Лекция 2 методика обучения учащихся решению математических задач

2.1. Задачи. Роль задач в обучении

Задачи в обучении математике занимают важное место: это и цель, и средство обучения. Умение решать задачи - показатель обученности и развития учащихся. Научиться решать математи­ческие задачи очень важно, т. к., зная подходы к решению мате­матических задач, учащиеся тем самым обучаются взаимодей­ствию с любой задачей, которых достаточно много в других школьных предметах и в жизни вообще. Тем самым формируется жизненная позиция ученика как активной, самостоятельной лич­ности.

Что такое задача? Сравним различные определения этого по­нятия:

1. Цель, заданная при определенных условиях (А.Н. Леонтьев).

2. Задача характеризуется наличием цели, стремлением полу­чить ответ, учетом имеющихся условий и требований (Педагоги­ческая энциклопедия).

3. Задача - всякая знаковая модель проблемной ситуации

(Л.М.Фридман).

В трех различных определениях понятие рассматривается под различными углами зрения и соответственно наполняется различ­ным содержанием.

В первом определении, принятом в теории деятельности, под­черкивается объективный характер задачи образования. Струк­тура задачи рассматривается с точки зрения компонентов дея­тельности, в которой должен быть восстановлен, найден способ деятельности -достижение определенного результата при опре­деленных условиях.

Во втором определении задача рассматривается как субъек­тивное образование, имеющее отношение к решающему, когда задача решающим принята, цель осознана и есть стремление ее решить. Т. е. задача не просто объективно существует, но суще­ствует по отношению к кому-нибудь.

Третье определение подчеркивает различие в понятиях задача и проблемная ситуация. Проблемная ситуация существует в ре­альности, независимо от того, как она отражается в задаче. Ре­альная проблемная ситуация более многогранна, чем задача, ко­торая ее описывает, т. к. задача, как правило, отражает не все условия конкретной проблемной ситуации.

Какое из приведенных определений лучше, полнее? Об этом не принято спорить, т. к. каждое определение построено для дос­тижения определенных целей. Просто надо договариваться в кон­кретных ситуациях, в рамках какого определения происходит рассмотрение понятия. Каждое из данных определений позволяет полнее раскрыть сущность понятия - задачи.

Каковы функции задач в обучении математике? Таковы, ка­ковы функции, цели обучения самой математики: воспитание, развитие, обучение молодого поколения. Может ли воспитывать одна, отдельно взятая задача? Отдельная задача может нести в себе различную информацию из различных областей знаний, рас­ширять кругозор, воздействовать на познавательные возможнос­ти, может нести эстетическую нагрузку. А в целом воспитатель­ное воздействие оказывает общий подход к решению задач: сис­тема задач, место, методы и формы ее решения, стиль общения учителя и учащихся и учащихся между собой при решении задач. Решение задач позволяет учащимся воспитывать в себе настой­чивость, трудолюбие, активность, самостоятельность, формиру­ет познавательный интерес, помогает вырабатывать и отстаивать свою точку зрения, воспитывать достоинство личности.

Развивающие функции задач заключаются в том, что в дея­тельности решения задач вырабатываются умения применять те­оретические знания на практике, выделять общие способы реше­ния, переносить их на новые задачи, развиваются логическое и творческое мышление, внимание, память, воображение.

Обучающие функции задач можно классифицировать по их месту в изучении материала. Как известно, при изучении нового материала имеют место следующие этапы: этап подготовки к изу­чению нового - мотивация, пропедевтика наиболее трудных мо­ментов, актуализация опорных знаний; этап усвоения нового ма­териала - выделение существенного и отделение его от несущественного, установление взаимосвязей с ранее изученным мате­риалом; этап первичного применения знаний в стандартных ситу­ациях; этап переноса знаний и умений в нестандартные ситуации; и, наконец, этап контроля и коррекции каждого из этих этапов реализуется через задачи.

В качестве подтверждения сказанного приведем примеры за­дач, используемых на первых этапах изучения содержания, т. к. применение и контроль являются наиболее известными функция­ми задач:

1. Допустим, перед изучением темы «Разложение много­члена на множители» учащимся предлагают решить уравнение (х - 3)(х - 2) = 0, которое они умеют решать, а затем уравнение х²~5х+6 = 0. Второго уравнения учащиеся решить пока не могут, но, установив связь второго и первого уравнений, выясняют практическую полезность разложения многочлена на множители, тем самым стимулируется деятельность по изучению нового мате­риала.

2. При выводе теоремы косинусов в учебном пособии А.В. По-горелова используется распределительный закон скалярного ум­ножения векторов относительно сложения векторов, что может представлять собой определенную трудность, следовательно, пе­ред доказательством теорем и можно предложить пропедевтичес-кое задание на упрощение выражения, например, такого (а + Ь){а -Ь),с пояснением всех промежуточных операций. Пред­варительное выполнение этого упражнения поможет снять воз­можные затруднения при выполнении основного задания. При этой следует иметь в виду, что введением вспомогательных уп­ражнений снижаются трудность, проблемность изучаемого ма­териала, а это не всегда оправдано, т. к. учащимся необходимо учиться преодолевать трудности. Вопрос о привлечении вспо­могательных вопросов, задач решается исходя из конкретных условий.

3. С помощью предварительного решения задач можно полу­чить методы доказательства новых теорем. Перед доказатель­ством теоремы синусов учащимся предлагается решить задачу, обобщение решения которой поможет осуществить поиск доказа­тельства основной теоремы.

ЗАДАЧА. В треугольнике ∠A = 60°, ∠B = 45°. Сторона, лежа­щая против угла В, равна 10. Найти сторону, лежащую против угла А.

Эта же задача, решенная после изучения теоремы синусов, яв­ляется задачей на закрепление формулировки теоремы. Существу­ют задачи, с помощью которых учащимся оказывается дозирован­ная помощь в самостоятельном получении формулировок опреде­лений, теорем (см. разделы, посвященные понятиям и теоремам).

При обучении математике кроме приведенной классификации задач по их месту при изучении нового материала используются классификации по другим основаниям: по методам поиска реше­ния - алгоритмические, типовые, эвристические; по требованию задачи - на построение, вычисление, доказательство; по сложно­сти - простые и сложные; по трудности легкие и трудные; по применению математических методов уравнений, координат, подобия и т. д. Все эти классификации позволяют рассматривать математические задачи под разными углами зрения и уточнять, совершенствовать методику работы с учащимися над задачей.

Основные недостатки при обучении учащихся решению задач в школе:

♦ отдельные задачи часто рассматриваются вне связей с други­ми задачами, без выделения и осознания общих приемов, мето­дов, применяемых при решении задач;

♦ учащиеся не обучаются общим методам решения задач;

♦ часто идет погоня за количеством решенных задач, в ущерб качеству их решения.