z

1

nn

СибАДИx 001z xz x yРис. 111 01z yz y так как интегралы по yz и yz , а также по xz и xz взаимно уничто-

жаются, а d S по свойству определенного интеграла.

ху

§5. Формула Гаусса – Остроградского

Формула Гаусса – Остроградского является аналогом формулы Грина – Остроградского. Эта формула устанавливает связь между тройным интегралом по замкнутой области V интегралом второго рода по замкнутой поверхности S, которая ограничивает эту область.

Для вывода формулы Гаусса – Остроградского надо воспользоваться рассуждениями, подобными тем, которые использовались при нахождении формулы Грина – Остроградского.

Пусть в пространстве задана правильная трехмерная область V, ограниченная замкнутой поверхностью σ и проектирующаяся на плоскость Оху в правильную двухмерную область D. Предположим, что поверхность σ можно разбить на три части σ1, σ2 и σ3 так, что уравнения первых двух имеют вид z = fl (х, у) и z = f2 (x, у), где f1(x, у) и f2 (x, у) – функции, непрерывные в области D, а третья часть σ3 есть цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси 0z.

165

Затем рассматриваются случаи, когда поверхность ограничена цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными другим координатным осям.

Далее полученные результаты обобщаются, приводя к формуле

Гаусса – Остроградского:

Хdydz Ydzdx Zdxdy

S

X(x, y,z)

Y(x, y,z)

Z(x, y,z)

.

(4.16)

x

y

z

dxdydz

V

Отмет м,

что эта формула применима для вычисления поверх-

С

ностных

нтегралов по замкнутой поверхности.

На практ ке формулу Гаусса – Остроградского можно приме-

нять для выч

слен

я о ъема тел,

если известна поверхность, ограни-

чивающая это тело.

выч слен

пользуются формулой

При

V xdydz ydxdz zdxdy dxdydz.

S

S

S

V

Пример 4. Найти формулу вычисления объема шара.

Решение. В поперечных сечениях шара (сечения параллельны

плоскости х0у) получаются окружности.

Уравнение шара имеет вид x2 y2

z2

R2.

Найти объем шара можно по формуле

бА

R

R2 x2

R2 x2

y2

R

R2

x2

R2 x2

y2 dy

V

dzdydx 8 dx

R

R2 x2

R2 x2 y2

0

R2 x2

R y

R2 x2 y2

R2

x2

y

R2

x

2

8

arcsin

Дdx

2

2

0

R

2

x

2

0

R R2 x2

2

x3

R

4 R

3

=8

dx 2 R

x

.

2

2

3

3

0

0

Для решения этой же задачи можно воспользоватьсяИпреобразо-

ванием интеграла к сферическим координатам. Это значительно уп-

ростит интегрирование.

R

R3

2

4 R3

V d 2 d 2 sin d 2 d

sin d

2R3d

.

3

3

3

0

0

0

0

0

0

166

Отметим, что эта формула справедлива для любой области, которая может быть разбита на области, удовлетворяющие условиям, указанным в начале этого параграфа.

Дадим гидромеханическую интерпретацию полученной выше

формулы.
С		; yi;zi i Y xi; yi;zi j Z xi; yi;zi k есть
Пусть вектор F Х xi
вектор скорости жидкости, протекающей через область V. Тогда инте-
грал по поверхности, стоящей в формуле (4.16), есть интеграл от про-
екции вектора F на внешнюю нормаль n,					он дает количество жидко-
интеграл
сти, вытекающей	з области	V через поверхность S в единицу време-
ни (или втекающей в область V, если этот интеграл отрицателен). Это
количество выражается через тройной интеграл от divF.
	X(x, y,z)		Y(x, y,z)		Z(x, y,z)
любой
Если divF	x		y		z	0, то двойной
по	замкнутой поверхности равен нулю, т. е. количе-
ство вытекающей ( ли втекающей) через любую замкнутую поверх-
ность S ж дкости	удет равно нулю (отсутствуют источники). Точнее
	А
говоря, количество жидкости, втекающей внутрь области, равно ко-
личеству жидкости, вытекающей из этой области.
В векторной форме формула Гаусса – Остроградского имеет вид
	divFdV F,n dS
	V		S

