3,69 Лет

Стоимость портфеля 9000 руб. Изменение стоимости портфеля при изменении процентной ставки равно

При росте процентных ставок на 1% стоимость портфеля уменьшится на

=0,03429000 = - 307,8 руб. и портфель будет стоить

Р(0,09)=9000 – 307,8 = 8692, 13 руб.

Для уменьшения величины падения стоимости портфеля дюрацию портфеля надо уменьшить. Для этого можно продать облигации с большой дюрацией, например, 5 -летние на сумму 4000 руб. и купить облигации с маленькой дюрацией, например, с дюрацией в 1,5 года. При этом стоимость портфеля не изменится, а дюрация уменьшится, поскольку изменились доли облигаций в портфеле.

Нетрудно подсчитать, что дюрация такого портфеля будет равна D= 2,139. При увеличении процентных ставок на 1% стоимость портфеля уменьшиться в этом случае на = 0,0198*9000 = 178,2 руб. Стоимость портфеля при= 9% равна

Р(0,09) = 9000-178,2= 8821,8 руб.

Стратегия хеджирования портфеля облигации путем управления дюрациий состоит в том, что при уменьшении процентных ставок надо увеличивать дюрацию портфеля, а при росте процентных ставок дюрацию следует уменьшать.

3. 10. Коэффициент хеджирования

Для иммунизации своих позиций от общего уровня изменения доходности обычно продают облигации для хеджирования длинных позиций и покупают для хеджирования коротких позиций. Если дюрации коротких (долг) и длинных позиций(актив) неодинаковы, то позиция является незастрахованной от изменения доходности.

Номинальное количество ценных бумаг одного вида, необходимое для хеджирования единичной позиции по другим ценным бумагам, называется коэффициентом хеджирования.

Для двух облигаций изменение стоимости равно

, (3.42)

где -изменение цены, Q – объем выпуска.

При малых изменениях доходности изменение цены можно аппроксимировать, как было показано выше, выражением

(3.43)

При небольших изменениях доходности можно использовать приближения первого порядка по . Предполагая, что при параллельном сдвиге кривой доходности изменения доходности для всех инструментов одинаковы, уравнение P будет иметь вид

(3.44)

Если позиции застрахованы от риска, то изменение стоимость равно нулю . Соотношение между количеством бумаг равно

(3.45)

Знак минус означает, что если исходная позиция длинная, то позиция хеджирования должна быть короткой. Коэффициент хеджирования – это отношение количества бумаг типа 2, необходимого для хеджирования к количеству бумаг типа 1

(3.46)

Пример 3.18. Предполагается, что кривая доходности будет круче, следовательно, доходности облигаций с большим сроком до погашения будут расти по сравнению с доходностями облигаций с меньшим сроком. Трейдер собирается продать на 1 млн.руб. 8% 30 летних облигаций и купить 8% 2 летних облигации для хеджирования. Сколько 2 летних облигаций надо купить. При этом предполагается, что каждый выпуск продается с доходностью 12%.

Характеристики облигаций.

n	g	r	PV	MD	H
30	0,08	0,12	67,68	8,362646	3,535074
2	0,08	0,12	93,23	1,717315

Для хеджирования короткой позиции в 1 млн.руб. по 30 летним облигациям надо купить 2-х летних на 3,53 млн. руб.

Хеджирование с использованием фьючерсных контрактов

Облигационные фьючерсы широко применяются в качестве заменителей казначейских ценных бумаг. Облигационные фьючерсы – это контракты, согласно которым в определенный момент времени в будущем должны быть поставлены или получены облигации, удовлетворяющие определенным контрактным условиям. Продавец облигационного фьючерсного контракта берет на себя обязательство поставить соответствующие облигации, т.е. продать их, а покупатель фьючерса обязуется принять поставку т.е. купить. Цены по которым торгуются фьючерсы устанавливаются на свободном рынке.

Страхование облигаций фьючерсом на облигацию осуществляется с помощью дюрации.

Изменение цены облигации при изменении процентной ставки равно

(3.47)

Изменение цены фьючерсного контракта равно

(3.48)

- доходность до погашения самой дешевой облигации.

