- •Раздел второй кинетика
- •4. Кинетика
- •4.1. Введение в кинетику
- •4.1.1. Предмет кинетики. Основные понятия
- •4.1.2. Основные законы механики
- •4.1.3. Связи и реакции связей
- •4.1.4. Силы трения
- •4.1.5. Классификация связей
- •Вопросы для повторения
- •4.2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •4.2.1. Дифференциальные уравнения движения свободной точки
- •4.2.2. Движение несвободной материальной точки
- •4.2.3. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки
- •4.2.4. Две основные задачи динамики
- •Вопросы для повторения
- •4.3. Введение в динамику механической системы
- •4.3.1. Дифференциальные уравнения движения механической системы
- •4.3.2. Силы, действующие на абсолютно твердое тело
- •4.3.3. Распределенные силы. Центр тяжести
- •4.3.4. Момент силы относительно точки и относительно оси
- •4.3.5. Пара сил
- •4.3.6. Главный вектор и главный момент системы сил. Свойства внутренних сил
- •4.3.7. Приведение системы сил к данному центру
- •4.3.8. Масса и центр масс системы материальных точек
- •4.3.9. Моменты инерции
- •4.3.10. Моменты инерции простейших однородных тел
- •Вопросы для повторения
- •4.4. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс
- •4.4.1. Количество движения материальной точки и системы материальных точек. Элементарный и полный импульсы силы.
- •4.4.2. Теорема об изменении количества движения системы
- •4.4.3. Теорема о движении центра масс
- •4.4.4. Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела
- •Вопросы для повторения
- •4.5. Теорема об изменении кинетического момента
- •4.5.1. Кинетический момент точки
- •4.5.2. Кинетический момент системы материальных точек
- •4.5.3. Теорема об изменении кинетического момента системы материальных точек
- •4.5.4. Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела
- •Вопросы для повторения
- •4.6. Теорема об изменении кинетической энергии
- •4.6.1. Кинетическая энергия точки и системы точек
- •4.6.2. Работа силы
- •4.6.3. Работа силы, приложенной к вращающемуся твердому телу
- •4.6.4. Работа внутренних сил
- •4.6.5. Мощность
- •Вопросы для повторения
- •4.6.6. Теорема об изменении кинетической энергии
- •Вопросы для повторения
- •4.6.7.* Потенциальное силовое поле
- •4.6.8.* Потенциальная энергия
- •4.6.9*. Закон сохранения механической энергии
- •Вопросы для повторения
- •5. Статика
- •5.1. Условия равновесия системы сил, приложенных к твердому телу
- •5.2. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
- •5.3. Условия равновесия систем сходящихся и параллельных сил
- •5.4. Условия равновесия плоской системы сил
- •Решив эту систему, получим
- •5.5. Равновесие системы тел. Примеры решения задач
- •Вопросы для повторения
- •5.6.* Принцип возможных перемещений
- •Вопросы для повторения
- •6. Принцип даламбера
- •6.1. Принцип Даламбера для материальной точки
- •6. 2. Принцип Даламбера для системы материальных точек
- •6. 3 *. Определение динамических реакций подшипников при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси
- •6.4*. Общее уравнение динамики
- •Вопросы для повторения
- •Список литературы Основная
- •Дополнительная
- •4.1. Введение в кинетику ………………………………… . ..141
- •4.1.1.Предмет кинетики. Основные понятия………… ……..141
4.3.2. Силы, действующие на абсолютно твердое тело
Как уже говорилось, мерой механического взаимодействия материальных тел является сила, то есть векторная величина, определяемая модулем, направлением и точкой приложения. Поскольку теоретическая механика изучает движение абсолютно твердого тела, то приложенные к этому телу силы обладают рядом особенностей.
Очевидно, что две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, не изменят его состояния движения или покоя, если они равны по величине и направлены в противоположные стороны по одной прямой. Так как эти силы образуют уравновешенную систему, то есть эквивалентную нулю ~0. Ясно так же, что если к свободному твердому телу приложить уравновешенную систему сил или отбросить такую систему, то его состояние движения или покоя не изменится.
