2. Вычислить тройной интеграл

1

dxdydz, ес-

V 1 x2 y2 z2

ли область V ограничена сферой x2 y2 z2

1 и плоскостями

х =

0; у = 0; z = 0.

С

y2 dxdydz, если область

3. Вычислить тройной интеграл x2

V

V огран чена сферами x2 y2 z2

1; x2 y2 z2

4.

4. Выч сл ть тройной интеграл zdxdydz, если область V огра-

ничена5. Выч сл ть тройной интеграл z x2

y2dxdydz, если об-

V

кон ческой поверхностью x2+y2=z2,

цилиндрической поверх-

ностью с образующей параллельной оси Oz x2+y2=R2 и плоскостью

z=0.

V

ласть V огран чена ц л ндрической поверхностью x2+y2=2х и плос-

костями у = 0; z = 0; z = 2.

Ответы

2

56

R4

Дz

32

1.

. 2.

. 3.

.

4.

. 5.

.

10

8б15 4А9

§3. Приложения тройных интегралов

1. Вычисление объёма тел

И

5

Объем области V (объем тела) обычно

вычисляют по формуле (2.7), в которой в трой-

ном интеграле можно переходить (если это

удобно) к различным координатам (цилиндри-

ческим, сферическим и др.).

Пример 1. Вычислить объем тела, огра-

ниченного

поверхностями

z 5 x2 y2 ,z 1.
			у
Решение. По заданным уравнениям по-
верхностей в декартовых координатах строим
	х
		Рис. 66

77

область V (рис. 66). Область V

проецируется в область плоскости

x0y, ограниченную окружностью x2 y2

4.

Последнее уравнение получается как пересечение параболоида

z 5 x2 y2

и

плоскости

z 1.

Подставим

в

уравнение

С

(2.9),

получим

z 5 r2 . Откуда

z

5 x2

y2

формулы

1 z 5 r2 .

В цилиндрической системе координат уравнение ок-

ружности

меет в д

sin2 4; r2 4; r 2.

rcos 2

rsin 2 4; r2 cos2

области

до 2 ,

2

Знач т, в

меняется от 0

r от 0 до 2.

Тогда в ц л ндр ческой системе координат искомый объем V

равен

бА

2

2

5 r2

2 2

5 r2

V dxdydz rdrd dz

d rdr

dz

r z

1

dr

d

V

V

0

0

1

0 0

2

2

2 2

2 4r2

r4

r 4 r

2

dr d 4r r

3

dr d

d

2

0 0

0 0

0

4 0

2

2

2

4

2

2

2 2

8 .

4

d

4d 4

0

0

0

ДV

z

2. Вычисление массы трехмерной области V

Масса m тела, занимающего область V в случае, когда задается

плотность x, y,z , вычисляется по формуле (2.6)

И

m x,

y,

z dxdydz.

01(0;0;2)

тела,

Пример

2.

Вычислить

массу

ограниченного поверхностью

конуса z 2 2

x2

y2

и плоско-

стью

z 0 ,

если

плотность

тела

x, y,z z.

Решение. Вершина конуса на-

-2

0

2

у

ходится в точке 01(0, 0, 2). Для полу-

чения уравнения кривой, лежащей

при пересечении конуса с плоско-

х

стью х0у,

подставляем

z 0

в его

Рис. 67

78

уравнение z 2 2 x2 y2 (рис. 67) и получим уравнение окружно-

сти x2 y2 4. Следовательно, сверху тело ограничено поверхно-

стью z 2 x2 y2 , уравнение которой получено из уравнения ко-

С

y2

, а снизу – плоскостью z 0

нической поверхности z 2 x2

. Тогда в цилиндрической системе координат [см. формулу (2.10)]

0 z 2

x2

y2

ли

0 z 2

rcos 2

rsin 2

,

т.е.

0 z 2 r.

Из

уравнения

окружности

x2 y2 4

получим

или

4,

0

rcos

2 rsin

2

4

r2

т.е.

0 r 2,

0 2 .

ледовательно, скомая масса m равна

бА

2

2

2 r

2

2

z

2

2 r

m zdxdydz

d rdr

zdz

r

2

dr d

V

0

0

0

0

0

2 2

2 r 2

1 2 2

1 2

r3

r4

2

r

dr d

4r 4r2

r3 dr

2r2 4

2

2 0 0

3

0 0

2 0

4

0

1 2 4

d

2

2

4

.

2

3

3

3

0

0

3. Вычисление координаты центра масс трехмерной

области V

И

Пусть (x; y;z) – плотность материальной трехмерной области

V , тогда координаты её центра тяжестиДвычисляются по формулам

x (x; y;z)dxdydz

y (x; y;z)dxdydz

xc

V

;

yc

V

;

(x; y;z)dxdydz

(x; y;z)dxdydz

V

V

z (x; y;z)dxdydz

zc

V

.

