28. Распределенные системы. Модель зонной печи
Зонная печь представляет собой устройство для индукционного нагрева заготовок, ко-торые обычно имеют вытянутую форму (пруток, профиль). Нагрев осуществляется высокочастотным индуктором, зона нагрева перемещается вдоль заготовки с некоторой скоростью (см. рисунок). Для того, чтобы получить максимальный технологический эффект важно знать, каково распределение температуры вдоль заготовки и как оно меняется со временем в период проведения технологической операции.
Для построения модели можно применить два подхода: формально-математический и физический. Физический алгоритм к построению алгоритма более предпочтителен по двум причинам: он позволяет четче осмыслить создаваемый алгоритм и его промежуточные построения и, кроме того, позволяет четче (корректнее) сформулировать граничные условия.
Формально-математический подход
Исходным пунктом является уравнение теплопроводности, которое в нашем случае будет иметь вид:
, (1)
где T = T(x,t) - искомая функция распределения температуры,
c , r - удельные теплоемкость и плотность материала заготовки,
k - коэффициент теплопроводности материала,
F(x,t) - функция источника тепла.
Выполним пространственную дискретизацию задачи. Для этого интервал [0,L] разо-бъем на N подынтервалов с номерами 1..N и обозначим через Ti(t) , Fi(t) температуру и значение функции источника для i-того подынтервала. Представив вторую производную в уравнении (1) конечной разностью второго порядка, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
(2)
Здесь h = Dx = L/N - длина подынтервала.
Таким образом имеем задачу Коши для системы уравнений, описывающих температу-ру каждого из подынтервалов. Однако в системе (2) отсутствуют уравнения для перво-го и последнего подынтервалов (проблема граничных условий).
Физический подход
Построим физическую дискретную модель зонной печи (рис. 1). Представим заго-товку в виде последовательности секций толщиной h . Индуктор зонной печи представим
как источник тепла, движущийся со скоростью v вправо и создающий зону нагрева шири-ной a .
Для описания теплового состояния i-той секции используем уравнение:
, i = 1..N
, (3)
где Фi - суммарный тепловой поток, генерируемый в i-той секции,
C - теплоемкость i-той секции.
Суммарный тепловой поток i-той секции представим в виде суммы:
, (4)
где Фli - поток тепла, входящий в i-тую секцию через левую границу,
Фri - поток тепла, выходящий из i-той секции через правую границу,
Фini - поток тепла, создаваемый индуктором в i-той секции,
L
a
v
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N D
T
x
Рис. 1. К построению математической модели зонной печи
Фouti - поток тепла в окружающую среду через поверхность i-той секции.
Слагаемые общего теплового потока i-той секции будем вычислять по формулам:
.
Здесь S - сечение заготовки,
Sb - величина боковой поверхности одной секции,
Ht - коэффициент конвективного теплообмена.
В выражении для Фiin предполагается, что h < a .
Задача моделирования сводится к решению задачи Коши, представленной системой (3). Если используется простой метод Эйлера, тогда
. (5)
Здесь верхний индекс – номер шага по времени.
Отметим, что при построении модели уравнение теплопроводности (1) не используется, а проблема граничных условий решается естественно и просто.
Общая схема алгоритма решения задачи выглядит следующим образом.
1. В соответствии с начальным распределением температуры в заготовке присвоить сответствующие значения элементам массива T[N].
2. Выполнить t = 0 , x = 0 .
3. Для каждой секции вычислить величину общего теплового потока Фi .
4. Для каждой секции найти новую температуру Ti .
5. Выполнить t = t + Dt . Если t > tmax , вычисления завершить.
6. Найти новое значение x по правилу: x = x + v×t .
7. Перейти к п. 3.