§2. Основные законы клв

Законом логической теории является формула, принимающая значение «истина» при любой допустимой в данной теории интерпретации нелогических символов в ее составе.

В КЛВ понятие закона совпадает с понятием тождественно-истинной формулы. Наиболее часто в практике рассуждений используются следующие законы КЛВ:

1. Закон тождества А  А. Если высказывание истинно, то оно истинно.

Мысль не должна изменяться в процессе рассуждения. Утверждение «Идет дождь» (А) должно оставаться утверждением о том, что идет дождь (А), а не подменяться фразами вроде «На самом-то деле дождя нет – так, моросит немножко».

2. Закон непротиворечия (А А). Два противоречащих друг другу высказывания не могут быть одновременно истинными.

Допустим, что мы повстречали двух спорящих людей, один из которых говорит: «Да, это правда!» (А), а другой – «Нет, не правда!» (А). Разве обязательно знать, о чем они спорят, чтобы понять, что один из них лжет?

3. Закон исключенного третьего А  А. Из двух противоречащих высказываний по крайней мере одно истинно.

Любое высказывание можно либо утверждать (А), либо отрицать (А) – третьего не дано. Продолжая предыдущий пример, мы легко можем утверждать, что один упомянутых в нем людей точно прав.

4. Закон двойного отрицания А  А. Двойное отрицание высказывания равнозначно его утверждению.

Предположим, что к нашим спорщикам подошел третий. Первый говорит: «Да!» (А), второй – «Нет!» (А), а третий заявляет второму «Все-таки ты не прав!» (А). Очевидно, что первый и третий утверждают одно и то же.

5. Закон Клавия (А  А)  А. Если из отрицания суждения вытекает оно само, то такое суждение заведомо истинно.

Рассмотрим суждение «Существуют отрицательные суждения». Его отрицание – «Не существует отрицательных суждений» (А) – само является отрицательным, то есть подтверждает истинность отвергаемого в нем положения (А). Следовательно, исходное суждение является заведомо истинным (А).

6. Закон Дунса Скота А  (А  В). Из заведомо ложного высказывания вытекает любое высказывание.

В повседневных рассуждениях мы часто используем этот закон чтобы подчеркнуть неправдоподобность, абсурдность каких-либо высказываний. Например, в высказывании «Если он миллионер (А), то я – китайский император (В)» подразумевается невозможность указанного лица оказаться миллионером (А).

7. Законы Де Моргана (А  В)  АВ. Отрицание конъюнкции равнозначно дизъюнкции двух отрицаний. (А  В)  А  В. Отрицание дизъюнкции равнозначно конъюнкции двух отрицаний.

Например, отрицанием высказывания «Он был на месте преступления (А) и видел преступника (В)» будет «Он не был там (А) или не видел преступника (В)», а отрицанием высказывания «Он посетил Париж (А) или Монте-Карло (В)» будет «Он не был ни в Париже (А), ни в Монте-Карло (В)».

8. Закон контрапозиции (A  В)  (В  А). Если из одного высказывания вытекает второе, то из отрицания второго вытекает отрицание первого.

Например, высказывание «Если Джонс виновен в этом преступлении (А), то и Браун виновен (В)» равнозначно высказыванию «Если Браун не виновен (В), то и Джонс не виновен (А)».

9. Закон транзитивности импликации ((AВ)  (ВС))  (АС). Если из одного высказывания вытекает второе, а из него – третье, то и из первого высказывания вытекает третье.

Например, из суждений «Если приходит осень, опадают листья» и «Если опадают листья, в лесу становится светлее» вытекает «Если приходит осень, в лесу становится светлее».