(2.13)

(x; y;z)dxdydz

V

79

	Пример 3. Вычислить координаты центра масс однородного те-
	ла V,	ограниченного			поверхно-			z
	стями z2 y2 x, x 4.
	Решение. Строим тело, ог-								y	z2 y2	x
	раниченное			данными	поверхно-
	стями (рис. 68). Область V огра-
	ничена		поверхностью парабо-
	лоида	z2 y2 x, отсеченного						0		4	x
	плоскостью х = 4. Его проекция
								4, т.е.	0 r 2,	0 2 , а
	rилиcos rsin 4					r
	на плоскость 0yz представляет
	Ссобой круг, огран ченный ок-
	ружностью z2 y2 4				радиусом				Рис. 68
			бА4 2
	2, уравнен е которой в цилинд-
	рическ х коорд натах				меет вид
		2		2			2

0 х z2								y2								ли rcos 2													rsin 2													x 4, т.е. r2 x 4. Вычис-
лим вначале в цилиндрических координатах массу тела, считая, что
его плотность x, y,z 1:
					dxdydz										2					2				4								2 2							4
m																			d rdr dх																	rх			r2			dr d
		V														0				0			r2										0	0
	2 2									2												2 2												3								2						2			r
	r 4 r dr d																						4r r dr																						2r
																																																			4
	0 0																						0 0																			0																	0
	2											02																							Д
	4d 4														8 .
	0
			1																	1 2				2						4															2				х	2				4
																																						1 2
х								dxdydz															d rdr xdх																									r											dr d
																				m																	m												2
С				m V																		0		0								2										0			0										2
																														r																								r
		2					2								4												2						2							5				2																						6		2
	1												r											1															r									И2
							r		8																										8r									dr																	4 r	2
																			dr d
	m												2												m			0					0				2														m													12
			0 0																																									0													0											0
																		2
	32 2									32												64							8
				d																											.
	3m		0							3m								0				3 8 3

80

Аналогично определяются уС и zС, но так как тело однородное и симметричное относительно оси 0х, то можно сразу записать, что

у = 0 и z = 0.

4. Вычисление моментов инерции трехмерной области V

относительно координатных осей и начала координат

Пусть (x; y;z)

– плотность материальной трехмерной области

V , тогда её момент

нерции относительно координатных осей и на-

и

чала коорд нат выч сляются по формулам

СIox y2

z2 (x; y;z)dxdydz;

V

бА

Ioy

2

z2 (x; y;z)dxdydz;

x

V

Ioz y2

x2 (x; y;z)dxdydz;

V

Io

2

у2

z2 (x; y;z)dxdy.

(2.14)

x

Д

V

Статические моменты тела с плотностью (x;y;z)

относитель-

но координатных плоскостей вычисляются по формулам

Mxy z (x; y;z)dxdydz; Mxz y (x; y;z)dxdydz;

V

V

И

M yz x (x; y;z)dxdydz.

(2.15)

V

Пример 4. Вычислить моменты инерции однородного шара ра-

диусом R и весом Р относительно его центра и диаметра.

Решение. Так как

объем шара V

4

R

3

, то его постоянная

3

3P

плотность (x; y;z)

. Поместим центр шара в начале коорди-

4g R3

нат, тогда его поверхность

будет определяться

уравнением

x2 y2 z2 R2.

81

Момент инерции относительно центра шара удобно вычислять в

сферических координатах, в которых

x2 y2

z2

R2преобразуется

к виду r2 R2, т.е.

0 r R, 0 ,

0 . Тогда по формулам

(2.12) и (2.14) имеем

С

r2r2 sin drd d

Io

2

у2

z2 (x;y;z)dxdy

x

V

V

2

R

2

r5

R

sin

r4dr

d d

sin

d

d

3

и0

5

0

0

0

0 0

0

R5 2

R5 2

R5 2

2

sin d d

cos

d

cos0 cos d

бА2 2 2 2 2 2

5

0 0

5

0

0

5

0

2 R5 2

d

2 R5

2

2R5

3P

3

P

R

2

5

5

5

4g R

2

5

g

.

0

Так как вследствие однородности и симметрии шара его момен-

ты инерции относительно лю ого диаметра равны,

вычислим момент

инерции относительно диаметра, лежащего, например, на оси Oz:

Ix

2

у2 (x; y;z)dxdy

x

V

(r

sin

cos

r

sin sin

)r

sin drd d

V

2

sin3

R

r2 sin2 r2 sin drd d

r4dr d d

V

0

0

0

2

r

5

R

R

5

Д

2

sin3

d

d

1 cos2

sin d d

5

5

0

0

0

0

0

R5 2

2

R5 2

cos3

1 cos

d cos d

cos

d

5

0

0

5

0

И3

R5 2

cos3

cos3 0

0

5

cos

3

cos0

3

d

0

4 R5 2

4 R5

2

4R5

3P

2 P

2

d

2

R

.

15

0

15

0

15 4g R3

5 g

82