3.5. Дюрация портфеля облигаций.

Портфель ценных бумаг включает облигации различного типа, которые дают определенный поток платежей. Дюрация портфеля ценных бумаг – это средневзвешенный срок поступлений в поток наличности.

Дюрация портфеля равна

=(3.35)

Показатель выпуклости портфеля облигаций равен

=, (3.36)

где - номинальная стоимость платежа в поток наличности портфеля в годt; – текущая стоимость всех будущих платежей (приведенная стоимость портфеля);- время поступления платежа, выраженное в годах;- показатель выпуклостиi-ой облигации; n – количество лет до конечного срока существования портфеля; - доля стоимости- ой облигации в стоимости портфеля.

Существуют некоторые различия в потоках платежей портфеля облигаций от обыкновенной облигации. При расчете дюрации портфеля облигаций надо учитывать соедующее:

• поступления платежей идут пакетом и в отличии от облигации неравномерно распределены во времени;

• внутренняя ставка доходности портфеля является ставкой доходности портфеля IRR, но не является средней доходностью портфеля. IRR находится также как и для любого потока платежей;

• процентные ставки для всех сроков, облигаций входящих в портфель меняются на одну и ту же величину.

Дюрацию портфеля облигаций можно рассматривать как меру процентного риска. Показатель выпуклости показывает, насколько точно дюрация оценивает риск. Чем меньше выпуклость, тем точнее дюрация оценивает риск. Все вышеприведенные расчеты дюрации и показателя выпуклости справедливы при условии горизонтальной структуры процентной ставки или при параллельном сдвиге. Это означает, что процентные ставки постоянны для всех периодов поступления платежей за все время существования портфеля.

Пример 12. На рынке имеются три вида облигаций со следуюшими характеристиками. Облигация А номиналом в 1000 руб., купоном 10%, сроком до погашения 2 года, выплаты купонов осуществляются раз в год. Облигация Б номиналом 1000 руб, купоном 10%, который выплачивается два раза в год, срок до погашения 2 года. Бескупонная трехлетняя облигация С. Инвестор покупает 40 облигаций типа А по цене 960 руб., 30 облигаций типа В по цене 940 руб. и 60 облигаций типа С по цене 650 руб. Рассчитать потоки платежей в портфель, найти дюрацию портфеля и внутреннюю ставку доходности. Годовая процентная ставка равна 12%.

Решение. Каждая облигация порождает денежный поток распределенный во времени в виде купонов и номинальной стоимости в конце периода. Этот денежный поток по облигациям показан в ниже в таблице

Облигация/периоды (годы)	Цена	0,5	1	1,5	2	2,5	3
А	-960	0	100	0	1100	0	0
В	-940	50	50	50	50	50	1050
С	-650	0	0	0	0		1000

Рассчитаем денежный поток портфеля. Для этого надо умножить денежный поток (купоны и номинал) от каждой облигации в данный период времени на количество облигаций данного типа.

Облигация/периоды	количество	0,5	1	1,5	2	2,5	3
А	40	0	4000	0	44000	0	0
В	30	1500	1500	1500	1500	1500	31500
С	60	0	0	0	0	0	60000
Итого		1500	5500	1500	45500	1500	91500

Дюрацию портфеля рассчитаем по формуле (3.35).

Периоды (годы)	Потоки наличности в портфель	приведенная стоимость потока	вес в портфеле
0,5	1500	1417,37	0,013	0,006
1	5500	4910,71	0,045	0,045
1,5	1500	1265,51	0,011	0,017
2	45500	36272,32	0,329	0,659
2,5	1500	1129,92	0,010	0,026
3	91500	65127,89	0,591	1,774
	РV( портфеля)	110123,72	дюрация	2,53

Первый столбец – это время существования портфеля облигаций, выраженное в годах. Поскольку купоны по облигации В выплачиваются два раза в год, то весь период в 3 года надо разделить на полугодовые периоды. Во втором столбце приведены денежные потоки в портфель облигаций. В третьем столбце приведены результаты расчета приведенной стоимости каждого платежа в соответствующий период. Например, во второй год поведенная стоимость равна . Приведенная стоимость портфеля облигаций равна сумме приведенных платежей. Приведенная стоимость портфеля облигаций равнаPV (портфеля) = 110123,72 руб.

Для нахождения доходности применим финансовую функцию Excel ВСД. Стоимость портфеля равна 105600 руб.

ВСД( -105600; 1500; 5500; 1500; 45500; 1500; 91500) = 6,71% за период (полгода). IRR за год равна 13,43%.

Сравним среднюю доходность и внутреннюю доходность портфеля.

Средняя доходность равна

(3.37)

где - доля облигаций в портфеле,- внутренняя доходность облигаций в портфеле.

Расчет средней доходности, проведенный в Excel приведен ниже.

Облигация/периоды	количество	Цена* количество	доля в портфеле	IRR	доля* доходность
А	40	38400	0,3636	0,1202	0,0437
В	30	28200	0,2670	0,1246	0,0333
С	60	39000	0,3693	0,1489	0,05498
	Р портфеля	105600		средняя доходность	0,13195

Средняя доходность оказалась меньше внутренней доходности портфеля.