1.3. Определение понятия

Определением называется такая логическая операция, при помощи которой раскрывается содержание вводимого в рассмот­рение понятия. Содержание понятия - это совокупность его су­щественных свойств.

Определение необходимо для того, чтобы разные люди пони­мали друг друга, вкладывая в определенные термины один и тот смысл. Определение понятий является одним из способов вве­дения в математические дисциплины новых понятий, наделенных необходимыми качествами для включения их в логические опе-I мщии. Определения сводят определяемые понятия к уже извест­ным. Рассмотрим определение действия вычитания: вычесть из одного числа другое значит найти такое число, которое в сумме со вторым дает первое число. Это определение позволяет вновь вводимое незнакомое понятие о действии вычитания свести к уже известному понятию - сложению двух чисел.

Становится понятным, что восходящий процесс определения неизвестного через известное когда-нибудь должен закончиться и встретятся такие понятия, определения которым будет дать не­возможно. Тогда становится необходимым введение неопределя­емых понятий. В математике это - точка, прямая, плоскость, чис­ло, множество, элемент множества и некоторые другие. Вне мате­матики также имеют место неопределяемые понятия. Это такие категории, как материя и сознание, общее и частное, форма и содер­жание и т. д., которые можно пояснить только друг через друга, что в формальной логике считается ошибкой «порочного круга».

Необходимость введения неопределяемых понятий осознается учащимися благодаря специально организованной работе учите­ля. Эта работа может заключаться в составлении генеалогичес­ких деревьев для некоторых понятий. Например, понятие треу­гольник определяется с помощью понятий точка и отрезок; отре­зок определяется с помощью понятий прямая, точка и отношения «лежать между» для трех точек прямой. Отношение «лежать меж­ду» определяется с помощью понятия длина отрезка. Итак, поня­тие треугольник оказалось сведенным к неопределяемым поняти­ям точка, прямая, длина отрезка.

Рассмотрим структуру определения. Большинство определений строится с помощью указания ближайшего рода и видовых отли­чий вводимого понятия от других объектов этого же рода. Рас­смотрим, например, определение равнобедренного треугольника как треугольника, у которого две стороны равны. Родовое поня­тие в этом определении - треугольник, а видовое отличие одно -наличие пары равных сторон. Вообще определение понятия через ближайший род и видовое отличие устанавливает отношение вклю­чения для множества объектов, указывая тем самым порядок на множестве определяемых понятий. Например, С с В с А, где А -многоугольники, В - четырехугольники, С- параллелограммы.

Видовых отличий в определении может быть несколько, и они могут быть связаны между собой по-разному: конъюнктивно, дизъ­юнктивно и в сочетаниях конъюнкции и дизъюнкции.

Примером понятия, у которого существенные свойства в оп­ределении связаны дизъюнктивно, может быть понятие рациональ­ного выражения как выражения, составленного с помощью дей­ствий сложения, вычитания, умножения и деления над перемен­ной. Другой пример - что значит решить уравнение.

Примером определения понятия, у которого существенные свойства связаны конъюнктивно, может быть понятие решения системы уравнений с двумя переменными как упорядоченной пары значений переменных, которые удовлетворяют как первому, так и второму уравнению.

Тогда при подведении некоторого объекта под определение понятия, существенные свойства которого связаны конъюнктив­но, необходимо проверить у объекта наличие каждого существен­ного свойства и только в этом случае можно сделать заключение о принадлежности объекта к понятию. Если же существенные свой­ства в определении связаны дизъюнктивно, то положительный ответ о принадлежности к понятию может быть дан в случае, если имеет место хотя бы одно из этих существенных свойств (примеры приведите самостоятельно).

Определения в математике нередко содержат кванторы общ­ности или существования, что усложняет структуру определения и затрудняет их применение. Например, в определении предела функции в точке имеют место два квантора общности и один -существования.

Ближайшее родовое понятие в определении выбирается для краткости самого определения. Для ответа на вопрос, почему так принято, достаточно сравнить, какое из определений параллелог­рамма, через четырехугольник или через многоугольник, будет короче.

Суть процесса определения понятия сводится к тому, что из некоторого множества А объектов х выбирается подмножест­во А₁, такое, которое дополнительно обладает свойством Р:

A₁ = {x/xe А^ Р(х)}. Но при этом одновременно выделяется мно­жество

A₂ = {x/x𝜖 А^Р(х)}которое этим свойством не облада­ет, причем А = А₁ ∪ А₂ и A₁ п А₂ = 0. Из логической структуры определения следует, что полезно вводить сразу два определения

для множества объектов А, и А.,, особенно если для них имеются соответствующие термины. Например, можно сразу ввести опре­деления дробного и целого выражения, рационального и ирраци­онального числа, выпуклого и невыпуклого многоугольника и т. д. Это естественный способ введения понятий.

Что собой представляют видовые отличия? В видовом отли­чии может указываться происхождение понятия. Тогда говорят о генетическом определении. Например, конусом называется фи­гура, образованная вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. В рекурсивном или индуктивном опре­делении, которое является разновидностью генетического (при­мер - определение арифметической и геометрической прогрессии), указывается, как каждый последующий член последовательнос­ти может быть получен из предыдущего.

