Классификация км

1. По области использования

Учебные Опытные Научно-технические Игровые Имитационные

2. По фактору времени

Статические Динамические

3. По отрасли занятия

Биологические Экологические Социологические др.

4. По способу представления

М атериальные Абстрактные

Информационные Мыслительные,

Вербальные

Образнознаковые Знаковые

1 Геометрические 1 Математические

2 Структурные 2 Специальные

3 Словесные 3 Алгоритмические

4 Алгоритмические

9. Линейные модели и линейные системы уравнений. Проблемы вырождения и обусловленности

Линейная зависимость одной величины от другой — это пропорциональность их приращений, т. е. зависимость вида у = ах + b, откуда получаем ∆у = а∆x (∆ — обычное обозначение приращения) ; аналогично, линейная зависимость величины от двух других — это зависимость вида z = ах + by + с, откуда ∆z = а∆x + b∆у, и т. д. Типичные линейные зависимости между физическими величинами — закон Гука (удлинение пропорционально силе растяжения), закон Ома, закон теплового расширения и т. д. В действительности все эти зависимости являются линейными лишь приближенно, но в соответствующих, обычно устанавливаемых эмпирически диапазонах изменения величин предположение о линейности выполняется с хорошей точностью и в то же время существенно упрощает исследование.

Аналогично определяется понятие линейной модели. Оно применяется для моделей объектов, рассматриваемых как преобразователи, для которых каждому входу соответствует некоторый выход. Так, если мы изучаем задачу о прогибе прямолинейного стержня под действием поперечной распределенной нагрузки, то входом можно считать ее плотность q(x), а выходом — прогиб у(х). Если изучается задача о вынужденных колебаниях осциллятора, то входом можно считать закон изменения внешней силы F(t), а выходом — закон колебаний х(t) и т. д. В математике такой преобразователь называется оператором. (Кстати, и любую функцию можно трактовать как преобразователь, у которого входом служит значение аргумента или набор значений аргументов, если их несколько, а выходом — значение функции.)

Будем считать, что начала отсчета входа и выхода выбраны так, что нулевому входу отвечает нулевой выход. Тогда модель называется линейной, если в ней выполнен принцип суперпозиции (наложения), т. е. при сложении входов складываются и выходы, а при умножении входа на любое число выход умножается на то же число. Если этот принцип не выполнен, модель называется нелинейной. Линейные модели обычно описываются линейными неоднородными уравнениями — алгебраическими, дифференциальными и т. д., в которых неоднородный член отвечает входу, а решение — выходу. Так, в первом примере предыдущего абзаца при сравнительно малых прогибах модель является линейной и, приняв для определенности, что концы х = а и х = b стержня шарнирно закреплены, получаем в качестве математической модели краевую задачу (т. е. задачу о решении дифференциального уравнения при заданных краевых условиях)

(2.8)

где Е — модуль Юнга, а I — геометрический момент инерции поперечного сечения относительно оси, проходящей через его центр масс параллельно оси z. Во втором примере, для осциллятора получаем задачу Коми (т. е. задачу с начальными условиями)

(2.9)

Линейным является решение уравнения (1.4) во всем пространстве относительно начального условия (х, у, z) и т. д.

Свойство линейности модели существенно упрощает построение и исследование решения математической задачи. Так, если модель включает обыкновенное дифференциальное уравнение, как в примерах (2.8) и (2.9), такому исследованию помогает то, что решение такого уравнения стандартным способом выражается через так называемую фундаментальную систему решений, а если коэффициенты уравнения постоянные — то и непосредственно через экспоненты.

