4.3.4. Момент силы относительно точки и относительно оси

Под действием силы, приложенной к твердому телу, последнее совершает поступательное и вращательное движение. Вращательный эффект силы, приложенной к телу, определяется ее моментом относительно точки или оси.

М оментом силы относительно точки О (рис. 4.28) называется вектор, равный векторному произведению ра­диуса-вектора точки приложения силы относительно точки О на вектор силы:

. (4.44)

Из определения векторного произведения следует, что вектор

Рис. 4.28 приложен в точке О, направлен перпенди­кулярно плоскости, содержащей векторы и , в ту сто­рону, откуда мы видим вращение тела, вызываемое си­лой вокруг точки О, происходящим против хода часовой стрелки. Модуль вектора момента равен

M_О( ) = F r sinα = Fh,

где h = ОС — плечо силы относи­тельно точки О, то есть кратчайшее рас­стояние от точки О до линии действия силы .

Данный вектор полностью определяет вращательный эффект приложенной к телу силы относитель­но точки О: его линия действия определяет плоскость вращения, его направление (направление вращения), его модуль (интенсивность вращательного воздействия).

Проведем через точку О, относительно которой определяется момент силы , систему координат Oxyz (рис. 4.29); пусть х, у, z—координаты точки приложения силы , a F_x, F_y, F_z — проекции силы на эти оси. Тогда формула для момента силы относительно точки О запишется в виде

= = = (4.45)

= + +

где — орты осей координат.

Выражения, стоящие в скобках, представляют собой проекции вектора момента на оси координат:

[ ]_х= ,

[ ]_у= ,

[ ]_z= .

В случае, когда силы, действующие на тело, лежат в одной плоскости, вместо векторного момента силы относительно точки используют алгебраический момент.

Алгебраическим моментом силы относительно заданной точки называется взятое с соответствующим знаком произведение модуля силы на ее плечо относительно заданного центра:

Mo( )= ±Fh (4.46)

Знак плюс берется, если мы видим вращение тела вокруг точки О, вызываемое силой, происходящим против хода часовой стрелки. Момент силы относитель-но точки равен нулю, когда плечо силы равно нулю, т.е. когда линия действия силы проходит через точку О. Момент измеряется в Н·м.

М оментом силы относительно оси называется проекция на эту ось вектора момента данной силы относительно любой точки, лежащей на данной оси.

Рис. 4.29 Так (рис. 4.29), момент силы относительно оси Оz равен

.

Этот момент не зависит от положения точки на оси. Действительно, момент силы относительно оси Oz определяется выражением

.

Н о модуль и направление вектора не зависят от положения точки О на оси z (рис. 4.30): этот вектор всег­да перпендикулярен плоскости, содержащей точку А и ось z, а его вели­чина равна удвоенной площади треугольника с постоянным основанием, равным длине вектора ,

Рис. 4.30 и постоянной высотой АВ. Вектор , очевидно, тоже не зависит от положения точки О на оси. Итак, M_z( ) не зависит от положения точки О на оси.

Из формулы (4.45) получаются аналитические выражения для моментов силы относительно осей х, у, z:

М_х( )= [ ]_х= ,

М_у( )= [ ]_х= ,

М_z ( )= [ ]_у= ,

где х, у, z — координаты точки приложения силы ,

F_х, F_y, F_z, — проекции этой силы на оси координат.

Из этого определения легко получить другое определение, часто используемое для практического решения задач: моментом силы от­носительно оси называется взятое с соответствующим знаком произведение проекции силы на плоскость, перпендикулярную данной оси, на кратчайшее расстоя­ние от точки пересечения оси с плоскостью до линии действия проекции силы на плоскость. Знак плюс берет­ся в случае, когда, глядя с положительного направления оси, мы видим вращение тела вокруг оси, вызываемое силой, происходящим против хода часовой стрелки.

Действительно, в с оответствии с геометрическим пред­ставлением смешанного произведения векторов, момент силы относительно оси z равен уд­военному объему призмы с основанием ОАВ и боковым ребром, соответствующим вектору (рис. 4.31). Но объ­ем

Рис. 4.31 этой призмы равен произведению площади ее пря­мого сечения на длину ребра. Проведя через точку О плоскость, перпендикулярную оси Oz, получим прямое сечение ОА₁,В_1,, площадь которого равна , где

A₁B₁ = F_ху_- проекция силы на проведенную плоскость,

h — плечо этой проекции от­носительно точки О. Таким образом,

М_z( )= ±А₁B₁ · h · k = ±F_хуh, (4.47)

что и требовалось доказать.

Следовательно, для нахождения момента силы относительно оси надо провести плоскость, перпендикуляр­ную оси, спроектировать силу на проведенную плоскость и найти момент данной проекции силы относительно точки пересечения оси с проведенной плоскостью. Момент силы относительно оси равен нулю в двух случаях:

во-первых, если равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, т. е. если сила параллельна оси, и,

во-вторых, если плечо проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью равно нулю, то есть если линия действия силы пересекает ось.