В качестве видовых отличий могут быть приведены некото­рые соотношения, законы, просто перечислены свойства нового понятия. Вспомните, например, определения эллипса как фигу­ры, заданной соответствующим уравнением, и прямой, перпенди­кулярной плоскости.

Определения могут быть разбиты на два класса: конструк­тивные и дескриптивные (описательные). В первом случае в определении указывается способ построения определенных объек­тов. Тем самым решается вопрос о существовании понятия. В описательных определениях лишь перечисляются свойства но­вого понятия. Но из определения еще не следует, что такие объек­ты существуют. При изучении описательных определений необ­ходимо рассматривать доказательство существования определен­ных понятий. Например, описательными определениями являют­ся определения прямой, перпендикулярной плоскости, геометри­ческого места точек и другие. Аксиомы, описывающие основные отношения между неопределяемыми понятиями, являются по сути описательными определениями этих понятий. Аксиомы косвенно настолько определяют эти понятия, что их можно использовать в доказательствах.

При определении понятий необходимо выполнять ряд требо­ваний. В определение через род и видовое отличие должен вклю­чаться ближайший род, что обеспечивает краткость определения. Определяемое (то, которое определяем) и определяющее (то, через которое определяем) понятия должны быть соразмерны, т. е. равны по объему. Нарушение этого правила имеет место в том случае, если определяющее понятие включает в себя недостаточ­но существенных свойств и получается более широкое понятие, чем определяемое. Если определяющее понятие включает в себя какие-то дополнительные существенные свойства, то получается более узкое понятие, чем определяемое (приведите самостоятель­но примеры более узких и более широких определяющих поня­тий, чем определяемое).

Следующее требование к определению - независимость су­щественных свойств друг от друга. Другими словами, одни свой­ства, включенные в определение, не должны быть логическим следствием других. Это требование краткости вводимого опре­деления. В школьном курсе математики это требование, к сожа­лению, не выдерживается. Пример: определения прямоугольника и ромба в школьном курсе геометрии.

Еще одно требование - определение не должно содержать порочного круга. Порочный круг заключается в том, что одно понятие определяется через второе, а второе через первое. При­мером порочного круга является следующая последовательность определений: вычитание определяется как действие нахождения разности двух чисел, а разность - как результат вычитания. Этот круг может быть сложнее. Первое понятие определяется через второе, второе - через третье, третье - снова через первое.

Желательно, чтобы определение не было отрицательным, т. е. таким, в котором отрицается наличие некоторого свойства. Но иногда этого не избежать. Когда некоторое множество делится на два класса по наличию и отсутствию какого-либо свойства и это фиксируется в определении, то получается, что определение содер­жит отрицание. Например, прямые на плоскости можно разделить на пары прямых, имеющих общую точку и не имеющих таковую.

И наконец, определение не должно содержать метафор. Определение «архитектура - застывшая музыка» мало что про­ясняет в этом понятии, хотя звучит ярко и образно.

Формальная логика требует неизменности определений, сохра­нения их смысла, но в то же время вследствие движения процесса но знания требуется смена определений. В этом проявляется диалектика процесса познания. Например, в начале изучения поня­тия функции - это зависимость между величинами с определен­ным свойством, в дальнейшем - это уже соответствие между дву­мя множествами. В начале изучения понятия угол - это фигура, состоящая из двух лучей, имеющих общее начало, потом - это часть плоскости, ограниченной такими лучами, а потом это и во­все некоторое число, соответствующее результату вращения под­вижного радиуса вокруг неподвижной точки.

В плане изучения определений с точки зрения формальной ло­гики специального разговора требует эквивалентность опреде­лений. В определения отдельных понятий, как правило, включа­ются не все существенные свойства, а лишь те, из которых ос­тальные могут быть получены с помощью логического вывода. И этот набор существенных свойств может быть выбран по-разно­му. Например, существенными свойствами касательной к окруж­ности являются наличие единственной общей точки с окружнос­тью, перпендикулярность к радиусу в точке, лежащей на окруж­ности. Но любое из этих существенных свойств может быть полу­чено из оставшегося с помощью логического вывода. Поэтому в разных учебниках встречаются различные определения понятия касательной к окружности.

Процесс выяснения объема понятия называется классифика­цией. Часто классификация проводится в виде последовательно­го разбиения множества на два класса (дихотомия) с помощью некоторого свойства. В качестве примера рассмотрим взаимное положение двух прямых в пространстве.

Основанием первого разбиения является существование плос­кости, в которой лежат обе прямые, основанием второго разбие­ния является наличие общей точки.

Классификация предполагает выполнение ряда условий. Клас­сификация проводится по определенному признаку, неизменному в процессе классификации. Сравните: треугольники бывают пря­моугольные, равнобедренные и равносторонние.

Понятия, получившиеся в результате классификации должны быть взаимно независимыми. Сумма объемов понятий, получив­шихся при классификации, должна равняться объему исходного понятия.

Каждый класс не должен быть пустым.

Проблема систематизации понятий будет рассмотрена ниже, в лекции 4.