Вопросы для повторения

1. Сформулируйте необходимые и достаточные условия равно­весия твердого тела относительно инерциальной системы коор­динат.

2. Запишите аналитические условия равновесия произвольной системы сил, действующих на твердое тело.

3. Чему равен момент равнодействующей системы сил, прило­женных к твердому телу, относительно точки и оси?

4. Чему равен главный вектор системы пар сил, действующих на твердое тело?

5. Установите условия равновесия твердого тела при действии на него системы пар сил.

6. Сформулируйте условия равновесия системы сходящихся сил и системы параллельных сил.

7. Сколько существует форм условий равновесия плоской си­стемы сил? Сформулируйте каждое из них.

8. Как предпочтительнее проводить оси координат при состав­лении уравнений равновесия твердого тела?

9. Относительно каких точек предпочтительно вычислять мо­менты при составления уравнений равновесия твердого тела?

10. Сколько независимых уравнений равновесия можно соста­вить для плоской системы n сочлененных тел?

11. Какие задачи статики называются статически определимы­ми и какие - статически неопределимыми?

12. В чем заключается метод расчленения

5.6.* Принцип возможных перемещений

В предыдущих параграфах были получены условия равновесия твердого тела и исследован вопрос о равновесии системы твердых тел; при этом реакции связей не выделялись из общего числа приложенных к телу сил. Для изучения условий равновесия слож­ных несвободных систем, состоящих из большого числа тел, этот метод приводит к чересчур громоздким вычислениям. В этих слу­чаях применяется принцип возможных перемещений, устанавли­вающий общие условия равновесия любой механической системы с голономными идеальными стационарными удерживающими свя­зями. При таких связях применение принципа требует учета одних только активных сил и позволяет заранее исключить из рассмотре­ния все неизвестные реакции связей.

Прежде чем сформулировать принцип возможных перемещений, необходимо ввести некоторые новые понятия и определения.

В озможные перемещения. Бесконечно малые перемещения п точек механической системы, фактически совершаемые ими под действием приложенных к ним сил и происходящие за время dt, называются действительными перемещениями и обозначаются (k = 1. 2, .... п). Предположим теперь, что в некоторый момент времени t₁ мы мгновенно остановили систему и все ее точки стали неподвижными. Однако мы можем принудительно сообщить систе­ме какие-то бесконечно малые перемещения, допускаемые в этот момент времени

Рис. 5.13 наложенными на систему связями. Эти перемеще­ния могут совпадать с действительными направлениями, а могут и отличаться от них. Пусть, например, тело М скользит вниз по наклонной плоско­сти (рис. 5.13). Действительное его перемещение направлено параллельно плоскости вниз. Мысленно остановим тело М в показанном на рисунке положении. Из этого фиксированного положения принудительно (но не нарушая связей) мы можем сообщить телу перемещение как вверх по наклонной плоскости, так и вниз по ней. Элементарные перемещения k-й точки системы, которые в данный момент времени допускаются наложенными на систему связями, называются возможными и обозначаются (k = 1, 2, ... , п)

Таким образом, возможным перемещением точки материальной системы называется любое допускаемое связями ее перемещение на положения, занимаемого точкой в данный момент времени, в бесконечно близкое положение, которое она может занимать в тот же момент времени.

П ри стационарных связях, то есть связях, не зависящих от вре­мени, действительное перемещение принадлежит к числу возмож­ных. Так, при движении тела М вниз по наклонной плоскости (рис. 5.13) его действительное перемещение является одним из возможных. Если же связи нестационарные, то действительное пе­ремещение не принадлежит к числу возможных. Рассмотрим, на­пример, тело М, скользящее по наклонной грани движущейся призмы А (рис. 5.14). Его действительное перемещение будет совпа­дать с направлением его абсолютной скорости , то есть будет на­правлено по диагонали параллелограмма, построенного на пере­носной скорости призмы А и относительной скорости тела М относительно призмы. Для определения же возможного

Рис. 5.14 перемеще­ния мы должны мысленно остановить систему в интересующий нас момент времени и после этого, не нарушая связей, дать телу М перемещение относительно призмы А. По направлению это переме­щение или совпадает с , или противоположно . Оно и будет возможным.

