ГЛАВА 13

ПЛОСКОСТЬ, КАСАТЕЛЬНАЯ К ПОВЕРХНОСТИ. РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Плоскость, касательная к поверхности ≈ Основные понятия ≈ Построение касательной плоскости ≈ Развертки поверхностей ≈ Порядок построения разверток в общем случае ≈ Основные свойства развертывающихся поверхностей ≈ Примеры развертывания кривых поверхностей ≈ Развертки неразвертывающихся поверхностей

Знать методы построения касательных плоскостей, нормалей, разверток необходимо при решении инженерных задач с поверхностями. Это – задачи, связанные с расчетом оболочек на прочность, изготовлением технических поверхностей посредством обработки на металлорежущих станках или листового материала свертыванием или штамповкой. Решение таких задач требует совместного рассмотрения вопросов начертательной и дифференциальной геометрий поверхностей. Здесь мы коснемся только некоторых положений этой темы, в основном понятийного характера.

1. ПЛОСКОСТЬ, КАСАТЕЛЬНАЯ К ПОВЕРХНОСТИ

1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Пусть дана произвольная точка М поверхности Ф (рис. 1). Прямая s, проведенная через эту точку, пересекает поверхность в точке М′. На поверхности через точки М и М′ проведем плавную кривую q1. Будем приближать точку М′ к точке М по кривой q1, что вызовет вращение прямой s вокруг неподвижной точки М.

Прямая, пересекающая поверхность в двух точках и занявшая при своем движении предельное положение, когда обе точки совпали, представляет собой КАСАТЕЛЬНУЮ к поверхности.

290	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Рис. 1

Через точку поверхности проходит бесчисленное множество кривых qi, каждая из которых имеет в точке свою касательную. По определению любая из этих прямых является касательной к поверхности. На рис. 1 показана вторая касательная t2, проведенная к другой кривой q2.

Из дифференциальной геометрии известно, что множество касательных ti, проведенных к поверхности Ф в некоторой ее точке М, принадлежит плоскости, если точка М является регулярной (обыкновенной) точкой поверхности (точка поверхности, в которой может быть, и притом только одна, касательная плоскость, называется обыкновенной точкой). Если точка М будет особой точкой поверхности, то множество касательных образует поверхность конуса с вершиной в этой точке. Касательной плоскостью к поверхности в ее регулярной точке называют плоскость, содержащую множество касательных, проведенных ко всевозможным кривым поверхности, проходящим через эту точку.

Касательная плоскость Σ к поверхности Ф в точке М (рис. 1) однозначно определяется двумя касательными t1 и t2, проведенными к двум кривым поверхности, проходящим через эту точку.

Для проведения нормали к поверхности в некоторой ее точке надо использовать условие перпендикулярности прямой к плоскости, касательной к поверхности в этой точке. Очевидно, что в особой точке поверхности положение нормали неопределенно, так как в ней неопределенно положение касательных прямых в этой точке. Таким образом, касательные плоскости можно построить не во всякой точке поверхности. В обыкновенных (регулярных) точках имеется или может быть построена только одна определенная касательная плос-

Г л а в а 13. Плоскость, касательная к поверхности. Развертки поверхностей

291

кость. В особых же точках касательная плоскость или не определена или же существует, не будучи единственной.

Примерами особой точки могут быть: а) вершина конической поверхности;

б) вершина поверхности вращения, если меридиан и ось пересекаются не под прямым углом;

в) точки на ребре возврата.

Известно, что любая плоскость пространства пересекает данную поверхность по плоской кривой, которая может быть действительной или мнимой. Касательная плоскость также пересекает поверхность по указанной выше кривой. Из дифференциальной геометрии известно, что точка касания этой кривой может быть изолированной, точкой самоприкосновения и двойной. В зависимости от этого ее называют эллиптической, параболической и гиперболической.

Эллиптическая точка – точка, в окрестности которой поверхность и касательная плоскость не содержат других действительных точек, т. е. линия пересечения имеет две мнимые ветви, проходящие через эту точку. Например, касательная плоскость Σ (рис. 2), проведенная к сфере в точке М, пересекается

с ней по кривой второго порядка, распавшейся на две мнимые ветви – прямые t1, t2.

Рис. 2

292	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

Поверхности, состоящие только из эллиптических точек, например сферу, называют выпуклыми или поверхностями ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ.

Гиперболическая точка – двойная точка линии пересечения данной поверхности и касательной плоскости: через точку касания проходит две действительные ветви кривой. Например, касательная плоскость Σ (рис. 3, а) (y = a), проведенная к однополостному гиперболоиду вращения Ф в точке М (O, а, O), пересекается с последним по кривой второго порядка, распавшейся на две действительные прямые t1, t2 – образующие разных серий, проходящие через точку касания. На рис. 3, б показано построение касательной плоскости к однополостному гиперболоиду вращения на эпюре.

а

б

Рис. 3

Поверхность, состоящую только из гиперболических точек, например однополостный гиперболоид, называют вогнутой или поверхностью отрицательной кривизны.

Г л а в а 13. Плоскость, касательная к поверхности. Развертки поверхностей

293

Если построить касательную плоскость к цилиндрической поверхности вращения, то она будет пересекать последнюю по кривой второго порядка, распавшейся на две соприкасающиеся прямые t1 и t2, т. е. можно сказать, что ветви t1 и t2 кривой совпадают. Такая точка, в данном случае расположенная на совпавших прямых t1 и t2 поверхности, является ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ. Поверхности, состоящие только из параболических точек, например коническую поверхность, называют поверхностями НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ.

Рис. 4

а

б

Рис. 5