17. Вычисление определенных интегралов. Сравнительная характеристика методов Методы численного интегрирования

Пусть требуется вычислить определенный интеграл

Далеко не всегда задача может быть решена аналитически. В частности, численное решение требуется в том случае, когда подынтегральная функция задана таблично. Для численного интегрирования подынтегральную функцию аппроксимируют какой-либо более простой функцией, интеграл от которой может быть вычислен. Обычно в качестве аппроксимирующей функции используют интерполяционный полином. В случае полинома нулевой степени метод численного интегрирования называют методом прямоугольников, в случае полинома первой степени - методом трапеций, в случае полинома второй степени – методом Симпсона. Все эти методы являются частными случаями квадратурных формул Ньютона-Котеса.

В общем случае все эти формулы имеют вид:

(5.1)

Коэффициенты называются квадратурными коэффициентами (или весами), абсциссы - узлами квадратурной формулы. Пусть - различные точки интервала , служащие узлами интерполяции для некоторой интерполирующей функцию функции . Имеем , где - остаточный член. Предположим, что , причем, все интегралы можно вычислить точно. Тогда и получаем квадратурную формулу (5.1).

Формулы интегрирования при разбиении отрезка на n равных частей с равномерным шагом h имеют вид:

1. Метод прямоугольников

Первая из формул – левые прямоугольники, вторая – правые, третья – центральные.

Простейшая квадратурная формула получается при использовании интерполяционного многочлена нулевой степени.

Фиксируем и заменяем подинтегральную функцию интерполяционным многочленом нулевой степени , который совпадает со значением: . Тогда

(5.2)

Частные случаи:

- формула левых прямоугольников

- формула правых прямоугольников

- формула средних прямоугольников.

Оценка погрешности. Пусть существует , непрерывная на[a,b].

По формуле Тейлора:. . Интегрируя, получаем:

(5.3)

Обозначим .

Используем вариант теоремы о среднем, который имеет вид:

если непрерывна и - интегрируема, то , где .

Пусть . Имеем . (5.4)

Пусть . Имеем .

Таким образом, (5.4) - оценка погрешности формул правых и левых прямоугольников.

Оценим погрешность для формулы средних прямоугольников.

Пусть существует . По формуле Тейлора имеем:

Интегрируя, получаем

Так как , то .

. Отсюда следует оценка (5.5)

Для повышения точности квадратурных формул можно промежуток разбить точками , , на частичные промежутки, к каждому из которых применяется формула прямоугольников , , .Суммируя по k, получаем обобщенную формулу прямоугольников.

(5.6)

при - формула левых прямоугольников,

при - формула правых прямоугольников,

при - формула средних прямоугольников.

Оценка остаточного члена для обобщенной формулы получается на основе оценок (5.4) или (5.5) соответственно.

Из оценок следует, что выбирая достаточно большое число точек разбиения (т.е. делая достаточно малым ) можно получить результат с необходимой точностью.

Теоретическая оценка погрешности для центральных прямоугольников:

.

Порядок точности формулы .

Практическая оценка погрешности осуществляется при двойном просчете по правилу Рунге: .

2. Метод трапеций

Построение. Аппроксимируем подынтегральную функцию интерполяционным многочленом 1-й степени

Тогда

(5.7)

Геометрический смысл этой формулы - площадь трапеции, у которой одна из сторон это хорда, соединяющая точки графика , соответствующие и .

Оценка погрешности. Обозначим . Тогда , .

Дифференцируя по d, получаем:

, .

Теперь интегрируя, находим:

Используя теорему о среднем получаем: , где .

Еще раз интегрируя и применяя теорему о среднем, получаем

Отсюда следует оценка погрешности квадратурной формулы трапеций:

(5.8)

При разбиении отрезка на промежутков длины , получаем обобщенную формулу трапеций:

(5.9)

Из (5.8) следует оценка погрешности обобщенной формулы

(5.10)

Теоретическая оценка погрешности:

.

Порядок точности формулы .

Практическая оценка погрешности осуществляется при двойном просчете по правилу Рунге.

