- •От автора
- •1.2. Понятие. Содержание и объем понятия. Зависимость между объемами понятий
- •1.3. Определение понятия
- •1.4. Методика введения определений понятий
- •1.5. Пропедевтика понятий
- •1.6. Применение понятий и их определений
- •Лекция 2 методика обучения учащихся решению математических задач
- •2.1. Задачи. Роль задач в обучении
- •2.2. Эвристические методы решения задач
- •2.3. Типовые задачи и методы их решения
- •2.4. Алгоритмические методы решения задач
- •2.5. Этапы решения задачи
- •2.6. Общие умения по решению задач
- •2.7. О самоконтроле при решении математических задач и о возможностях его формирования
- •2.8. Методика обучения учащихся решению задач в теме «Признаки равенства треугольников»
- •Теоремы. Методика обучения теоремам и их доказательствам
- •3.3. Приемы, способствующие формированию у учащихся потребности в доказательствах
- •4.1. Различные точки зрения на упражнения. Актуальность знания требований к системе упражнений
- •4.2. Принципы отбора и составления систем упражнений
- •5.1. Программа по математике
- •5.2. Тематическое планирование
- •5.3. Подготовка учителя к уроку
- •6.1. Мышление как процесс разрешения проблемных ситуаций
- •6.2. Сущность проблемного подхода в обучении
- •6.4. Уровни проблемного подхода в обучении
- •6.5. Исследовательский метод в обучении математике
- •7.1. Из истории теории деятельности
- •7.2. Компоненты структуры деятельности
- •7.3. Основные положения теории деятельности
- •7.4. Ориентировочная деятельность. Ориентировочная часть действия
- •7.5. Характеристики действия
- •7.6. Деятельность и личность
- •8.1. О целях развития мышления при обучении математике в школе
- •8.2. Основные принципы построения теорий развивающего обучения
- •8.3. Средства и условия развития мышления
- •9.1. Актуальность проблемы развития логического мышления учащихся
- •9.2. История проблемы развития логического мышления учащихся
- •9.3. Содержание проблемы развития логического мышления при обучении математике в школе*
- •9.4. Пути решения проблемы развития логического мышления учащихся
- •10.1. Актуальность проблемы развития познавательного интереса
- •10.2. Понятие о познавательном интересе
- •10.3. Пути формирования познавательного интереса
- •10.4. Взаимосвязь проблем воспитания познавательного интереса и развития мышления в процессе обучения математике
2.8. Методика обучения учащихся решению задач в теме «Признаки равенства треугольников»
В заключение главы рассмотрим в качестве примера, как в конкретной теме, на одних и тех же задачах может осуществляться обучение учащихся решению и типовых задач, и общим умениям по решению задач.
Признаки равенства треугольников мощный аппарат для решения задач. Поэтому проблема овладения учащимися умениями по решению задач этого вида стоит очень остро. «Признаки равенства треугольников» - тема начала систематического курса геометрии, и поэтому многие трудности курса, такие как отсутствие умений по решению геометрических задач, по решению задач вообще, проявляют себя в полной мере в этой теме. Решение задач с помощью признаков равенства треугольников требует от учащихся также определенных частных умений, относящихся только к этой теме.
Тема «Признаки равенства треугольников» неизменно приковывает внимание учителей и методистов, пытающихся снять трудности темы с помощью расширяющегося методического аппарата.
Анализ решения задач по теме позволяет классифицировать их по уровню сложности следующим образом:
1. Задачи, в которых необходимо доказать равенство некоторых двух треугольников.
2. Задачи, в которых необходимо установить равенство двух отрезков или двух углов, опираясь на доказательство равенства двух треугольников. К задачам этого уровня сложности относятся также такие, в которых требуется найти численное значение длины отрезка или меры угла, опираясь на доказанное равенство отрезков и углов, а также установить факт, сводимый к равенству отрезков или углов (наличие биссектрисы, середины отрезка, равнобедренного треугольника и т. д.).
3. Задачи, в которых приходится осуществлять переход от одной пары равных треугольников к другой.
