- •Введение
- •Глава 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
- •§1. Определение двойного интеграла
- •§2. Замена переменных в двойном интеграле
- •§3. Приложения двойного интеграла
- •1. Вычисление объёма цилиндрического тела
- •2. Масса материальной двумерной пластинки D
- •3. Площадь плоской фигуры
- •4. Координаты центра тяжести плоской пластины D
- •5. Момент инерции плоской пластины относительно координатных осей
- •Вопросы и задания для самопроверки
- •Контрольная работа по разделу «Двойные интегралы»
- •Глава 2. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
- •§1. Понятие о тройном интеграле
- •§2. Замена переменных в тройном интеграле
- •2. Вычисление тройного интеграла в сферической системе координат
- •§3. Приложения тройных интегралов
- •1. Вычисление объёма тел
- •2. Вычисление массы трехмерной области V
- •Контрольная работа по разделу «Тройные интегралы»
- •Вопросы и задания для самопроверки
- •Глава 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- •§ 1. Криволинейные интегралы первого рода
- •1. Параметрическое задание дуги АВ
- •§ 3. Формула Остроградского – Грина
- •Глава 4. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- •§3. Поверхностный интеграл второго рода (от вектор-функции)
- •§4. Вычисление поверхностного интеграла второго рода (от вектор-функции)
- •§5. Формула Гаусса – Остроградского
- •Библиографический список
3. |
2 |
x2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
1 |
|
y |
|
2 |
1 |
|
||
dx f (x; y)dy dx f (x; y)dy . 4. |
dy f (x; y)dx dy f (x; y)dx . |
||||||||||||||||
|
0 |
0 |
2 |
|
0 |
|
|
|
0 |
y |
1 |
y |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
5. |
320 |
. 6. |
24. 7. |
33 |
. |
8. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
С |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
140 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
§2. Замена переменных в двойном интеграле |
||||||||||||||
|
|
|
выч слен |
двойных интегралов иногда бывает полезно |
|||||||||||||
При |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
сделать замену переменных. Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u u u,v ; |
|
|
|
|
|
(1.12) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v v u,v |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
бА |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– функц |
, определенные на всей плоскости x0y |
или в некоторой ее |
|||||||||||||||
области |
меющ е непрерывные частные производные в области |
. Допуст м также, что систему уравнений (1.12) можно однозначно разрешить относительно x и y[2]:
x x u,v ;
(1.13)
y y u,v ,
тогда каждой точке M x, y из области будет взаимно-однозначно соответствовать пара чисел u,v , называемых криволинейными интегралами этой точки. Если область расположена в той части плоско-
сти x0y, в которой введены криволинейные координаты u, |
v, то |
|||||
справедлива следующая формулаД: |
||||||
|
f x, y dxdy |
|
f x u,v , y u,v |
J u,v |
dudv, |
(1.14) |
|
|
|
|
И |
||
|
|
|
|
|
|
|
где – область изменения криволинейных координат u и v, отвечающая области ; J u,v преобразования (1.13),
|
|
x |
|
x |
|
x |
|
y |
|
x |
|
y |
|
J u,v |
|
u |
|
v |
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
y |
|
y |
|
u v |
|
v u |
|||||
|
|
u |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
В частности, в полярных координатах формула (1.13) имеет вид
(рис. 13)
|
|
|
|
|
|
|
x rcos ; |
|
(1.15) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
y rsin . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
истема (1.15) осуществляет переход от прямоугольных коор- |
||||||||||||||||
|
динат x y к полярным координатам r и при условии, |
что полюс |
||||||||||||||||
|
кривой помещен в начале координат и полярная ось направлена вдоль |
|||||||||||||||||
|
оси 0x (р с. 14). В этом случае |
|
J |
|
|
r формула (1.14) принимает вид |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.14 |
|
х |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
f x, y dxdy f rcos ,rsin rd dr. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Если область |
|
ограничена лучами, образующими с полярной |
||||||||||||||
|
осью углы |
1 |
2 |
1 2 , кривыми |
r r1 и |
r r2 |
||||||||||||
|
r1 r2 |
(см. рис. 14), то соответствующие этой области поляр- |
||||||||||||||||
|
ные координаты изменяются в пределах |
|
|
|
|
|||||||||||||
СибАДИ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1;r1 r r2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
и тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
r2 |
|
(1.16) |
||||||||
|
|
|
f x, y dxdy d |
f rcos ,rsin rdr. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
r1 |
|
|
|
|
17
Если область охватывает начало координат, то
|
|
|
|
|
|
2 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x, y dxdy d |
f rcos ,rsin r dr, |
(1.17) |
|||||||||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
r r полярное уравнение кривой, |
ограничивающее область |
|||||||||||||||
(рис. 15). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Формулы (1.16) (1.17) очень удобно использовать при реше- |
||||||||||||||||
нии задач, когда область есть круг или сектор круга. |
|
||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
бАРис. 15 Рис. 16 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 x2 y2 dxdy, |
|||||||||||||||
|
Пример 1. Вычислить двойной интеграл |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если область ограничена окружностью x |
2 y2 |
1 (рис. 16). |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Д |
|
||||||||||
|
Решение. Область есть круг радиусом 1 с центрами в начале |
||||||||||||||||
координат. Введем полярные координаты. |
В полярных координатах |
||||||||||||||||
уравнение окружности |
примет |
вид |
|
|
И |
||||||||||||
rcos 2 |
|
|
rsin 2 1, |
или |
|||||||||||||
r2 cos2 r2 sin2 1 [см. формулы (1.15)], т.е. r2 |
1 или r 1. |
||||||||||||||||
|
Тогда по формуле (1.17) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 rcos 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 x2 y2 dxdy |
rsin 2rdr d |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
