26. Моделирование процессов кристаллизации. Расчет плоского кластера

Пусть имеем n атомов, и пусть задана функция (r) – потенциал межатомного взаимодействия, r – расстояние между атомами. Энергия всей системы атомов будет равна:

, (1)

где - координаты i-того атома.

Будем искать расположение атомов, соответствующих минимуму полной энергии системы атомов. При этом саму энергию системы атомов не будем считать искомой величиной, тогда постоянный множитель в последнем выражении можно опустить. В итоге получаем многомерную задачу оптимизации (без ограничений) следующего вида:

(2)

Отметим, что условие суммирования ji связано с тем, что могут использоваться потенциалы, которые имеют значение  при r = 0.

При моделировании процессов кристаллизации даже для небольших кластеров размерность такой задачи очень велика: для двумерного случая она равна 2n, а для трехмерного. – 3n, где n – число атомов. Для решения задачи может быть использован метод ГГР (групповая градиентная релаксация, В. Пинчук). Рассмотрим физическую интерпретацию этого метода для рассматриваемой задачи. Парный потенциал взаимодействия между атомами (r), где r - расстояние между атомами, обуславливает силу, действующую на один атом со стороны другого:

. (3)

При это сила отталкивания, действующая на атом со стороны другого атома, считается положительной.

Обозначим через единичный вектор, лежащий в направлении вектора , т.е. в направлении вектора, соединяющего j-тый и i-тый атомы. Тогда силу, действующую на j-тый атом со стороны i-того, можно представить следующим образом:

. (4)

Сила, действующая на j-тый атом со стороны всех остальных атомов, равна:

. (5)

Длину этого вектора будем записывать как F_j .

Имеет место следующее утверждение.

Пусть некоторый атом имеет номер j и находится в точке . Если потенциал парного взаимодействия (r) есть непрерывная и достаточно гладкая функция и F_j > 0, тогда для любого >0 существует такое h,   h > 0, что следующее неравенство будет выполнено:

, (6)

где . (7)

Величину шага h можно получать, решая вспомогательную одномерную задачу минимизации для функции Ф или просто путем подбора (например, последовательно уменьшая его значение, начиная с некоторого начального значения).

Таким образом, находя каждый раз соответствующий шаг h и перемещая поочередно

атомы по правилу (7), можно найти оптиамльное их расположение, соответствующее минимуму целевой функции (1).

Рассмотрим один из вариантов построения алгоритма расчета устойчивой конфигурации атомов в соответствии с методом ГГР. В качестве потенциала парного взаимодействия атомов будем использовать потенциал Морзе:

где r₀ - равновесное расстояние, соответствующее точке минимума (r),

A,  - параметры межатомного взаимодействия.

Алгоритм.

1. Выбрать начальное расположение атомов (векторы ). Начальное значение параметра h естественно выбрать равным r₀ . Выбрать значение параметра точности .

2. Положить q = 0.

3. Выполнять для i от 1 до n :

3.1. Вычислить .

3.2. Если , тогда положить q = 1, и перейти к п. 3.1 не изменяя i,

если нет  увеличить i на 1 и перейти к п. 3.1.

4. Если q = 1, тогда перейти к п. 2.

5. Если h <  , процесс завершить, иначе положить h = h/2 и перейти к п. 2.