и читается так: интеграл от дивергенции векторного поля F, распространенный по некоторому объему, равен потоку вектора через по-

верхность, ограничивающую данный объем.
Пример	5.	Найти	поток	векторного	поля
F (y x)i (x y) j yk				И
		черезДсторону треугольника S, вырезанно-

го из плоскости x y z 1 0 координатными плоскостями. Решение. Все координаты нормали к плоскости x y z 1 0

имеют постоянный положительный знак, не зависящий от координат точки, в которой она проведена. При этом внешняя нормаль к данному треугольнику образует острые угол с осью 0z, 0у и 0х (рис. 112), то есть cos 0; cos 0 и cos 0.

167

			Проекции ху,									уz и zx –										z
треугольники,										ограниченные																x+y+z=1
																										х+у+z =1
прямыми (см. рис.112)															и осями					z=1–y
координат.																				z	= 1–у					z=z1=–1–х	x
П F,n ds (y x)dydz
		S							S											yу							х
(x y)dxdz ydxdy																										y
1		1 y																								у = 1–zх= 1 х
dy (y y z 1)dz																										Рис. 112
0			0
																								Рис. 1Р12
С
1		1 z
dz (x 1 z x)dx
0			0
1		1 x					1		2yz z				2			1 y			1		1 z	1	y		2	1 x
dx ydy														z					x zx
и																			0		0	0 2 0
0			0				0					2					0
1		2y 2y2 1								y y				2						1
															1 y dy 1 z z z2 dz
								2					2
0																				0
1 1			x			x2				1				3y2		2y				1		z	2			z3 1
		2				2	dx								2					dy z
0										0										2						3 0
				2			3		1					3						1
						бА
x x					x					y					y		2	y		1 1		1
	2 2					6		0			2							2	0			3
1 1 1 1 1 1 3 1.																			Д
2			2		6			2				2			6		2
										Задачи для решения в аудитории
			1.		Вычислить										4							И
															3	у 2х z dS,					где		S			– часть плоскости
													S
х у z 1, заключенная в первом октанте.
2		3		4
																			168

2. Вычислить хуzdS, где S – часть плоскости x y z 1, за-

S

ключенная в первом октанте.

3. Найти ydS, где S – полусфера z R2 x2 y2 .

S

С

zdxdy,

где

S –

внешняя

сторона сферы

4.

Найти

x2 y2 z2 R2.

S

5.

Найти

х2dydz y2dzdx z2dxdy, где S –

внешняя сторона

Найти

S

поверхности сферы x2 y2

z2 R2.

6.

хzdydz yxdzdx zydxdy, где S – внешняя сторона пи-

S

рамиды, составленной плоскостями x 0; y 0;z 0;x y z 1.

7.

хcos ycos zcos dS, где S – поверхность эл-

S

липсо да x2 y2

z2

R2

, где

0 z b.

a2

b2

c2

8.

Вычислить

х2dydz y2dzdx z2dxdy,

где S – поверхность

x2

y2

z2

S

конуса

R2.

2

a

b

2

2

c

бАОтветы

3

4

3

1

1

2

2

1. 4 61. 2.

. 3. 0. 4.

R

. 5.

0. 6.

Д. 7. a b . 8. 4 abc.

1.Как определяется поверхностный интегралИпервого рода?

2.Приведите способы его вычисления.

3.Приведите свойства поверхностного интеграла первого рода.

4.Какие приложения поверхностного интеграла первого рода вы

знаете?

5.Как определяется поверхностный интеграл второго рода?

6.Приведите свойства поверхностного интеграла второго рода.

7.Какие вы знаете способы его вычисления?

169