- •1. Обработка информации и проблема интерпретации. Роль математического моделирования
- •Основные этапы математического моделирования
- •2. Основные понятия теории систем. Система и системное свойство
- •Понятия, характеризующие функционирование и развитие систем
- •Элемент
- •Подсистема
- •Структура
- •Состояние
- •Поведение
- •Модель функционирования (поведения) системы
- •3. Классификация систем
- •4. Взаимодействие системы с окружающей средой. Метаболизм
- •5. Определение понятия модели. Методы моделирования и классификация моделей
- •6. Математическая и компьютерная модель. Уровень идеализации и принцип минимальности
- •7. Цели моделирования и требования, предъявляемые к модели. Этапы компьютерного моделирования
- •8. Классификация математических и компьютерных моделей
- •Классификация км
- •9. Линейные модели и линейные системы уравнений. Проблемы вырождения и обусловленности
- •10. Интерполяция данных. Формулировка задачи интерполяции. Линейная интерполяция
- •Геометрическая интерпретация
- •11. Интерполяция полиномом и сплайны
- •Интерполяция многочленами
- •Метод решения задачи Полином Лагранжа
- •Полином Ньютона
- •Погрешность интерполирования
- •Выбор узлов интерполяции
- •12. Многомерная интерполяция данных
- •13. Идентификация моделей и задачи аппроксимации. Линейная аппроксимация и линеаризация
- •14. Нелинейная аппроксимация. Аппроксимация функцией произвольного вида. Аппроксимация полиномом
- •15. Нелинейная аппроксимация. Метод вложенных алгоритмов
- •16. Численное дифференцирование. Устойчивость и выбор шага дифференцирования
- •17. Вычисление определенных интегралов. Сравнительная характеристика методов Методы численного интегрирования
- •Интегрирование методом Монте-Карло
- •Обычный алгоритм Монте-Карло интегрирования
- •18. Метод Монте-Карло. Вычисление кратных интегралов
- •19. Моделирование стационарного состояния нелинейных систем
- •20. Моделирование динамики систем. Уравнения переходных процессов
- •Скалярное уравнение динамики системы
- •Векторное уравнение динамики системы
- •21. Моделирования динамики систем и численные методы решения задачи Коши
- •22. Жесткие системы. Неявные методы. Эквидистантный метод
- •23. Использование метода Монте-Карло при построении модели оптической пары "излучатель-приемник".
- •24. Стохастические модели. Получение случайных чисел с заданным распределением.
- •1.4. Моделирование случайных величин с заданным законом распределения
- •1. Метод нелинейного преобразования, обратного функции распределения
- •2. Метод Неймана
- •3. Метод кусочной аппроксимации
- •4. Некоторые специальные методы моделирования случайных величин
- •25. Модель источника случайных воздействий
- •26. Моделирование процессов кристаллизации. Расчет плоского кластера
- •27. Моделирование инерционных систем
- •28. Распределенные системы. Модель зонной печи
1.4. Моделирование случайных величин с заданным законом распределения
Исходным материалом для формирования на ЦВМ случайных величин с различными законами распределения служат равномерно распределенные в интервале (0,1) случайные числа, которые вырабатываются на ЦВМ программным или же физическим датчиком случайных чисел.
Существуют различные приемы преобразования случайных чисел с равномерным распределением в случайные числа с заданным законом распределения [10, 23]. Так, например, в качестве нормально распределенных случайных чисел можно использовать сумму нескольких независимых случайных чисел с равномерным распределением (приближение основано на центральной предельной теореме теории вероятностей, в силу которой сумма независимых случайных величин при весьма общих условиях имеет асимптотически нормальное распределение).
Рассмотрим сначала общие приемы получения случайных чисел с заданным законом распределения из равномерно распределенных случайных чисел.
1. Метод нелинейного преобразования, обратного функции распределения
Пусть — функция плотности, – функция распределения вероятностей случайной величины , а — функция, обратная функции . Тогда случайная величина имеет заданный закон распределения , если случайная величина равномерно распределена в интервале (0,1) [10].
Например, случайную величину с релеевским законом распределения, у которой функция плотности, функция распределения, среднее значение и дисперсия имеют соответственно вид
(1.4)
где — параметр распределения, можно получить путем следующего преобразования равномерно распределенной в интервале (0,1) случайной величины :
(переход от к в последней формуле основан на том, что случайные величины и имеют здесь одинаковые законы распределения).
Аналогично случайную величину с показательным законом распределения, у которой
, (1.5)
можно сформировать путем преобразования .
Путем преобразований
(1.6)
можно сформировать случайные числа, распределенные по закону арксинуса и закону Коши соответственно:
(1.7)
Используя свойство симметрии тригонометрических функций, нетрудно убедиться, что закон распределения случайных величин , формируемых согласно алгоритмам (1.6), не изменится, если аргумент у тригонометрических функций заменить аргументом .
К сожалению, не всегда существуют элементарные преобразования для получения случайных величин с заданным законом распределения из равномерно распределенных случайных чисел. В частности, у случайных величин с нормальным распределением функция, обратная функции распределения, не выражается в замкнутом виде через элементарные функции. В этих случаях для формирования случайных величин с заданным распределением используются различные аппроксимации функции [10, 23].
2. Метод Неймана
Для моделирования случайных величин, возможные значения которых не выходят за пределы некоторого ограниченного интервала (случайные величины с усеченными законами распределения), а также случайных величин, законы распределения которых можно аппроксимировать усеченными, достаточно универсальным является метод Неймана [103], состоящий в следующем.
Рис. 1.2
Из датчика равномерно распределенных в интервале (0, 1) случайных чисел независимо выбираются пары чисел , из которых формируются преобразованные пары , , где — интервал возможных значений случайной величины с заданной функцией плотности ; — максимальное значение функции . В качестве реализации случайной величины берется число из тех пар , которых выполняется неравенство
. (1.8)
Пары, не удовлетворяющие неравенству (1.8), выбрасываются.
Нетрудно убедиться в справедливости такого метода моделирования случайных величин. Действительно, пары случайных чисел , можно рассматривать как координаты случайных точек плоскости, равномерно распределенных вдоль осей и внутри прямоугольника (рис. 1.2). Пары , , удовлетворяющие условию (1.8), — это координаты случайных точек плоскости, равномерно распределенных вдоль осей и внутри той части прямоугольника , которая расположена под кривой . Вероятность того, что случайная точка плоскости, находящаяся под кривой , окажется в элементарной полосе с основанием , очевидно, пропорциональна , а вероятность попадания точки под кривую по условию равна единице, что и требуется.