Возможная работа силы; идеальные связи. Работа силы на одном из возможных перемещений точки ее приложения называ­ется возможной работой силы:

С понятием возможной работы связано еще одно деление связей на идеальные и неидеальные. Идеальной называется связь, сумма работ сил реакций которой на любом возможном перемещении точек системы равна нулю, то есть

= 0, (5.11)

г де — реакция связи, действующая на k-ю точку системы, a п — число материальных точек системы. Если же сумма возможных работ реакций связей отлична от нуля, то связь называется не­идеальной.

К числу идеальных связей относятся все связи без трения и те из связей с трением, которые

Рис. 5.15 осуществляются качением без скольжения (если пренебречь трением качения). Так, для связи

без трения (рис. 5.15. а)

cos90° = 0,

а в случае качения без скольжения (рис. 5.15, б)

,

так как точка В является мгновенным центром скоростей и, следовательно, ее возможное перемещение . Идеальными же являются связи, осуществляемые с помощью гибких нерастя­жимых нитей или закрепленных шарнирами жестких невесомых стержней.

Принцип возможных перемещений. Принцип возможных пере­мещений определяет необходимое и достаточное условие равнове­сия механической системы с идеальными голономными неосвобождающими стационарными свя­зями. Этот принцип широко ис­пользуется не только в теорети­ческой механике, но в в других областях механики: сопротивле­нии материалов, строительной ме­ханике, гидравлике и т. д. Прин­цип возможных перемещений формулируется так:

Для равновесия механической системы с идеальными голономными стационарными неосвобождающими связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных, работ всех действующих на систему активных сил на любом возможном перемещении системы из предполагаемого положения равновесия равнялась нулю, т. е.

=0, (5.12)

Таким образом, принцип возможных перемещений позволяет соста­новить условия равновесия механической системы на основании учета только действующих на нее активных сил без предваритель­ного определения неизвестных реакций связей.

Докажем необходимость и достаточность этого условия равно­весия. Пусть система, на которую наложены идеальные голономные стационарные удерживающие связи, состоит из п точек. Обо­значим через равнодействующую приложенных к k-й точке активных сил, а через — равнодействующую реакций внешних и внутренних связей, наложенных на ту же точку. При равнове­сии системы каждая ее точка также находится в равновесии, по­этому для каждой точки можно записать условие равновесия в виде

+ = 0 (k = l,2, ..., п),

то есть равнодействующая активных сил и реакций связей, прило­женных к точке при ее равновесии, равна нулю. Но тогда равна нулю и работа этой равнодействующей на любом возможном пере­мещении k-й точки, то есть

( + )· =0 (k = 1, 2, ..., п).

Сложив эти п уравнений, получим

Так как связи, наложенные на систему, являются идеальными, то по определению этих связей = 0 и окончательно получим

Таким образом, необходимость выполнения этого условия при равновесии системы доказана. Докажем его достаточность. Для этого предположим, что для системы с идеальными стационарными голономными удерживающими связями выполняется условие

и что при выполнении этого условия k-я материальная точка, по­мещенная в данное положение без начальной скорости, под дей­ствием активной силы и реакции связей не остается в равно­весии, то есть для нее (рис. 5.16) + = ≠ 0. В силу нулевых начальных условий ее действительное перемещение совпадает с направлением равнодействующей сил и т. е. силы . Но тогда элементарная работа силы на перемещении положи­тельна, то есть

∙ = ( + )∙ > 0.

Так как связи стационарны, действительное перемещение является одним из возможных и = и поэтому ( + )∙ > 0. Ана­логичный результат получим и для любой другой точки, если допустим, что она не находится в равновесии. Если же точка находится в равновесии, то

( + )∙ = 0.

Поэтому для всех точек системы, дви­жущихся и покоящихся,

>0, или >0,

В силу идеальности связей = 0 и поэтому >0, что противоречит исходному предположению о выпол­нении условия принципа возможных

Рис. 5.16 перемещений и, следователь­но, этот принцип является и достаточным условием равновесия материальной системы. Уравнение, выражающее принцип возмож­ных перемещений, можно записать также в виде

(5.13)

Принцип возможных перемещений применим для системы с не­идеальными связями, а также для определения реакций идеальных связей. В этих случаях надо отбросить соответствующую связь, заменив ее реакцией, и включить последнюю в число активных сил. При этом одновременно надо считать для системы возможными те перемещения, которые она может иметь при отброшенной связи.