Приведенная классификация задач по уровню сложности определяет последовательность в подборе системы задач на признаки равенства треугольников. Однако она лишь в очень ограниченной мере вскрывает операционный состав действия решения таких задач - соответствующего частного умения.
Чтобы помочь учащимся овладеть сложным умением решать задачи с помощью признаков равенства треугольников, необходимо проанализировать, из каких операций состоит это умение. Оно складывается как из операций общего плана, имеющих место при решении задач в различных темах, так и из специфических, имеющих место при решении задач только в данной теме.
Согласно теории деятельности, каждая операция, которая присутствует в действии, предварительно сама должна быть развернутым действием с наличием соответствующей цели. Это действие необходимо специально формировать. Поэтому далее, одновременно с выделением операций, из которых состоит действие решения задач с помощью равенства треугольников, предлагаются примеры заданий по формированию этих операций, а учитель сможет найти им место в процессе обучения, а также при необходимости составить подобные. Часть заданий может быть выполнена заблаговременно, до изучения признаков, а часть - войдет в систему задач, решаемых в теме. Такими операциями являются следующие.
1. Выделение в задаче условия и заключения. Подсчет количества данных и требований. Последняя рекомендация особенно эффективна в начале процесса обучения решению задач. Если в курсе арифметики такая работа не проводилась, то в начале курса геометрии она необходима для самоконтроля, для выполнения последующей операции - получения следствий. При этом следует делать упор не на числовых данных задачи, а на величинах, входящих в текст задачи и на соотношениях между ними, на количестве рассматриваемых в задаче ситуаций. Тем самым организуется проникновение в структуру задачи и удерживается в памяти условие задачи, без чего невозможна дальнейшая актуализация знаний.
ПРИМЕР. Доказать, что в равных треугольниках медианы, проведенные из соответствующих вершин, равны. Перечислите все данные задачи и сделайте чертеж (рис. 19).
А
А1
Рис. 19
В результате анализа условия задачи получается запись:
Дано: 1)⊿ВС=⊿А1В1С1; 2) ЛМ-медиана; 3)А1М1 -медиана.
Доказать: АМ=А1М[.
Такой работе над условием задачи, к сожалению, специального внимания не уделяется. Предполагается, что ученик овладевает ею в процессе выполнения более сложной деятельности решения задач. А это действие требует специальной отработки, корректировки и оценивания.
2. Перевод в тексте задачи обычной речи на математический язык геометрической модели (чертежа), на язык понятий и отношений. Перевод может иметь место как в данных, так и в требовании задачи.
При этом следует иметь в виду, что различные обороты речк, имеющие одну и ту же математическую суть, поначалу воспринимаются учащимися как имеющие разный смысл.
С учащимися необходимо разобрать ситуации типа: точка О делит отрезок АВ пополам, точка О - середина отрезка, АО -половина АВ, АВ больше OB (OA) в 2 раза и выяснить, что смысл их - один. Необходимо также разобрать ситуацию: два отрезка в точке пересечения делятся пополам, точка одинаково удалена от концов отрезка, прямая проходит через середину отрезка и т. д. При этом задания могут быть взаимно-обратного характера: изобразить ситуацию на чертеже или словами (в различной форме) описать ситуацию, изображенную на чертеже.
3. Замена математических понятий отношениями, содержащимися в определении понятия.
Задание для учащихся: объясните, что означает тот факт, что AD - медиана ⊿АВС, ВК - биссектриса ⊿АВС, что ⊿АВС = = ⊿А1В1 С,. Операция замены понятий отношениями, свойствами, содержащимися в определении, имеет место на стыке двух этапов процесса решения задачи: это еще анализ условия и уже поиск решения.
4. Получение ближайших следствий из условия задачи. Такими следствиями могут быть предыдущая операция - замена терминов отношениями; приведение свойств понятий, содержащихся и не содержащихся в определении, а также получение следствий сразу из нескольких составных частей условия. Операция получения следствий может быть представлена различными граф-схемами (см. рис. 20):
Точки нижнего ряда изображают отдельные составляющие условия, а точки верхнего ряда - полученные из них следствия. Тогда первая схема моделирует наличие одного вывода из одного условия (AD - биссектриса угла; следовательно, ∠BAD = ∠CAD), вторая и третья схемы - получение нескольких выводов из одного условия (⊿ЛБС - равнобедренный, следрвательно, АВ = АС, ∠B=∠C). На четвертой и пятой схемах представлены сопоставление данных и получение вывода из них (∠1= ∠A,∠3 = ∠A1,
∠A -∠A1 следовательно, ∠1 =∠3).
