (растет) при росте (падении) процентных ставок. Таким образом, наблюдаются две противоположные тенденции, которые и приводят к поддержанию стоимости портфеля выше или равной 1 млн. руб. Важным моментом в этом расчете является возможность реинвестирования и продажа облигаций по одной и той же процентной ставке. Обычно ставки реинвестирования меньше, чем рыночные ставки при расчете стоимости продажной стоимости облигации.

Переформирование портфеля.

Пусть инвестор решил переформировать портфель через год. Процентные ставки уменьшились с 12% до 11% годовых. Дюрация долга теперь равна два года. Стоимость облигаций и дюрация облигаций в портфеле изменились и равны соответственно

руб. , год,975,02 руб.,= 2, 66 года.

Через год стоимость портфеля равна сумме приведенной стоимости облигаций и доходу от купонов за первый год. Стоимость облигаций в портфеле через год равна

= 745 937,20 руб.

Доход от купонно с учетом реинвестирования на полгода купонов от облигации Б равен

= =76887,03 руб.

С учетом дохода от купонов полная стоимость портфеля инвестора равна

= 745 937,20 +76887,03 = 822 824,23 руб.

Рассчитаем необходимое количество облигаций для иммунизации долга при новых условиях. Решая систему равенства дюрации портфеля облигаций горизонту инвестирования, найдем доли облигаций в портфеле

Доля облигаций А равна , а доля облигаций Б равна.

Сумма инвестиций в облигации пропорциональна долям облигаций в портфеле. Количество облигаций А равно . Количество облигаций Б равно.

Приведенная стоимость долга в 1млн. равна 811622,43 руб. немного , больше стоимости портфеля. Однако при переформировании портфеля необходимо учитывать транзакционные издержки, которые увеличивают издержки при формировании иммунизированного портфеля. Переформирование портфеля становиться полезными, если ожидаются значительные изменения процентной ставки.

Иммунизация при наличии транзакционных расходов.

При покупке облигаций удерживаются комиссионные. Комиссионные увеличивают затраты инвестора на приобретение портфеля. Это приводит к тому, что сумма инвестиций в портфель увеличивается на величину транзакционных издержек. Для иммунизации портфеля в начале формирования портфеля инвестору надо увеличить затраты на величину комиссионных от стоимости приобретения портфеля. Если же производить переформирование портфеля, то затраты на трансакции надо учесть при формировании портфеля.

Пусть имеются две облигации с теми же характеристиками, что и в предыдущем примере. Комиссионные при переформировании портфеля составляют 0,5%. Инвестор имеет сумму 1млн. руб. и хочет сформировать портфель на 3 года, застраховав его от риска изменения процентной ставки на 1% и затем переформировать его через год. Текущая процентная ставка равна 12%. Рассчитать иммунизированный портфель.

Как было рассчитано выше, стоимость портфеля через год равна

= 822 824,23 руб. Для полного переформирования портфеля, состоящего из покупки и продажи акций необходимо затратить == 3 729,69 руб.В результате приведенная стоимость портфеля уменьшиться на величину равную разности приведенной стоимости долга и стоимости портфеля, что равно = 819 094,54 руб., что больше.= 811622,4 руб. Если же комиссионные будут более 1,36%, то необходимую сумму затрат на комиссионные следует учесть при формировании портфеля. Например, при комиссионных в 2% надо приобрести облигации на сумму=827854,89 руб. Далее следует провести расчеты аналогичные, приведенному выше расчету. Если портфель переформируется частично, то для оптимизации транзакционных издержек при покупке и продаже облигаций следует решить задачу оптимизации затрат на покупку и продажу облигаций, т.е. минимизации целевой функции от долей облигаций в портфеле. Для решения этих задач оптимизации применяются методы линейного программирования.

Управление дюрацией портфеля облигаций.

Стратегия иммунизации является пассивной стратегией хеджирования от риска изменения процентной ставки. Активная стратегия заключается в управление дюрацией портфеля в соответствии с прогнозом изменения рыночных процентных cтавок. При снижении процентных ставок дюрация портфеля увеличивается, при росте процентных ставок дюрация уменьшается. Изменение дюрации портфеля можно осуществить путем обмена (свопа) облигаций на новые.

Пример 3.17 [2]. Пусть имеется портфель, состоящий из облигаций 4 видов. Процентная ставка равна 8%.

Решение. Ниже в таблице показана структура портфеля.

Облигации	А	B	C	D
платежи	1000	1500	2500	4000
дюрация	1,5	2	3,5	5
Доля в портфеле	1/9	1/6	5/18	4/9

Выполнить упреждающий своп, если а) прогнозируемые процентные ставки увеличатся на 1%; б) уменьшаться на 1 %. Транзакционные издержки отсутствуют.

Решение. Дюрация портфеля равна