4.6.3. Работа силы, приложенной к вращающемуся твердому телу

Пусть к точке М твердого тела, вращающегося вокруг оси Oz с угловой скоростью ω, приложена сила (рис. 4.56). Определим элементарную работу этой силы: dA= dt .

П о формуле Эйлера, , где — радиус-вектор точки М относительно точки О, лежащей на оси вращения. Тогда

,

так как по свойству смешанного произведения векторов

.

Рис. 4.56 Но момент силы относительно точки О; поэтому

.

По определению момента силы относительно оси име­ем ; кроме того, ωdt= dt = dφ. Следовательно,

dA= , (4.113)

то есть элементарная работа силы, приложенной к твердо­му телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна произведению момента этой силы относительно оси вра­щения на элементарный угол поворота тела. Эта работа положительна, если направления момента и поворота совпадают.

Работа этой силы на конечном перемещении определяется из равенства

. (4.114)

Если = const, то

A = (φ₁ –φ₀), (4.115)

то есть работа равна моменту силы относительно оси вра­щения, умноженному на угол поворота тела.

4.6.4. Работа внутренних сил

Пусть между точками А и В механической системы действуют внутренние силы взаимодействия и (рис. 4.57). По закону равенства действия и противодействия = - . Сумма элементарных работ этих сил на каком-либо перемещении системы равна

.

К ак видно на рис. 4.57, для каждого момента времени , где — единичный вектор, направленный вдоль прямой АВ. Возь­мем производную по времени от этого равенства

,

или

.

Рис. 4.57 Тогда сумма элементарных работ внутренних сил запи­шется в виде

.

Так как производная вектора постоянного модуля пер­пендикулярна ему, то она перпендикулярна прямой АВ, а следовательно, и силе ; поэтому скалярное произведение ·d /dt = 0. Кроме того, · = , так что окончательно

.

Из данного выражения следует, что если в процессе движения системы расстояния между ее точками изменяются (d(AB)≠ 0), то и сумма работ внутренних сил системы отлична от нуля. Если же расстояния между точками системы в процессе движения остаются постоян­ными (d(AB)=0); такие системы называются неизменяемыми, то сумма работ внутренних сил системы рав­на нулю. Примером неизменяемой системы является аб­солютно твердое тело.

Чаще всего в задачах рассматривают механические системы, состоящие из отдельных твердых тел, соединенных между собой с помощью внутренних связей, ко­торые могут реализоваться в виде шарниров, гибких не­растяжимых нитей и т. д. или осуществляться за счет относительного качения без проскальзывания (например, фрикционные передачи). Поэтому при вычислении работы внутренних сил такой системы достаточно учесть работу реакций внутренних связей, соединяющих твердые тела.

Если твердые тела соединены шарнирами без трения, то в шарнире возникают только нормальные реакции, перпендикулярные элементарным относительным переме­щениям, и поэтому работа реакции шарниров без трений равна нулю. При соединении твердых тел гибкой нерас­тяжимой нитью реакции нити, приложенные к телам, равны по модулю и противоположны по направлениям. Так как нить нерастяжима, то перемещения всех ее то­чек одинаковы, и поэтому сумма работ реакций нити равна нулю. Наконец, если связь осуществляется за счет относительного качения тел друг по другу без проскаль­зывания, то точки контакта имеют одинаковые скорости и, следовательно, работы сил действия и противодейст­вия одинаковы по значению, но противоположны по зна­ку и их сумма равна нулю.

Перечисленные виды связей, сумма работ реакций ко­торых равна нулю, называются идеальными.