Целый ряд методов решения дифференциальных и иных уравнений был впервые разработан и наиболее эффективно применяется для случая, когда эти уравнения линейны. Напомним, например, как применяется классический метод разделения переменных (метод Фурье) к решению уравнения теплопроводности (1.4) в ограниченной области (D) при заданном начальном условии (х, у, z) и однородных граничных условиях I, II или III рода. Вначале строится соответствующая последовательность так называемых собственных функций удовлетворяющих в (D) уравнению

(2.10)

а на границе (D) — тому же условию, что и в θ. Эти функции для наиболее простых областей (D) явно выписываются и приведены в справочниках, а в других случаях могут быть построены численно, причем основную роль играют первые из них, порой даже лишь функция , отвечающая наименьшему собственному значению . Функции образуют в (D) так называемую ортогональную полную систему, откуда следует, что допускает по ней разложение:

коэффициенты которого можно подсчитать по формулам

Так как каждой функции , взятой в качестве начальной, отвечает решение , то, в силу принципа суперпозиции, начальной функции отвечает решение

(2.14)

которое и является искомым.

Проведенное рассуждение имеет область применимости, значительно выходящую за рамки уравнения (1.4), и существенно опирается на линейность задачи уже при отделении переменной t, т. е. при переходе от уравнения (1.4) к уравнению (2.10). Аналогичным образом в случае неограниченной области (D) применяется интегральное представление решения, которое строится с помощью того или иного интегрального преобразования по пространственным переменным, чаще всего — так называемого преобразования Фурье. Широко известно также преобразование Лапласа по времени, приводящее к операционному исчислению; это исчисление также применяется почти исключительно к линейным задачам.

Напомним, что последовательность непрерывных или кусочно-непрерывных функций .... заданных на конечном интервале (а,b), образует на нем ортогональную систему, если все они ненулевые и

(2.11)

Эта система называется полной, если любую непрерывную или кусочно-непрерывную функцию ƒ(x), заданную на (а, b), можно разложить в ряд

(2.12)

Коэффициенты этого ряда легко найти с помощью свойства (2.11):

(2.13)

(докажите!). Например, хорошо известна полная ортогональная системафункций l, — на интервале (— l, l).

Для нее ряд (2.12) — это ряд Фурье.

Аналогично рассматриваются полные ортогональные системы функций нескольких аргументов.

Весьма благоприятна линейность задачи и для таких распространенных методов приближенного решения дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными) , как метод Галеркина в его различных вариантах и метод конечных элементов. Хотя в принципе эти методы применимы и к нелинейным задачам, но естественно, что системы из большого числа конечных уравнений, к которым они нриводят, гораздо легче решаются в линейном, чем в нелинейном случае. Это относится и ко многим другим приближенным методам.

Методы решения

1) Метод Гаусса (приведение к треугол форме- только использ с выбором главного элемента, иначе неустойчив, контроль матрицы на вырожденность)

LU- разложения

формулы

QR-разложения

2) метод обращенных матриц (отличается в 2,5 раза от чистого метода Гаусса <vps\math.h> gauss(A,B,x))

3) итерационные методы

4) специальные методы

Проблема вырождения. Матрица:

- вырождена

-почти вырождена[(определит <>0, но очень мал) погрешность полученного решения может быть недопустимо большой]

- плохо обусловлена

формулы

Плохо обусловленная матрица - это общее понятие, используемое при описании прямоугольной матрицы, которая не подходит для проведения какого-то вида анализа.

Это наиболее часто встречается в процедурах линейной множественной регрессии, когда матрица корреляций предикторов вырождена, т.е. нельзя вычислить обратную матрицу. В некоторых модулях (например, в Факторном анализе) при наличии этой проблемы выдается соответствующее предупреждение, а затем все корреляции искусственно уменьшаются путем прибавления малой константы к диагональным элементам матрицы и последующей стандартизацией ее. В результате этой процедуры обычно получают матрицу, для которой можно вычислить обратную.

Заметим, что во многих процедурах общих линейных моделей и обобщенных линейных моделей вырожденность матрицы не является чем-то странным (например, когда модель с избыточным числом параметров используется для выражения эффектов категориальных предикторных переменных), и в таких случаях вычисляется обобщенная обратная матрица, а не стандартная.