Задание 7.

7.1. Вероятность появления события в опыте равна 0,3. Опыт повторили 5 раз независимым образом. Какова вероятность того, что событие при этом появится не менее двух раз?

7.2. Вероятность появления события в опыте равна . Опыт повторили 8 раз независимым образом. Найти вероятность того, что событие появится хотя бы один раз, но не более трех раз.

7.3. В приборе стоят 6 одинаковых предохранителей. Для каждого из них вероятность перегореть после 1000 часов работы равна 0,4. Если перегорело не менее двух предохранителей, то прибор требует ремонта. Найти вероятность того, что прибор потребует ремонта после 1000 часов работы, если предохранители перегорают независимо друг от друга.

7.4. Для уничтожения танка требуется не менее 2-х попаданий. Найти вероятность того, что танк будет уничтожен 10-ю выстрелами, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4.

7.5. Производится 8 независимых выстрелов по резервуару с горючим, причем первый попавший снаряд вызывает течь горючего, а второй - воспламенение его. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,2. Найти вероятность того, что резервуар будет зажжен.

7.6. Всхожесть ржи составляет . Чему равна вероятность того, что из 7 посеянных семян взойдут 5?

7.7. В классе 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из трех вопросов, заданных учителем, ответили по одному ученику. Какова вероятность того, что среди ответивших было два мальчика и одна девочка?

7.8. Какова вероятность того, что при бросании игральной кости число очков, кратное трем, выпадет больше двух раз, но меньше пяти раз?

7.9. Вероятность попадания в цель . Сбрасывается одиночно 8 бомб. Найти вероятность того, что будет: 1) не менее 7 попаданий; 2) не менее одного попадания.

7.10. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он включен в данный момент, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент в цехе: а) включено 4 мотора; б) выключены все моторы.

7.11. Вероятность появления события в опыте равна . Опыт повторили 8 раз независимым образом. Чему равно наиболее вероятное число появлений события ?

7.12. Производится 5 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле – 0,3. Для получения зачета нужно не менее трех попаданий. Найти вероятность получения зачета.

7.13. Всхожесть семян данного сорта растений равна 80%. Найти вероятность того, что из 5 посеянных семян а) взойдет не менее 4, б) точно 3.

7.14. Устройство состоит из 10 элементов, и вероятность отказа каждого элемента в течение T часов равна 0,2. Найти вероятность того, что устройство выйдет из строя, если для этого нужно, чтобы отказало не менее 3-х элементов.

7.15. Что вероятнее – выиграть в шахматы у равносильного противника (ничейный результат исключается) три партии из четырех или пять из восьми?

7.16. Вероятность появления события в опыте равна . Опыт повторили 8 раз независимым образом. Найти вероятность того, что событие при этом появится хотя бы два раза.

7.17. Сбрасывается одиночно 8 бомб, вероятность попадания в цель равна 0.25. Найти вероятность того, что будет а) не менее 7 попаданий; б) не менее 1 попадания.

7.18. На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0.8. Найти вероятность нормальной работы транспорта в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 8 автомашин.

7.19. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0.1. Найти вероятность того, что сообщение из 5 знаков а) не будет искажено; б) будет иметь не более 3-х искажений.

7.20. Для уничтожения танка требуется не менее 2-х попаданий. Найти вероятность того, что танк будет уничтожен 6-ю выстрелами, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,42.

7.21. Пара одинаковых игральных костей бросается 7 раз. Найти вероятность того, что дважды сумма выпавших очков будет равна 7.

7.22. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход энергии в течение 4 суток не превысит нормы.

7.23. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, не менее двух мальчиков.

7.24. В елочной гирлянде 10 лампочек соединили последовательно. Вероятность перегореть для любой лампочки при повышении напряжения в сети равна 0,1. Найти вероятность разрыва цепи при повышении напряжения в сети.

7.25. В урне находятся шары с номерами от 1 до 7. Опыт состоит в выборе одного шара. Найти вероятность того, что в 6 опытах не менее пяти раз появится четное число.

7.26. Для уничтожения цели требуется не менее 3-х попаданий. Найти вероятность того, что цель будет уничтожен 5-ю выстрелами, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,35.

7.27. Опыт состоит в бросании двух одинаковых монет. Найти вероятность того, что в 6 опытах не более двух раз на обеих монетах выпадет герб.

7.28. Опыт состоит в одновременном выборе 2-х шаров из урны, в которой 4 белых и 10 синих шаров. Найти вероятность того, что в 5 опытах 3 раза будет выбрано 2 синих шара.

7.29. Пара одинаковых игральных костей бросается 7 раз. Найти вероятность того, что, по крайней мере, один раз сумма выпавших очков будет равна 7.

7.30. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,15. Найти вероятность того, что сообщение из 4 знаков а) будет искажено; б) будет иметь не более одного искажения.

Задание 8.

Вероятность появления события в каждом из испытаний постоянна и равна . Используя интегральную и локальную теоремы Лапласа, найти вероятность того, что событие появится: а) не менее и не более раз; б) не более раз; в) ровно раз.

9.1.

9.2.

9.3.

9.4.

9.5.

9.6.

9.7.

9.8.

9.9.

9.10.

9.11.

9.12.

9.13.

9.14.

9.15.

9.16.

9.17.

9.18.

9.19.

9.20.

9.21.

9.22.

9.23.

9.24.

9.25.

9.26.

9.27.

9.28.

9.29.

9.30.

Задание 9.

10.1. Стрелок производит по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Построить ряд распределения случайной величины – числа попаданий. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить математическое ожидание и дисперсию .

10.2. В урне имеется 4 шара с номерами от 1 до 4. Вынули 2 шара. Случайная величина – сумма номеров шаров. Построить ряд распределения случайной величины . Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить математическое ожидание и дисперсию .