Упражнения на получение граф-схем - материализованной формы операции получения следствий полезно выполнять каждому учащемуся.
Полезно на граф-схемах показать и полное решение задачи, что позволит учащимся проникнуть в процесс решения задачи и выйти из тупика. На уроке для построения граф-схем возможно привлечение магнитной доски и специально заготовленных листочков с записями различных отношений. Например, учитель прикрепляет к магнитной доске маленький плакатик: ⊿АВС- равнобедренный и просит среди имеющихся плакатиков выбрать те, которые являются следствиями имеющегося факта. Получается граф-схема:
ПРИМЕРЫ. Получите различные следствия из следующих условий:
1. В равнобедренном треугольнике с основанием АС боковая сторона АВ равна 2 см.
2. ААВС- равнобедренный с основанием^С, AD =ЕС (см. рис. 21):
Рис. 22
4. В равнобедренном треугольнике отмечены середины всех сторон.
Как можно видеть, задания на получение следствий нацеливают учащихся на самостоятельное составление задач. Задания могут иметь разное продолжение. Они обучают целегюлаганию -действию, без которого трудно обойтись при решении сложных практических задач.
Все рассмотренные выше операции действия решения задач с помощью признаков равенства треугольников специфическими для этого вида задач не являются. Они имеют место при решении содержащимися в определении, имеет место на стыке двух этапов процесса решения задачи: это еще анализ условия и уже поиск решения.
4. Получение ближайших следствий из условия задачи. Такими следствиями могут быть предыдущая операция - замена терминов отношениями; приведение свойств понятий, содержащихся и не содержащихся в определении, а также получение следствий сразу из нескольких составных частей условия. Операция получения следствий может быть представлена различными граф-схемами (см. рис. 20):
Методика преподавания математики в средней школе I
любой математической задачи. Остальные операции - специфические, они имеют место только в данной теме.
5. Поиск равных элементов в треугольниках, если существует взаимопроникновение элементов. Эта операция требует рассмотрения одного и того же элемента - стороны, угла - под разными углами зрения, как принадлежащих разным треугольникам. Это самый сложный вид сравнения - сравнение с самим собой. Приведем примеры соответствующих упражнений: 1. Найдите равные элементы в треугольниках, представленных
на рис. 23.
2. Укажите, стороной каких треугольников является отрезок ОВ; углом каких треугольников является ZA (рис. 24).
B
Рис. 24
6
K
[Лекция 2. Методика обучения учащихся решению...
2. Укажите соответственно равные элементы равных треугольников (рис. 26). Объясните ответ. С
3
C
7. Выбор признака, выделение трех пар соответственно равных элементов, установление равенства треугольников подведением под выбранный признак.
Может показаться, что поскольку указанная операция имеет место при решении любой задачи, то специальных упражнений на нее не требуется. Однако смысл прелагаемых заданий состоит в том, что ученику сразу предлагается несколько ситуаций, упрощенных наличием готовых чертежей, которые необходимо сравнить между собой, осуществить выбор признака, каждый раз найдя три пары соответственно равных элементов.
ПРИМЕР. Укажите, каким признаком вы будете пользоваться для доказательства равенства каждой пары треугольников (рис. 28, а-r) и почему.
Методика преподавания математики в средней школе |
8. Поиск, выделение пары равных треугольников, которым принадлежат элементы, равенство которых требуется доказать.
ПРИМЕРЫ. Укажите, равенство каких треугольников надо доказать для решения задач:
1. Доказать равенство двух биссектрис равнобедренного треугольника, проведенных из вершин основания.
2. Доказать, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами равнобедренного треугольника.
3. Треугольник ABC- равнобедренный, BD-BE, доказать равенство углов САЕ и DC А (рис. 29).