1 r |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 r |
|
|
rdr d |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
dt d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
rdr d |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
12 t2 |
0 |
|
|
|
12 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|0 |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
С |
2 0 1.5 |
1.5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 0 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
0 1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Замечан е. Интеграл |
|
1 r2 |
|
2 |
rdr |
взят методом замены пере- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
менной. Полож м 1 r2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
t. При r |
0 |
получим t 1, а при r 1 t 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
. Изменен ю переменой r |
от r 0 до r 1 соответствует изменение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переменной t от t |
1 до t |
0. |
d 1 r2 dt, |
или 2rdr dt , |
откуда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dr |
|
|
dt |
|
. Подставляя полученные выражения в интеграл, получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2r |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 r2 |
2 |
r dr |
1 |
|
t2 dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
3x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Вычислить двойной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у=х |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
интеграл |
|
|
|
|
4 x2 |
y2 dxdy, |
|
|
если об- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
ласть |
|
|
|
|
ограничена |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
линиями: дугой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
окружностибx y 4 Аи прямыми |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y x; y |
|
|
|
3 |
x |
x 0 (рис. 17). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. Введем полярные коор- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
динаты. |
|
Тогда |
|
уравнение |
окружности |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
примет |
|
вид |
rcos |
|
rsin |
|
4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
r2 cos2 sin2 4; r2 |
4; |
|
|
r 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Проведя лучи, исходящие из полюса, увидим, что для них r 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
– линия входа, а r 2 – линия выхода, следовательно, |
r изменяется в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
границах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
0 r 2.
Найдем угол между прямой y 3x и осью 0x(полярной осью). В полярных координатах уравнение прямой примет вид
19
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rsin |
|
|
|
|
|
rcos ; |
|
sin |
|
|
|
|
|
; tg |
|
|
|
; |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Значит, угол между прямой y |
|
|
|
|
|
x и осью 0x(полярной осью) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
равен |
|
|
. Найдем угол между прямой y x |
и осью 0x. В полярных |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
СибАДИ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
координатах данное уравнение примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rsin rcos ; |
sin |
1; |
tg 1; |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Так м образом, получим пределы изменения угла от |
|
до |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
По формуле (1.16) |
|
|
|
меем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
4 rcos 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdy |
|
rsin 2 rdr d |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 r2 rdr |
d |
|
|
|
|
|
4 r2 2 d 4 r2 d |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 r |
2 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 r |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|02 d 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|02d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
4 2 |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
d |
3 |
|
8 d |
3 |
d |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. При вычислении интеграла воспользовались прие- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
мом |
|
|
внесения |
|
|
под |
знак |
дифференциала: |
rdr 1 d 4 r2 , |
т.к. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
d 4 r2 |
4 r2 dr |
|
1 2 r dr r dr. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Вычислить двойной |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
||||||||||||||
интеграл |
|
x2 y2 |
9dxdy, если |
об- |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ласть ограничена линиями – дугами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
окружности |
x2 y2 9 |
|
|
x2 y2 25 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(рис. 18). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Так как область интег- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
х |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рирован я является кольцом с центром |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в точке О(0;0) (р с. 18), то введём по- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лярные коорд наты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
СТогда уравнен |
я |
|
|
|
окружностей |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
д rcos 2 |
|
rsin 2 |
9; |
|
|
|
|
Рис. 18 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
r2 cos2 sin2 9; |
r2 9; r 3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
примутr cos sin 25; r 25; r 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Проведя лучи, сходящие из полюса (начала координат), уви- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дим, что для них r 3 |
|
– линия входа, а r 5 – линия выхода, следо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вательно, |
r изменяется в границах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 r 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Тогда по формуле (1.17) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бА |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 5 |