Коэффициент хеджирования равен

(3.49)

Если , то коэффициент хеджирования равен

(3.50)

Фьючерсная цена облигации определяется по формуле

(3.51)

t- `количество дней со дня выплаты последнего купона до момента определения фьючерсной цены,

Т – период действия фьючерсного контракта, количество дней до даты поставки,

- количество дней в текущем купонном периоде,

r – безрисковая ставка.

К – коэффициент конверсии. Рассчитывается биржей до начала торговли по контракту. Берут цену облигации, соответствующей доходности до погашения и делят на 100.

Используем фьючерсный контракт для хеджирования соответствующей позиции.

Пусть стоимость позиции S. Пусть хеджированная позиция имеет вид

(3.52)

где – текущая стоимость фьючерсного контракта,- коэффициент хеджирования. Каждая из позиций является функцией доходности. Цена фьючерсного контракта в случае непрерывно начисляемого процента является функцией цены спот

(3.53)

Или .

f - цена поставки или урегулирования, F – текущая цена фьючерсного контракта, т.е обязательство обменять f денег на соответствующую бумагу в момент урегулирования. Текущая стоимость фьючерсного контракта F будет меняется при изменении процентной ставки. Дифференцируя V по получим

(3.54)

Коэффициент хеджирования получается из условия равенства нулю производной.

(3.55)

F –текущая стоимость фьючерсного контракта, f –цена.

Хеджирование минимальной дисперсией.

Пусть стоимость хеджируемой позиции , а- стоимость исходной позиции,- стоимость инструмента хеджирования в моментt. Пусть коэффициент хеджирования равен .

В любой момент времени стоимость хеджированного портфеля равна

Изменение стоимости портфеля от момента t до момента t+1 равно

Надо найти из условия минимизации дисперсии при изменении стоимости хеджируемого портфеля.

Дисперсия изменения стоимости портфеля равна

Условие минимизации дисперсии – это равенство нулю первой производной от дисперсии по . В результате получим

Отсюда получим, что коэффициент хеджирования равен

Поскольку вторая производная равна

то имеет место минимум функции.

Волатильность.

Дюрация, доходность являются традиционными показателями для определения теоретической стоимости облигации в определенный момент. Реально все цены движутся, то медленно, то быстро. Для характеристики этого движения используют понятие волатильность.

И

Все цены движутся, то медленно, то быстро. Для характеристики этого движения используют понятие волатильность.

Историческая волатильность характеризует размах колебаний цены или доходности на рынке на основе фактических цен или доходностей за определенный промежуток времени в прошлом.

сторическая волатильность характеризует размах колебаний цены или доходности на рынке на основе фактических цен или доходностей за определенный промежуток времени в прошлом. Историческая волатильность является фактом.

Неявная волатильность – характеризует величину ожидаемых будущих изменений цен или доходностей. Неявная волатильность – прогноз.

Волатильность используется для оценки вероятности возможных изменений цен на рыке, что позволяет рассчитать риск. В большинстве задач по количественным методам в финансах ( финансовой математике ) предполагается, что цены на рынке изменяются совершенно случайно. Физическим аналогом является понятие случайного блуждания.

Пользуясь понятием случайного блуждания или Броуновского движения, для определения вероятности заданного изменения цены, необходимо оценить параметры этого случайного блуждания. Для этого используется математический аппарат стохастических( случайных) процессов. Это означает, что надо знать следующие параметры

• Среднее значение цены за определенный промежуток времени. Если нет изменения по направлению, то оно равно 0.

• Стандартное отклонение, характеризующее разброс цены.

• Период изменений.

Историческая волатильность за период n в момент времени Т есть число в процентом выражении число

V = (100*_тA),

где A есть число доходностей r_t за год, а

²_т = \

Таким образом, _т является несмещенной оценкой стандартного отклонения по выборке, размером n, и средним равным нулю.

Оценки волатильности за последние n периодов используются в качестве прогноза на следующие n периодов. Обоснование этому является то, что на долгосрочный прогноз волатильности не должно оказывать влияние такое явление, как кластеризация волатильности.

Прогнозы волатильности во времени, т.е. прогнозы волатильности, основанные на доходностях за h дней, основываются на правиле "квадратного корня от времени". По этому правилу вычисляются стандартные отклонения за период в h дней, как умноженное на дневное стандартное отклонение. Правило квадратного корня от времени подразумевает, что волатильность постоянна.

Волатильность за период равна

V = .

