210 |
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ |
При соединении вершин ломаной надо учитывать видимость ее звеньев. Видимыми звеньями являются те, которые расположены одновременно в видимых гранях как первого, так и второго многогранника. Так, например, фронтальная проекция 62–82 звена 6–8 видима, поскольку на фронтальной проекции грань EFS пирамиды и грань AA′CC′ призмы, в пересечении которых лежит рассматриваемая сторона, видимы. Горизонтальная проекция 61–81 той же стороны невидима, так как, хотя на горизонтальной проекции грань EFS пирамиды и видима, грань AA′CC′призмы невидима.
6. РАЗВЕРТКИ МНОГОГРАННИКОВ
Развертка многогранника – это плоская фигура, составленная из его граней и совмещенная с одной плоскостью.
Различают три способа построения такой развертки:
1)способ нормального сечения;
2)способ раскатки;
3)способ треугольников (триангуляции).
Первые два применяют для построения развертки призматических поверхностей, третий – для пирамидальных. Рассмотрим каждый из этих способов.
6.1. СПОСОБ НОРМАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
Пусть надо построить развертку наклонной трехгранной призмы, у которой боковые ребра имеют фронтальное расположение (рис. 13).
Если бы ребра имели произвольное положение относительно плоскостей проекций, то нужно было бы преобразовать чертеж так, чтобы в новом положении они стали линиями уровня.
При построении развертки выполним следующие действия:
1)пересечем данную призму плоскостью α, перпендикулярной боковым ребрам;
2)построим проекции фигуры сечения (в нашем случае треугольника
PQR);
3)определим натуральные величины сторон треугольника PQR;
4)проведем отрезок прямой P–P, равный периметру треугольника PQR (этот отрезок можно считать «разверткой» нормального сечения призмы);
5)в точках P, Q, R, P по направлениям, перпендикулярным отрезку PP, по обе стороны от него откладываем отрезки боковых ребер, беря их прямо с
фронтальной проекции (PE = P2E2, PA = P2A2, …);
Г л а в а 9. Многогранные поверхности и многогранники. Систематизация поверхностей |
211 |
Рис. 13
6) концы отложенных отрезков ребер соединяем прямыми, как показано на чертеже.
Полученная фигура является разверткой боковых граней призмы. Остается построить в натуральную величину основания призмы, пристыковывая их к полученной развертке, например, по ребрам EF и АВ.
Покажем частный случай: построение развертки прямой призмы, пересеченной плоскостью общего положения (рис. 14).
Рис. 14
212 |
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ |
Развертка этой призмы – прямоугольник, одна сторона которой равна высоте призмы, а другая – периметру основания. На каждом ребре развернутой призмы отмечаем точки 1–2–3 фигуры сечения, измеряя соответствующие отрезки ребер призмы или проводя линии связи, как это показано на рис. 14. Таким образом, отрезки на ребрах призмы равны соответствующим отрезкам на
развертке: B–2 = B2–22; C–3 = C2–32. По натуральным величинам сторон фигуры сечения призмы строим на развертке ее натуральную величину.
6.2.СПОСОБ РАСКАТКИ
Втом случае, когда основание призмы на одной проекции изображается в натуральную величину, ее развертку можно построить способом раскатки, более удобным, чем способ нормального сечения. Покажем способ раскатки на примере наклонной призмы (рис. 15).
Рис. 15
Из точек A2, B2 и C2 восставляем перпендикуляры к направлению боковых ребер призмы. Измеряя отрезки A1B1, B1C1 и C1A1, делаем засечки на этих пер-
Г л а в а 9. Многогранные поверхности и многогранники. Систематизация поверхностей |
213 |
пендикулярах в точках В, С и А. Достраиваем каждую грань призмы до полного параллелограмма. Из точек 12, 22 и 32 фигуры сечения (секущая плоскость не показана) проводим перпендикуляры до пересечения с соответствующими ребрами призмы на развертке. По натуральным величинам сторон фигуры сечения призмы строим на развертке ее натуральную величину.
6.3. СПОСОБ ТРЕУГОЛЬНИКОВ (ТРИАНГУЛЯЦИИ)
Построим развертку боковой поверхности пирамиды SABC (рис. 16). Развертка боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников – граней пирамиды.
Для построения развертки пирамиды необходимо определить натуральную величину всех ее ребер. В нашем случае ребра основания пирамиды проеци-
руются на П1 в натуральную величину.
Рис. 16
Натуральную величину боковых ребер определим способом плоскопараллельного перемещения, для чего горизонтальные проекции ребер S1B1, S1C1 и
S1A1 расположим в удобном месте чертежа вдоль одной линии, параллельной оси x. Развертку пирамиды строим так: изобразим в натуральную величину одну грань и пристыкуем к ней через смежные ребра все другие грани. Точки 1, 2, 3 фигуры сечения призмы (секущая плоскость не показана) переместим на натуральные величины ребер, а затем отметим их на развертке.
Натуральную величину фигуры сечения определим аналогично показанному в предыдущих примерах.