- •1. Обработка информации и проблема интерпретации. Роль математического моделирования
- •Основные этапы математического моделирования
- •2. Основные понятия теории систем. Система и системное свойство
- •Понятия, характеризующие функционирование и развитие систем
- •Элемент
- •Подсистема
- •Структура
- •Состояние
- •Поведение
- •Модель функционирования (поведения) системы
- •3. Классификация систем
- •4. Взаимодействие системы с окружающей средой. Метаболизм
- •5. Определение понятия модели. Методы моделирования и классификация моделей
- •6. Математическая и компьютерная модель. Уровень идеализации и принцип минимальности
- •7. Цели моделирования и требования, предъявляемые к модели. Этапы компьютерного моделирования
- •8. Классификация математических и компьютерных моделей
- •Классификация км
- •9. Линейные модели и линейные системы уравнений. Проблемы вырождения и обусловленности
- •10. Интерполяция данных. Формулировка задачи интерполяции. Линейная интерполяция
- •Геометрическая интерпретация
- •11. Интерполяция полиномом и сплайны
- •Интерполяция многочленами
- •Метод решения задачи Полином Лагранжа
- •Полином Ньютона
- •Погрешность интерполирования
- •Выбор узлов интерполяции
- •12. Многомерная интерполяция данных
- •13. Идентификация моделей и задачи аппроксимации. Линейная аппроксимация и линеаризация
- •14. Нелинейная аппроксимация. Аппроксимация функцией произвольного вида. Аппроксимация полиномом
- •15. Нелинейная аппроксимация. Метод вложенных алгоритмов
- •16. Численное дифференцирование. Устойчивость и выбор шага дифференцирования
- •17. Вычисление определенных интегралов. Сравнительная характеристика методов Методы численного интегрирования
- •Интегрирование методом Монте-Карло
- •Обычный алгоритм Монте-Карло интегрирования
- •18. Метод Монте-Карло. Вычисление кратных интегралов
- •19. Моделирование стационарного состояния нелинейных систем
- •20. Моделирование динамики систем. Уравнения переходных процессов
- •Скалярное уравнение динамики системы
- •Векторное уравнение динамики системы
- •21. Моделирования динамики систем и численные методы решения задачи Коши
- •22. Жесткие системы. Неявные методы. Эквидистантный метод
- •23. Использование метода Монте-Карло при построении модели оптической пары "излучатель-приемник".
- •24. Стохастические модели. Получение случайных чисел с заданным распределением.
- •1.4. Моделирование случайных величин с заданным законом распределения
- •1. Метод нелинейного преобразования, обратного функции распределения
- •2. Метод Неймана
- •3. Метод кусочной аппроксимации
- •4. Некоторые специальные методы моделирования случайных величин
- •25. Модель источника случайных воздействий
- •26. Моделирование процессов кристаллизации. Расчет плоского кластера
- •27. Моделирование инерционных систем
- •28. Распределенные системы. Модель зонной печи
Геометрическая интерпретация
Геометрически это означает замену графика функции f прямой, проходящей через точки (x0,f(x0)) и (x1,f(x1)).
График: пример линейной интерполяции
Уравнение такой прямой имеет вид:
отсюда для
Это и есть формула линейной интерполяции, при этом
где R1(x) — погрешность формулы:
Справедлива оценка
11. Интерполяция полиномом и сплайны
Интерполяция полиномом
+)матрица сист всегда невырождена (определ <>0); гладкость ф-ции
-) неустойчивость метода
Метод Лагранжа +) позволяет не решать с-му у-ний; -)неустойчивость
Сплайны +) нет проблемы неустойчивости (осцеляции отсутствуют, т.к. маленький порядок); функция гладкая; не нужно больших массивов; -) немного больше вычислений
На практике вместо глобальной интерполяции чаще используют кусочно-полиномиальную интерполяцию: исходный отрезок разбивается на части и на каждом отрезке малой длины исходная функция заменяется многочленом невысокой степени. Система MatLab предоставляет возможность аппроксимации двумя важными классами функций: кусочно-линейной (или сплайнами первой степени) и сплайнами более высоких степеней.
Пусть - разбиение отрезка [a,b]. , - заданные значения. Функцию назовем полиномиальным сплайном степени дефекта с узлами , если
на ;
.
Узлы называют узлами сплайна, -я производная разрывна.
Таким образом, сплайн можно представить в виде функции:
Где каждая функция является полиномом порядка m.
Линейная сплайн интерполяция
Сплайном первой степени называется :непрерывная на отрезке [a,b], линейная на каждом частичном промежутке функция. Это простейшая форма сплайна и она эквивалентна линейной интерполяции. Результирующий сплайн называется также полигон. График линейного интерполяционного сплайна - это ломаная, проходящая через заданные точки.
Убедитесь самостоятельно, что сплайн является интерполяционным.
Остаточный член : .
Оценка остаточного члена зависит от дифференцируемых свойств функции .
Пусть . Обозначим - колебание функции на отрезке . Тогда .
С улучшением гладкости функции оценка погрешности ее интерполяции линейными сплайнами также улучшается. А именно, если , то , где .
Для можно получить оценку .
Дальнейшее увеличение гладкости функции не дает повышения порядка аппроксимации. Происходит насыщение алгоритма.
Сходимость. Пусть на задана последовательность сеток , , которая удовлетворяют условию при . Для строится интерполяционный сплайн . Интерполяционный процесс сходится, если при для любой функции из некоторого класса. Отсюда вытекает возможность интерполяции с наперед заданной точностью:
Преимущество по сравнению с интерполяционными многочленами: из оценки погрешности следует сходимость.
Пусть . По доказанной теореме .
По определению при , поэтому процесс интерполяции линейными сплайнами сходится на множестве непрерывных функций по произвольной последовательности сеток . Если , то . Сходимость порядка .