10.3. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее пять раз подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают в урну и шары перемешивают. Приняв за случайную величину – число извлеченных белых шаров, составить закон распределения этой случайной величины. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить математическое ожидание и дисперсию .

10.4. Из партии, состоящей из 100 изделий, среди которых имеется 10 бракованных, выбраны случайным образом пять изделий для проверки их качества. Построить ряд распределения случайного числа бракованных изделий, содержащихся в выборке. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить математическое ожидание и дисперсию .

10.5. На пути движения автомашины 4 светофора. Каждый из них с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо запрещает автомашине дальнейшее движение. Построить ряд распределения случайной величины – числа светофоров, пройденных автомашиной до первой остановки. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить математическое ожидание и дисперсию .

10.6. Производятся последовательные испытания пяти приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Построить ряд распределения случайной величины – случайного числа испытанных приборов, если вероятность выдержать испытания для каждого из них равна 0,9. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить математическое ожидание и дисперсию .

10.7. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шаров, случайным образом и без возвращения извлекается 3 шара. Случайная величина – число белых шаров в выборке. Описать закон распределения. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить математическое ожидание и дисперсию .

10.8. Из 25 радиоламп, среди которых 10 бракованных, случайным образом выбраны 5 радиоламп для проверки их параметров. Определить и построить: 1) ряд распределения числа бракованных радиоламп; 2) функцию распределения ; 3) математическое ожидание ; 4) дисперсию .

10.9. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Составить закон распределения случайной величины – числа выстрелов, производимых охотником. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти функцию распределения , построить ее график. Определить математическое ожидание и дисперсию .

10.10. Стрелок производит по мишени 3 выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Построить ряд распределения случайной величины – числа попаданий. Найти функцию распределения , построить ее график. Определить математическое ожидание и дисперсию .

10.11. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения случайной величины – числа библиотек, которые посетит студент, если в городе четыре библиотеки. Найти функцию распределения , построить ее график. Определить математическое ожидание и дисперсию .

10.12. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,4. Производится 6 выстрелов. Составить закон распределения случайной величины – числа попаданий. Найти функцию распределения , построить ее график. Определить математическое ожидание и дисперсию .

10.13. При установившемся технологическом процессе всей продукции станок-автомат выпускает первым сортом, а – вторым. Построить ряд распределения случайной величины и функцию распределения числа изделий второго сорта среди 5 штук отобранных случайным образом. Построить график . Определить математическое ожидание и дисперсию .

10.14. По одной и той же стартовой позиции противника производится пуск 5 ракет, причем вероятность попадания в цель при каждом пуске равна 0,8. Построить ряд распределения случайной величины – числа попадания, функцию распределения . Построить график . Определить математическое ожидание и дисперсию .

10.15. Устройство состоит из 3-х независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в данном опыте равна 0,1. Составить ряд распределения случайной величины – числа отказавших элементов в данном опыте. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить математическое ожидание и дисперсию .

10.16. Составить ряд распределения случайной величины – числа появления “герба” при двух подбрасываний монеты. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить математическое ожидание и дисперсию .

10.17. В партии 10 деталей, среди которых 3 нестандартных, наудачу отобраны 2 детали. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины – числа нестандартных деталей среди 2-х отобранных. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить математическое ожидание и дисперсию .

10.18. Составить ряд распределения случайной величины – числа появления события в 3-х независимых испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна . Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить математическое ожидание и дисперсию .

10.19. В городе 4 библиотеки. Вероятность того, что необходимая студенту книга свободна, равна для каждой библиотеки. Составить ряд распределения случайной величины – числа библиотек, которые посетит студент. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить математическое ожидание и дисперсию .

10.20. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить ряд распределения случайной величины – числа стандартных деталей среди 3-х отобранных. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить математическое ожидание и дисперсию .

10.21. Производится 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле – . Составить ряд распределения случайной величины – числа попаданий. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить математическое ожидание и дисперсию .

10.22. Из 10 радиоламп, среди которых 3 бракованных, случайным образом выбраны 4 радиолампы для проверки их параметров. Составить ряд распределения случайной величины – числа бракованных радиоламп в выборке. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить математическое ожидание и дисперсию .

10.23. Устройство состоит из 3 независимо работающих узлов. Вероятность отказа каждого узла в течение времени равна . Составить ряд распределения случайной величины – числа отказов за время . Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить математическое ожидание и дисперсию .

10.24. Вероятность попадания мячом в корзину равна . Мяч брошен 3 раза. Построить ряд распределения случайной величины – числа попаданий. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить математическое ожидание и дисперсию .

10.25. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна . Построить ряд распределения случайной величины – числа промахов до первого попадания при 4-х выстрелах. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить математическое ожидание и дисперсию .

10.26. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна . Составить ряд распределения случайной величины – числа искаженных знаков среди 4 переданных. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить математическое ожидание и дисперсию .

10.27. В партии 12 деталей, среди них 5 нестандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Составить ряд распределения случайной величины – числа нестандартных деталей среди 2-х отобранных. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить математическое ожидание и дисперсию .

10.28. В городе 3 библиотеки. Вероятность того, что необходимая студенту книга свободна, равна для каждой библиотеки. Составить ряд распределения случайной величины – числа библиотек, которые посетит студент. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить математическое ожидание и дисперсию .

10.29. Производится 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле – . Составить ряд распределения случайной величины – числа промахов. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить математическое ожидание и дисперсию .

10.30. Устройство состоит из 3 независимо работающих узлов. Вероятность отказа каждого узла в течение времени равна . Составить ряд распределения случайной величины – числа узлов, которые за время не отказали. Найти функцию распределения , построить ее график, вычислить математическое ожидание и дисперсию .