9. В теме «Признаки равенства треугольников» может быть положено начало выделению «зон поиска» различных ситуаций, а именно равенства отрезков и углов. «Зона поиска» - это набор достаточных условий для существования объекта, отношения. Акцентирование внимания на этих зонах помогает в преобразованиях требования задачи, в продвижении решения задачи с конца. Требование, цель, преобразуются так, чтобы более соответствовать данным задачи. Например, «зоной поиска» равных отрезков могут быть условия: быть соответственными сторонами в равных треугольниках, быть боковыми сторонами равнобедренного треугольника, иметь равную длину, совпадать при наложении и многое другое.
' Отдельные методисты советуют вести учет «зон поиска» равных отрезков и углов на протяжении первых двух лет обучения геометрии для осуществления систематизации изучаемого геометрического материала по определенной линии.
Выделение перечисленных операций способствует осознанию учителем тех трудностей, которые испытывают учащиеся при решении задач на признаки равенства треугольников, помогает более тщательно отрабатывать методику обучения учащихся решению задач в теме, управлять мыслительной деятельностью учащихся.
Перечисленные операции представляют собой отдельные шаги сложного действия по решению задач с помощью признаков равенства треугольников. Эти шаги могут быть объединены в предписание и предъявлены учащимся в явном виде. Тогда предписание может выглядеть следующим образом:
1. Выдели в задаче данные и требование.
2. Замени понятия их определениями. При необходимости переведи фразы с обычного языка на математический.
3. Если требуется доказать равенство треугольников, то:
а) укажи, равенство каких элементов этих треугольников известно из условия;
б) найди, какого условия не хватает, чтобы воспользоваться тем или иным признаком;
в) посмотри, нельзя ли получить недостающее равенство как следствие какого-либо условия;
г) если попытка использования выбранного признака не удалась, повтори шаги (б-г), используя другой признак;
д) перечисли три пары соответственно равных элементов двух выбранных треугольников для получения вывода о равенстве треугольников.
4. Если требуется доказать равенство двух отрезков или двух углов, то попытайся выделить треугольники, равенство которых можно доказать и которым принадлежат упомянутые элементы, для чего проведи операцию (3). Сделай соответствующие выводы.
5. Если задачу решить не удалось, возвращайся к началу предписания.
Приведенное предписание является предписанием полуалгоритмического типа, т. к. порядок выполнения операций при решении конкретной задачи может быть изменен, отдельные операции могут отсутствовать и вообще предписание может не привести к получению желаемого результата.
Полученное предписание является итогом большой предварительной работы с учащимися, в которой отрабатываются по отдельности шаги этого предписания.
Приведенное предписание имеет сравнительно сложную структуру. Работа по его использованию при решении задачи может быть упрощена, если отдельные операции предписания предъявить не как цельный алгоритм, а как некоторый набор отдельных рекомендаций, правил, которых целесообразно придерживаться при решении задач на признаки равенства треугольников. Эти рекомендации могут быть выделены учащимися с помощью учителя на этапе исследования полученного решения в отдельных задачах.
Отметим также, что каждый признак равенства треугольников должен быть вначале закреплен сам по себе и лишь потом встроен в систему признаков с помощью специальных систем упражнений. Если сравнить системы упражнений по алгебре и по геометрии, то можно увидеть, что в курсе алгебры каждое правило закрепляется большим количеством однотипных примеров (от 20 до 100), в курсе геометрии на закрепление первого признака равенства треугольников в учебных пособиях приводится 4—5 задач. А отдельные составляющие умения по решениюзадач с помощью признаков равенства треугольников вообще никак не отрабатываются.
Приведем систему задач на закрепление первого признака равенства треугольников. Эта система отличается от имеющихся в учебных пособиях не только количеством и порядком, но и наличием простейших задач, необходимых для обучения учащихся в начале систематического курса геометрии. Вышеприведенные упражнения также должны занять свое место в предлагаемой системе. Часть приведенных задач может быть решена на этапе первичного закрепления, а часть - при совместном решении задач на различные признаки, где имеет место выбор признака. При необходимости можно легко составить аналогичные системы задач по остальным признакам.
1. Доказать равенство треугольников (рис. 30).