3. Метод Симпсона

Этот метод базируется на замене подынтегральной функции квадратичной параболой, которая строится уже не по 2, а по трем точкам на каждом участке, причем, внутренняя точка берется в середине интервала. Получается следующая расчетная формула:

А) для одного участка интегрирования:

,

где .

В) для участков интегрирования ( обязательно четное):

(5.11)

Метод Симпсона обеспечивает вычисление интеграла точно, без погрешности для полинома третьего порядка.

Построение. Аппроксимируем подынтегральную функцию интерполяционным многочленом 2-й степени, совпадающим с f(x) в точках

(5.12)

Интегрируя (5.12), получаем

Таким образом, квадратурная формула имеет вид:

(5.13)

Она называется квадратурной формулой Симпсона или формулой парабол (т. к. дуга кривой заменяется на дугу кривой второго порядка).

Оценка погрешности. Для получения выражения остаточного члена, которое позволяет установить оценку погрешности, используется тот же прием последовательного дифференцирования, а затем интегрирования, что применялся в предыдущем случае. Последовательно получаем:

,

Теперь интегрируем по h, учитывая что , и применяя каждый раз теорему о среднем:

Наконец

(5.14)

Отсюда, кстати, следует, что для многочленов до 3 - й степени включительно. Из (5.14) получаем оценку погрешности формулы Симпсона: , где

Разбивая промежуток на равных частей точками , и применяя формулу (5.13) к каждому из частичных промежутков длины , получаем обобщенную формулу Симпсона:

(5.15)

Оценка погрешности этой формулы следует из (5.14):

(5.16)

Теоретическая оценка погрешности:

.

Практическая оценка погрешности осуществляется при двойном просчете по правилу Рунге:

.

Заметим, что при увеличении узлов вдвое значения функции нужно вычислять только в новых точках – это будет новое третье слагаемое в формуле (5.15), старая сумма из третьего слагаемого просто добавляется ко второму слагаемому.

4. Методы Ньютона-Котеса

Данный метод является обобщением предыдущих, и предполагает замену подынтегральной функции параболой к-го порядка. Расчетная формула для одного участка (!) выглядит следующим образом:

где - коэффициенты Ньютона-Котеса, а - число используемых ординат на участке (начиная с 0), которые применяются для аппроксимации подынтегральной функции. Естественно, что для замены параболой третьей степени, потребуется уже 4 точки, а четвертой – пять. Коэффициенты не зависят от функции , а определены заранее. Приведем некоторые из них:

Все предыдущие формулы являются частным случаем формулы Ньютона-Котеса. В частности, при k=1 получаем метод трапеций (для одного участка), при k=2 – формулу Симпсона. Не следует брать , так как при больших значениях к алгоритм оказывается неустойчивым.

При разбиении всего интервала на участков формулу нужно применять для каждого участка, а результаты сложить.

5. Методы Чебышева и Гаусса

Все предыдущие методы имели следующую особенность: все значения х располагались равномерно, а весовые коэффициенты были разными. В методе Чебышева приняты все весовые коэффициенты одинаковыми, а - разными. Предварительно перед использованием приведенных ниже формул метода следует преобразовать переменную интегрирования, приведя ее к диапазону [-1,1] следующим образом: .

Расчетные формулы получаются для различных значений к (число ординат, использующихся при расчетах на одном участке) исходя из обеспечения возможности интегрирования без ошибки полинома как можно более высокой степени. Оказывается, можно интегрировать полином без ошибки при . Для этого уже рассчитаны необходимые параметры. Часть из них приведена ниже:

С учетом преобразования переменной формула интегрирования будет выглядеть так:

В методе Гаусса в отличие от метода Чебышева все и все весовые коэффициенты - разные. Это позволило обеспечить интегрирование без ошибки уже полинома степени , что и для любых других, не полиномиальных подынтегральных функций дает лучшие результаты. Некоторые значения параметров формулы интегрирования приведены ниже.