И з этих двух очевидных положений следует, что силу, приложенную к абсолютно твердому телу, не изменяя его состояния покоя или движения, можно перенести вдоль линии действия в любую точку тела. Действительно, пусть сила приложена в точке А тела (рис. 4.17). Приложим в точке В,
Рис. 4.17 лежащей на линии действия силы уравновешенную систему сил , таких что . Тогда ~ Но система сил , равных по модулю, противоположных по направлению и имеющих общую линию действия, эквивалентна нулю и может быть отброшена. Тогда ~ , что и требовалось доказать.
Если к одной точке твердого тела приложены несколько сил, то, как и в случае действия такой системы сил на материальную точку, они могут быть заменены одной силой – равнодействующей, равной геометричес-кой сумме этих сил и приложенной в этой же точке.
Рассмотрим теперь систему действующих на абсолютно твердое тело сил, линии действия которых пересекаются в одной точке (рис. 4.18). Такие силы называются сходящимися. На основании доказанного свойства о переносе силы вдоль линии ее действия данная система сил эквивалентна системе сил, приложенных к одной точке (точка А на рис. 4.18), а такая система сил имеет равнодействующую. Таким образом, система сходящихся сил имеет равнодействующую, равную геометрической сумме сил системы и приложенную в точке пересечения их линий действия.
Рис. 4.18
Если же на абсолютно твердое тело действуют две одинаково направленные параллельные силы и (рис. 4.19), приложенные в точках А и В соответственно, то их равнодействующая имеет направление слагаемых сил и модуль, равный сумме модулей исходных сил, а точка ее приложения делит отрезок, соединяющий точки
Рис. 4.19
приложения сил, на части, обратно пропорциональные слагаемым силам, т.е.
; . (4.34)
Чтобы доказать это, приложим в точках А и В уравновешенную систему сил , линии действия которых совпадают с прямой АВ; = - . Полученная система сил будет эквивалентна исходной .
Системы сил и можно заменить соответствующими равнодействующими и , а полученные в результате сходящиеся силы и тоже заменить их равнодействующей , приложенной в точке D. Так как =- и ║ , то , а ее модуль равен сумме модулей слагаемых сил: . Перенесем вдоль линии ее действия в точку С, лежащую на прямой АВ. В результате исходная система сил заменится одной силой — равнодействующей , направленной в сторону слагаемых сил и приложенной в точке С отрезка АВ. Из построений на рис. 4.19 следует, что треугольник ADC подобен треугольнику KAL, а треугольник CDB — треугольнику MBN, поэтому AC/KL = DC/AL и BC/MN = DC/BM. Учитывая, что KL = MN = , AL = , ВМ = , окончательно получим
,
что и требовалось доказать.
А налогично доказывается и случай, когда параллельные силы и имеют противоположные направления (рис. 4.20). Тогда их равнодействую-щая по модулю равна разности
Рис. 4.20 модулей слагаемых сил и имеет направление большей силы, а точка ее приложения С делит отрезок АВ на части, обратно пропорциональные силам, но внешним образом, то есть
, .
Ясно, что по этим же правилам мы можем разложить одну силу на две параллельные ей составляющие, приложенные в заданных точках тела.
Рассмотрим случай, когда система одинаково направленных параллельных сил , приложенных в точках M1, М2, ..., Мn тела (рис. 4.21). По правилу сложения параллельных сил (4.34) мы можем заменить силы и силой + , приложенной в точке C1. Складывая полученную силу с силой ,
з аменим их равнодействующей ,
приложенной в точке С2. Последовательно складывая вновь полученную равнодействующую с последующей силой системы, придем к одной силе ,
Рис. 4.21 являющейся равнодействующей исходной системы сил и приложенной в определенной точке С тела. Найдем координаты этой точки, считая координаты точек приложения сил системы известными. Точка С, делит отрезок М1М2 на части, обратно пропорциональные силам и , то есть
.
Но, как известно из аналитической геометрии, координаты точки C1, делящей отрезок в таком отношении, определяются выражениями
, , .
Аналогичным образом координаты точки C2 приложения силы определяются ( ) так:
и т. д.
Таким образом, по индукции можно заключить, что система одинаково направленных параллельных сил действующих на абсолютно твердое тело, имеет равнодействующую, параллельную силам системы, равную сумме всех сил системы
(4.35)
и приложенную в точке С, координаты которой определяются выражениями
, , , (4.36)
где xk,, yk, zk — координаты точек приложения сил системы.