2. Вычисление тройного интеграла в сферической системе координат

	z					В сферических координатах по-
					ложение точки М в пространстве опре-
			M(r, , )		деляется тремя числами (r ): r –
					длина радиуса-вектора точки М; –
					угол между радиусом-вектором
	r									ОМ и
				y	осью 0Z; – угол между				ортогональ-
	0
и
С					ной проекцией ОN радиуса-вектора и
					осью 0Х, отсчитываемый в положи-
			N
x					тельном направлении (рис. 64).
	Р с. 64					Для любой точки пространства
	бА
					M(r ), очевидно, сферические коор-
					динаты удовлетворяют				условиям:
r (			ли ), .
Связь между сферическими и декартовыми координатами то-
чек выражается формулами (см. рис. 64)
x ON cos ;						x=rsin cos ;
									(2.11)
y ON sin ; ON rsin y=rsin sin ;
z=rcos ;						z=rcos .

			Д
		Нетрудно убедиться, что элемент объёма dV r2 sinθ drd dθ,
поэтому формулу перехода от декартовых координат к сферической
системе координатам можно записать следующим образом:
f (x, y,z)dxdydz					И
V
		f (rsin cos ,rsin sin ,rcos )			2sin drd d .		2.12
				r
	V	Сферические координаты удобны в тех случаях,				как правило,

когда область интегрирования V ограничена сферическими поверхностями. При вычислении тройного интеграла в сферических координатах внутренний интеграл, как правило, берётся по переменной r. Наиболее просто определяются пределы интегрирования, если область V ограничена координатными поверхностями, так как в этом случае пределы интегрирования внутреннего и среднего интегралов будут постоянными.

75

Данный факт часто является основополагающим для выбора со-

ответствующей замены переменных при вычислении тройного инте-

грала.

Пример 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностя-

ми x2+y2+z2=R2, x2+y2=z2 (z 0).

Решение. Так как искомое тело (рис. 65) ограничено снизу ко-

нусом z

x2 y2 ,

а сверху сферой x2

y2

z2

R2,

то воспользу-

емся сфер ческ ми координатами.

Z

x2+y2+z2=R2

Из формул (2.11) следует, что урав-

нение сферы x2+y2+z2=R2 преобра-

Сзуется

к

виду

x2+y2=z2

r2sin2 cos2 +r2sin2 sin2 +r2cos2 =R2

r=R.

Уравнен е конуса x2+y2=z2

0

y

примет в д

x

или2 2 2 2 2 2 2

2

r sin cos +r sin sin =r cos

Рис. 65

или tg2 =1, откуда угол между ра-

диусом-вектором, соединяющим

точки на границе сферы и цилиндра и осью 0z равен . Значит,

0 .

4

4

Согласно выражениям (2. 7) и (2.9) имеем

бА

R

R

d r2 cos

4

dxdydz r2 sin drd d dr d r

2sin d dr

4

V

V

0

0

0

0

R

2

2

2

R

2

2

R

Д2 2

dr d r

2

1

1

2

r

dr d

2

r dr

0

0

0

2 2 2

R

2

2 r

3 R

3

2 2

.

r2dr

R

2

0

3 0

3

И

Задачи для решения в аудитории

1. Вычислить тройной интеграл x2 y2 z2 dxdydz, если об-

V

ласть V ограничена сферой x2 y2 z2 z.

76