Задание 4.

4.1. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна для первого сигнализатора и для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

4.2. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна . Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

4.3. Среди лотерейных билетов есть выигрышных. Найти вероятность того, что наудачу выбранные билета окажутся выигрышными.

4.4. Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором, третьем, четвертом ящике, соответственно равны ; ; ; . Найти вероятность того, что деталь содержится не менее чем в двух ящиках. В ящике деталей, из которых окрашены. Сборщик наудачу взял детали. Найти вероятность того, что: 1) хотя бы одна из взятых деталей окрашена; 2) только одна из взятых деталей окрашена; 3) три из взятых деталей окрашены.

4.5. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна . Произведены независимых измерения. Найти вероятность того, что в одном их них допущенная ошибка превысит заданную точность.

4.6. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна , вторым – , третьим – . Найти вероятность того, что только два стрелка попали в цель.

4.7. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятности попадания в цель для первого стрелка равна , для второго – , для третьего – . Определить вероятность того, что в цель попадает хотя бы один стрелок.

4.8. В группе из 30 учеников на контрольной работе 6 учеников получили оценку «отлично», 10 учеников – «хорошо», 9 учеников – «удовлетворительно». Какова вероятность того, что все три ученика, вызванные к доске, имеют неудовлетворительные оценки по контрольной работе?

4.9. Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны и . Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

4.10. В коробке одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажется: 1) хотя бы одно окра­шенное изделие; 2) только одно окра­шенное изделие; 3) два окра­шенных изделия.

4.11. В ящике деталей, из которых 4 окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что среди них две или три окрашенных детали.

4.12. Радиоэлектронный комплекс самолета-бомбардировщика включает объектов. Вероятность безотказной работы каждого объекта в течение времени равна . Объекты выходят из строя независимо один от другого. Вычислить вероятность того, что за время : 1) откажет хотя бы один объект; 2) откажут 2 объекта; 3) откажут не менее 3 объектов.

4.13. Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны соответственно и , производят по одному выстрелу. Определить: 1) вероятность хотя бы одного попадания в мишень; 2) только одного попадания в мишень.

4.14. Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны соответственно и , производят по одному выстрелу. Определить вероятность того, что в мишень попадут: 1) хотя бы один стрелок; 2) только один стрелок; 3) два стрелка.

4.15. Три исследователя, независимо один от другого, производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит при считывании показаний прибора, равна . Для второго и третьего исследователей эта вероятность соответственно равна и . Найти вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один из исследователей допустит ошибку.

4.16. Из колоды в карты наугад выбирают . Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один король.

4.17. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна , второе – , третье – . Найти вероятность того, что при аварии сработает 1) только два устройства; 2) не более двух устройств; 3) все три устройства.

4.18. Студент знает из вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент знает: 1) только два вопроса; 2) только один вопрос; 3) хотя бы один вопрос.

4.19. Производят три выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна . Найти вероятность того, что в результате этих выстрелов произойдет: 1) только одно попадание; 2) два попадания.

4.20. Каждое из четырех несовместных событий может произойти соответственно с вероятностями , , и . Определить вероятность того, что в результате опыта произойдет: 1) хотя бы одно из этих событий; 2) только два из этих событий.

4.21. По объекту производится стрельба ракетами с четырех позиций: с каждой позиции выпускается по одной ракете. Вероятности попадания при стрельбе с различных позиций равны соответственно , , , . Найти вероятность того, что: 1) в объект попадут одна, две, три, четыре ракеты; 2) в объект попадет не менее трех ракет.

4.22. Три охотника стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого охотника равна , для второго – , для третьего – . Определить вероятность того, что в цель попадет 1) хотя бы один охотник; 2) только один охотник.

4.23. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы (за время ) первого, второго и третьего элементов равны соответственно , и . Найти вероятности того, что за время будут безотказно работать: 1) только один элемент; 2) только два элемента; 3) все три элемента.

4.24. Два самолета сбрасывают бомбы на цель поочередно до первого попадания. Вероятность попасть в цель для первого самолета , для второго – . Начинает бомбометание первый самолет. Найти вероятность того, что будет сброшено бомбы.

4.25. Рабочий обслуживает станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна ; для второго такая вероятность равна ; для третьего – и для четвертого – . Какова вероятность того, что в течение часа 1) хотя бы один станок не потребует внимания рабочего; 2) ни один станок не потребует внимания рабочего; 3) два станка не потребуют внимания рабочего.

4.26. Рабочий обслуживает однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует к себе внимания рабочего в течение промежутка времени равна . Найти вероятность того, что: 1) за время станка потребуют к себе внимания рабочего; 2) число требований к рабочему со стороны станков за время будет между и (включая границы).

4.27. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено учебников, причем из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу учебника. Найти вероятность того, что: 1) хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете; 2) все взятые учебники окажутся в переплете.

4.28. Охотник стреляет 3 раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,3, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что он попадет не менее двух раз.

4.29. Университет для летней практики студентов предоставил 15 мест в Москву, 10 мест в Санкт-Петербург и 5 мест в Якутск. Найти вероятность того, что три приятеля попадут на практику в один город.

4.30. В урне 2 белых и 3 черных шара. Два игрока поочередно вынимают из урны по шару, не возвращая их обратно. Выигрывает тот, кто первым получит белый шар. Найти вероятность того, что выиграет первый игрок.