Временная структура волатильности является постоянной величиной. Но это не согласуется с практикой, т.к. из-за "кластерности" волатильности, данная методика может привести к значительному занижению показателя волатильности.

На рисунках ниже показано изменение индекса DJI за 1998 год.

Ежедневные значения индекса DJI за 1998 год

Ежедневная доходность индекса DJI

Модели волатильностей.

Волатильность доходностей портфеля ценных бумаг зависит от показателей вариации и ковариации между факторами риска, присущими портфелю, и чувствительности отдельных активов на изменение данных факторов риска. Волатильность, таким образом, является случайной величиной, или (при рассмотрении изменения цены за несколько интервалов) временным рядом. Моделирование данной случайной величины представляет основу для оценки большинства рыночных рисков. Рассмотрим наиболее популярные методы моделирования волатильности:

• Простая волатильность⁵

• Скользящие средние (СС)

• Экспоненциальная волатильность

• Волатильность, как комбинация нескольких распределений

• ARCH/GARCH модели

• Стресс-тестинг

• Модель Васичека

Простая волатильность.

В рамках простейшего представления волатильность рассматривается, как нормально распределённая случайная величина ("белый шум") с дисперсией равной дисперсии изменения цены за интервал. Для оценки волатильности используется стандартное отклонение данной величины, рассчитанное по некой исторической выборке:

(4.71)

где p_t - изменение цены за i-й интервал. N - длина образом следует рассмотреть достаточно большое количество интервалов изменения цен. Например, для расчета однодневной волатильности желательно использовать не менее чем трехмесячную выборку однодневных изменений цен.Чтобы рассчитать максимально возможное отклонение цены от среднего ожидаемого значения с заданной вероятностью достаточно просто умножить волатильность на коэффициент, определяемый свойствами нормального распределения. Так чтобы рассчитать предельное изменение с вероятностью 95% (стандарт RiskMetrics) волатильность необходимо умножить на 1,65. Вероятности 99% (требования Базельского комитета) соответствует коэффициент 2,32. Простая волатильность также крайне просто моделировать, что позволяет легко использовать её в оценка риска, использующих метод Монте-Карло.

Недостатками такого расчёта волатильности являются: Несоответствие нормального распределения реальному распределению случайных движений цен. Реальные случайные движения цен в целом не так сильно склонны отклоняться относительно нуля, как это моделируется нормальным распределением, но совершают иногда резкие скачки (имеют т.н. "тяжелые хвосты"). Представленные нормальным распределением случайные изменения с одной стороны склонны к сравнительно большим колебаниям около нуля, но, с другой стороны не склонны к резким выбросам. Последнее наиболее неприятно, т.к. именно резкие случайные движения цен представляют наибольший интерес при оценке потерь. Расчёт характеристик волатильности по значительному историческому массиву приводит к"запаздыванию"оценки - произошедшие в течение последних дней или недель изменения волатильности не найдут в полной мере свое отражение в оценке волатильности. С другой стороны, при регулярном (например, ежедневном) расчете волатильности с одной и той же длиной выборки выход из выборки резких скачков, имевших место в прошлом, будет приводить к резкому изменению текущей волатильности. Данный подход не учитывает возможную автокорреляцию случайных изменений цен - например, в случаерезкого однодневного скачка цен в последующиедни случайные изменения цен будут также выше своей "средней нормы", что способно существенно повлиять на характер принимаемых рисков.

Скользящие средние (СС).

Скользящая средняя – это арифмическое среднее за скользящий период последовательного набора данных, взятых из временного ряда. Скользящие средние уже много лет успешно используются в качестве одного из инструментов финансового прогнозирования. Например, в техническом анализе, где они существуют под именем «стохастики», отношение между скользящими средними разной длины может быть использовано в качестве сигнала к совершению сделки. Обычно СС также используются для определения волатильности. Оценки волатильности и корреляции основываются на дневных, либо внутридневных доходностях, так как даже недельные данные могут опустить турбулентность, которая присутствует на финансовых рынках. СС доходностей, возведенная в квадрат (либо векторное произведение СС) дает оценку вариации (либо ковариации). Эти данные преобразуются в коэффициенты волатильности и корреляции по формулам, приведенным выше, либо по ним составляется ковариационная матрица для вычисления вариации портфеля ценных бумаг.