С учетом преобразования переменной формула интегрирования методом Гаусса будет выглядеть так:

5.2 Рекуррентные формулы численного интегрирования

Чаще всего для оценки точности вычисления интеграла используют правило Рунге. Для этого начинают обычно с некоторого достаточно большого шага (например, ), а затем последовательно уменьшают шаг вдвое пока не выполнится критерий точности. В процессе каждого уменьшения шага количество точек, в которых надо вычислять значения функции, увеличивается в два раза. Будем рассматривать алгоритмы, в которых вычисляется интеграл на мелкой сетке с использованием найденного значения его на большей предыдущей сетке, добавляя лишь значения в тех точках, которые появились в процессе дробления.

Метод Ромберга. В методе трапеций подынтегральную функцию аппроксимируют полиномом первой степени, то есть прямой линией. Это значит, что вместо площади криволинейной трапеции мы будем искать площадь прямоугольной трапеции. Приближенное значение интеграла равно

Погрешность этой формулы равна .

Обозначим , где . Смысл введенного обозначения станет ясен несколько позже.

Оценку значения интеграла можно сделать более точной, если разбить интервал на n частей и применить формулу трапеций для каждого такого интервала

.

Если разбить интервал на две части, то есть уменьшить шаг в два раза , то оценка для величины интеграла будет иметь вид

В данном случае суммирование включает только один элемент. Обратите внимание, в новую оценку вошла старая оценка. Нам потребовалось определять значение функции только в новых узлах.

Если имеется подинтервалов, то

,

Если n=0, то

Если n=1, то

Если n=2, то

Вообще, справедливо рекуррентное соотношение

(5.16)

Полученное соотношение называют рекуррентной формулой трапеций и часто применяют для вычисления определенных интегралов. Преимущество этой формулы состоит в том, что при увеличении числа подынтервалов функцию нужно вычислять только во вновь добавленных точках. К сожалению, с помощью этой формулы нельзя получить сколь угодно точное значение интеграла. Во-первых, при увеличении числа разбиений объем вычислений стремительно возрастает; во-вторых, на каждом шаге накапливается ошибка округлений. Для дальнейшего уточнения значения интеграла можно сделать следующий шаг – экстраполировать полученную последовательность значений на случай бесконечного числа точек или что то же самое, на случай нулевого шага. Такой подход называется методом Ромберга.

Метод Ромберга заключается в том, что полученные оценки значения интеграла экстраполируют на случай бесконечного числа разбиений (величины шага равной нулю) по рекуррентной формуле

(5.17)

То есть, строится следующий треугольник

R(1,1)

R(2,1) R(2,2)

R(3,1) R(3,2) R(3,3)

R(4,1) R(4,2) R(4,3) R(4,4)

R(5,1) R(5,2) R(5,3) R(5,4) R(5,5) ,

в котором первый столбец состоит из значений интеграла, полученных при последовательном удвоении числа интервалов. Второй столбец – результат уточнения значений первого столбца по рекуррентной формуле (5.17). Третий столбец – уточненные значения интеграла на основе второго столбца и т.д.

Формула (5.17) может быть получена различными способами. Можно, например, воспользоваться методом Невиля. Пусть имеется набор точек . Обозначим полином нулевой степени, проходящий через i-ю точку. Обозначим полином первой степени, проходящий через точки i и i+1. Совершенно аналогично будет означать полином n–1 степени, проходящий через все n точек. Легко убедиться, что

В нашем случае . В качестве выступают . Мы хотим получить значение интеграла в пределе , поэтому .

Рекуррентная формула Симпсона. Установим очень важную связь между формулами трапеций и Симпсона. Рассмотрим сначала приближенные значения интеграла , полученные по формуле трапеций с шагом и , а также по формуле Симпсона с шагом . Имеем

Умножив второе выражение на 4/3, и отняв от него первое, умноженное на 1/3, получим

.

Так как , то последнее выражение справедливо для всего отрезка интегрирования, то есть для формулы Симпсона справедливо такое соотношение:

.

Или в обозначениях, принятых в рекуррентных формулах