Рис. 39
11. В равных треугольниках ABC и AlBlCl проведены медианы AD и А1D1 из соответствующих вершин. Доказать равенство треугольников ADC и A lD1 С1.
12. Треугольник ABC- равнобедренный. Доказать, что биссектриса угла при вершине является его медианой и высотой.
13. Доказать, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
14. Доказать, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами равнобедренного треугольника.
15. Медианы, биссектрисы, высоты, проведенные из вершин основания равнобедренного треугольника, равны между собой.
16. Доказать: АВ -ВС (см. рис. 40).
В завершении раздела рассмотрим в качестве примера решение задачи с помощью предписания и с использованием граф-схемы, что позволяет продемонстрировать учащимся в материализованной форме процесс поиска решения конкретной задачи.
ЗАДАЧА. Доказать, что в равных треугольниках биссектрисы соответствующих углов равны (рис. 42).
Методика преподавания математики в средней школе I
1. Выделим условие и заключение в виде основания и вершины граф-схемы:
3. Выделим треугольники, сторонами которых являются отрезки АК и DM, равенство которых требуется доказать. Возможны два варианта. Сделаем попытку доказать равенство треугольников АКС и DMT.
4. Выполним третий шаг предписания, докажем равенство выделенных треугольников. На граф-схеме этот шаг изобразится следующим образом:
I Лекция 2. Методика обучения учащихся решению...
5. Сделаем выводы относительно равенства соответствующих сторон AK и DM в равных треугольниках:
Нет необходимости решать большое количество задач с помощью граф-схем. Но решением в таком виде ряда задач полезно продемонстрировать учащимся в материализованной форме выполнение как отдельных операций: выделение условия и заключения, замену терминов определением, получение следствий и т. д., так и в целом решение от условия к заключению и от заключения к условию. Применение граф-схем при решении геометрических задач эффективно в том случае, если учащиеся уже встречались с граф-схемами при решении арифметических задач.
Вопросы и задания
1. Приведите определения понятия задача.
2. Укажите функции задач в обучении.
3. Приведите примеры математических задач, несущих в себе информацию из различных отраслей знаний.
4. Приведите примеры задач, выполняющих различные дидактические функции на уроке.
5. Укажите, какие недостатки имеют место при обучении учащихся решать задачи.
6. Сформулируйте определение приема решения задачи, укажите возможности классификации приемов решения задач.
7. Приведите примеры задач, в основе поиска идеи решения которых используются эвристики: а) восходящий анализ; б) переформатирование; в) аналогия; г) суперпозиция; д) выделение подзадач внутри одной задачи; е) рассмотрение частных случаев; ж) обобщение.
8. Продумайте организацию деятельности учащихся на уроке по поиску идеи решения задачи с помощью различных эвристик.
9. Продумайте этапы обучения учащихся различным эвристикам.
10. Разработайте методику обучения учащихся: а) восходящему анализу; б) переформулированию; в) выделению подзадач на различных этапах обучения.
11. Выделите типы арифметических, алгебраических, планиметрических, стереометрических, тригонометрических задач.
12. Разработайте прием обучения учащихся решению задач на дробь от числа, числа по дроби и отношение двух чисел.
13. Разработайте прием решения задач на пропорциональные зависимости.
14. Разработайте методику формирования приема решения алгебраических задач с помощью составления уравнений.
15. Разработайте методику формирования приема решения задач на различные признаки равенства треугольников.
16. Приведите примеры алгоритмов, содержащихся в определениях, формулировках теорем, правилах.
17. Разработайте алгоритм записи обыкновенной дроби, знаменатель которой равен единице с нулями, в виде десятичной и обратно.
18. Разработайте алгоритм вычитания смешанных чисел, организуйте его закрепление.
19. Представьте правило нахождения степени произведения в алгоритмической форме.
20. Опишите, в чем заключается компактный метод Я. И. Груде-нова при работе над применением определений, правил, формулировок теорем. Приведите примеры,
21. Разработайте фрагмент урока по проведению анализа условия арифметической, алгебраической, планиметрической, стереометрической задачи.