|
|
rcos 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y2 9 dxdy |
|
|
|
|
rsin 2 9rdr d |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
Д |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
r 9rdr d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
9 |
rdr d |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
12 16 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
12 t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
64 |
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 dt d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
Иd |
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 0 1,5 |
|
1,5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
128 |
2 |
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
128 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|0 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. Вычислить двойной интеграл ydxdy, если область
21
|
ограничена верхней половиной дуги окружности x2 y2 |
ax и от- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
резком оси 0x от точки с абсциссой, |
равной 0, до точки с абсциссой, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
равной a (рис. 19). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Введем полярные координаты. Тогда уравнение ок- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ружности примет вид |
|
|
|
rcos 2 |
rsin 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcos ; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 cos2 r2 sin2 arcos ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 cos2 sin2 arcos ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 1 arcos или окончательно имеем |
||||||||||||||||||||||||||||
С r acos . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проведя лучи, исходящие из по- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бА |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
люса, увидим, что для них r 0 – линия |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
входа, |
а |
|
r acos |
|
– |
линия выхода, |
|||||||||||||||||||||||
|
иследовательно, |
|
r изменяется в границах |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 r acos . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем область определения этой |
||||||||||||||||||||||||||
|
функции r. Так как, по определению, |
|
r 0, |
|
|
то |
|
acos 0, то есть |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
. Верхняя часть дуги окружности лежит в первой четвер- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ти, для которой меняется в пределах от 0 до |
|
|
. По формуле (1.16) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
acos |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
acos |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2dr |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
имеем ydxdy |
|
|
rsin rdr d |
sin |
|
|
|
|
d |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
r3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a3 cos3 |
|
|
|
|
|
|
a3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
acos |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
sin |
|
| |
|
|
|
|
d sin |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
cos |
|
dcos |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
a |
3 cos |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
a |
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
a |
3 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
cos |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|0 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 4 |
|
12 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5. Вычислить площадь области, ограниченной лемни-
скатой Бернулли r2 cos2 (рис. 20).
22
Решение. Проведя лучи, исходящие из полюса, увидим, что для них r 0 – линия входа, а r cos2 – линия выхода, следовательно, r изменяется в границах
|
|
|
|
|
0 r |
|
|
|
cos2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Вычислим |
четвертую часть площади |
|
|
0 |
1 |
r |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
фигуры, для которой дуга окружности лежит |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
в первой четверти, т. е. меняется в пределах |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
от 0 до |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 20 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
4 |
cos 2 |
|
|
4 r2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||
S 4 dxdy 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 cos2 d |
|
||||||||||||
|
rdr d 4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
cos2 d 2 sin2 |
4 |
sin0 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Замечание. Отметим, что при вычислении двойного интеграла в |
|
||||||||||||||||||||||||
декартовых координатах о ласть интегрирования разбивалась на ма- |
|
|||||||||||||||||||||||||||
лые части линиями х const и |
y const, параллельными координат- |
|
||||||||||||||||||||||||||
ным осям; в полярной системе координат – лучами, исходящими из |
|
|||||||||||||||||||||||||||
полюса const, |
окружностями r const. |
Такие линии называют- |
|
|||||||||||||||||||||||||
ся координатными линиями соответствующей системы координат. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
Вдоль координатных линий одна из координат изменяется, вторая – |
|
|||||||||||||||||||||||||||
остается постоянной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Вспомогательные линии при переходе к повторному интегралу |
|
||||||||||||||||||||||||
тоже должны быть координатными линиями, причем внутренний ин- |
|
|||||||||||||||||||||||||||
теграл имеет постоянные пределы интегрирования только тогда, |
|
|||||||||||||||||||||||||||
когда |
ограничена координатными линиями. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
СиЗадачибдля решенияАв аудиторииДИ(видео 2) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
1. |
Вычислить, |
|
перейдя |
к полярным |
координатам, |
интеграл |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
4 x2 y2dxdy, где область интегрирования : 1 x2+y2 4. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23