22. Разработайте план обучения учащихся умению анализировать условие задачи при решении арифметических, алгебраических, геометрических задач.
23. Продумайте организацию деятельности учащихся на всех этапах решения выбранной задачи.
24. Продумайте возможности обучения приему получения следствий при решении арифметических, алгебраических, геометрических задач.
25. Укажите формы проверки идеи решения задачи.
26. Укажите формы проверки исполнительной части действия при решении задачи.
27. Разработайте образцы записи решения арифметической, алгебраической, планиметрической и стереометрической задачи.
28. Выполните поиск решения арифметической и планиметрической задачи в виде граф-схем.
29. В приеме решения задач с помощью составления уравнений выделите операции, которые необходимо формировать специально и разработайте систему заданий для их формирования.
Литература
1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М.: Советское радио, 1970.
2. Алътшуллер ГС. Основы изобретательства. М., 1964.
3. Байдак А.В., Ефимов В. И., Лапчик МП. Формирование алгоритмической культуры у учащихся // Повышение эффективности обучения математике в школе. М.: Просвещение, 1989.
4. Валиев С. Индивидуальные задания по устранению ошибок / / Математика в школе. 1989. № 5.
5. Виноградова Л.В. Развитие мышления учащихся при обучении математике. Петрозаводск, 1989.
6. Виноградова Л. В. Об использовании предписания при решении задач на составление уравнений // Математика в школе. 1994. №4.
7. Виноградова Л.В., Домашенко М.М. Как подготовить и провести проблемную беседу // «Математика». 1994. № 24.
8. Григорьева Т.П., Иванова Т. А., Кузнецова Л.И., Перевощи-кова Е. И. Основы технологии развивающего обучения математике. Н. Новгород, 1997.
9. Груденов Я.И. Психолого-педагогические основы обучения математике. М.: Педагогика, 1987.
10. Заикин М.И., Колосова В.А. Провоцирующие задачи // Математика в школе. 1997. № 6.
11. Кабапова-Меллер Е.Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. М.: Просвещение, 1968.
12. Колягин Ю.М., Оганесян В.А. Учись решать задачу. М.: Просвещение, 1980.
13. Кулюткин Ю. Н. Эвристические методы в структуре решения. М.: Просвещение, 1970.
14. ЛандаЛ.Н. Алгоритмизация в обучении. М.: Просвещение, 1966.
15. Манвелов С.Г. Задачи по математике на развитие самоконтроля учащихся. М.: Просвещение, 1997.
16. Монахов В.М., Лапчик М.Н. Формирование алгоритмической культуры школьника при обучении математике: Пособие для учителя. М.: Просвещение, 1978.
17. Методика преподавания в средней школе: Общая методика / Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. М.: Просвещение, 1985.
18. Нешков К.И., Семушин А.Д. Функции задач в обучении // Математика в школе. 1971. № 3.
19. Оганесян В. А., Колягин Ю.М. и др. Методика преподавания математики в средней школе. М.: Просвещение, 1980.
20. ПойаД. Как решать задачу. М.: Учпедгиз, 1961.
21. ПойаД. Математическое открытие. М.: Наука, 1970.
22. Рогановский ЕВ. Решение текстовых задач в IV-V классах // Математика в школе. 1987. № 4.
23. Рогановский Е. В. Методика преподавания математики в средней школе. Минск: Вышейшая школа, 1980.
24. Рыжик В. И. Формирование потребности в самоконтроле при обучении математике // Математика в школе. 1980. № 3.
25. Саранцев Г. И. Упражнения в обучении математике. М.: Просвещение, 1995.
26. Тихомиров O.K. Психология мышления^ М.: Изд-во МГУ, 1984.
27. Фридман Л. М. Учитесь учиться математике. М.: Просвещение, 1986.
28. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н., Стеценко В.Я. Как научиться решать задачи. М.: Просвещение, 1989.
29. ЦикарьА.Я. Схематизация и моделирование при решении задач // Математика в школе. 1998. № 3.
30. Эсаулов А.Ф. Активизация учебно-познавательной деятельности студентов. М.: Высшая школа, 1982.
31. Тарасенкова НА. Найдите ошибку // Математика в школе. 1997. №2.