Глава 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
§1. Определение двойного интеграла
y		Рассмотрим задачу о нахождении
	σσ	массы	материальной двумерной					пла-
		стинки	, если		известна		плотность
		(x;y) в каждой			ее точке.		Разделим
		данную область произвольным образом
	σi	на n частей (рис. 1) P(x; y). В каждой
Pi	σi	элементарной		части i		выберем по
С	x	одной точке Ρi i;ni и вычислим плот-
		ность i;ni		в точке Ρi .		Тогда масса
Р с. 1		элементарной		пластинки		части		i
ипри лиженно будет равна i;ni i.
Для массы всей пластинки получаем
	m i;ni i .							(1.1)
		i
Приближение (1.1) удет тем точнее, чем мельче будет разбие-
ние области на элементарные части, т.е. чем меньше будет наи-
большее расстояние между произвольными точками любой элемен-
бА
тарной области i	. Следовательно, можно принять, что
	m lim i;ni i ,							(1.2)
		0 i
где наибольший из диаметровДэлементарных частей (диаметр
							i
i – это наибольшее расстояние между произвольными ее точками).
Необходимость рассмотрения выражения вида (1.1) и предела
(1.2) возникает при решении многих других физических и геометри-
ческих задач. В связи с этим дается следующее определение. Пусть
				И
функция f x; y определена в некоторой области . Делим область
на n элементарных частей i . В каждой части i						выбираем по
одной точке Ρi i;ni и составляем выражение
	Sn	f i;ni i .						(1.3)
		i
		4

Определение 1. Выражение вида (1.3) называется интегральной суммой для функции f x; y в области .

Обозначим через наибольший из диаметров элементарных областей i при разбиении области .

	Определение 2. Если существует предел
			S lim f i;ni i				,			(1.4)
				0 i
который не зав с т			от способа деления области						на части i и
выбора точек Ρi i;ni , то этот предел называется двойным интегра-
С				ласти и обозначается f						x;y d , или
лом от функц		f x; y по
f x; y dxdy.			f x; y
		Здесь		называется подынтегральной функцией;
	– областью	нтегр		; x и y – переменными интегрирова-
рования
ния; d ( ли dxdy) – элементом площади.
	Так м	, по определению,
			f x;y dxdy lim f			;n		i	.	(1.5)
	образом				i	i
				0 i
	Функция	f x;y называется интегрируемой в области . Вся-
кая непрерывная в			ограниченной замкнутой				области			функции
			А
f x;y интегрируется в ней. В дальнейшем мы ограничимся рас-
				Д

смотрением только непрерывных функций.

Двойной интеграл обладает следующими простейшими свойст-

вами [1]:				И
1.	f x; y dxdy C f x; y dxdy .
						f2 x; y dxdy.
2.	f1 x; y f2 x; y dxdy f1 x; y dxdy
3. Если область состоит из двух областей 1						и 2 , то
	f x; y dxdy		f1 x; y dxdy		f2 x; y dxdy.
		1		2

5

4. Если функции f (x; y) и g(x; y) интегрируемы на ограниченной области и f (x; y) g(x; y) для всех (x, y) , то

f (x; y)dxdy g(x; y)dxdy.

ледствие. Если m f (x; y) M для всех (x, y) , то

m f x; y dxdy M .

5. Теорема о среднем. Пусть – связная ограниченная область

С

непрерывна на замыкании области . То-

и пусть функц я f (x, y)

гда существует точка ; , для которой выполнено равенство

f x; y dxdy f ;

.

и

бА

у

у

Д

х

у

Рис. 2

Рис. 3

Область на плоскости x0y назовем простой областью:

1) относительно оси 0x, если она ограничена сверху линией

y x , снизу y x [функции (x) и

Иx непрерывны] и с бо-

ков отрезками прямых x a и x b (рис. 2); в частных случаях один из этих отрезков (или оба вместе) могут превратиться в точку (рис. 3);

2) относительно оси	0y , если она ограничена слева линией
x 1 y , справа x 1 y	[функции 1 y и 1 y непрерывны] и

сверху и снизу отрезками прямых y d и y c (рис. 3, 4).

6

0 i

Теперь перейдем к непосредственному вычислению двойного интеграла. Для этого снова рассмотрим задачу о нахождении массы материальной двумерной пластинки .

	у							у
С
	у
	и								х
				х
				х					х
		бА
		Р с. 4							Рис. 5
		Пусть матер альная			о ласть			ограничена снизу		кривой
	y x , сверху – кр		вой y x , с боков – прямыми x a							и x b
(рис. 5), т.е. является простой о ластью вида 1 относительно оси 0x.
Пусть далее функция			f x;y выражает плотность (т.е. «концентра-
цию массы») в точке x;y . Для некоторого x значения выделим ма-
териальный отрезок от точки x; x							до точки x; x и вычислим
массу m x , сконцентрированную на этом отрезке, по формуле
						Д
						x
				m x f x;y dy .
						x
		Далее, спроектируем нашу материальную пластинку на ось 0x,
								И
получим материальный отрезок a;b , плотность которого в каждой
точке x будет выражаться функцией m x . Следовательно, масса это-
го отрезка и всей области будет
		b	b x					b	x
		m m x dx			f x; y dy					(1.6)
							dx dx f x; y dy.
		a	a x					a	x

С другой стороны, выше было доказано

m lim f i;ni i f x;y dxdy.

7

Таким образом, для вычисления двойного интеграла от функции

f x;y

по области получим следующую формулу,

сводящую ее

вычисление к повторному интегралу:

b x

b x

(1.7)

f x;y dxdy

f x;y dy dx dx f x;y dy.

a x

a x

С

Заметим, что в случае вы-

числения объема цилиндрических

тел

интеграл

x

дает

f x;y dy

x

площадь S x поперечного сече-

ния нашего тела (рис. 6), следова-

тельно, весь объем V будет

и b

b x

V

S x dx

x;y dy

f

dx

a

a x

b

x

1.8

Рис. 6

dx f x;y dy.

a

x

Если же область есть про-

стая область вида 2, то всякая прямая, параллельная оси 0x и прохо-

дящая

внутри отрезка

a;b , пересекает

границу в

двух точках:

1

y ;y ибАy ; y (рис. 7). интеграл по такой области вы-

1

числяется по формуле

d

1 y

(1.9)

f x; y dxdy dy

f x; y dx .

c

1 y

Двойной

Наиболее простой вид формулы (1.8) и (1.9) принимают в случае

прямоугольной области

,

ограниченной

прямыми

x a;

x b;

y c;

y d (рис. 8):

И

f x; y dxdy

d

b

dy f x; y dx .

(1.10)

c a

8

у у

у

у

СР с. 7

хх

хх

Рис. 8

ледует замет ть,

что если

не является простой об-

ластью, то ее раз

вают на конечное число простых областей 1, 2 ,

…,привыч слен и двойного интеграла по области исполь-

n

зуют третье свойство двойного интеграла.

Пример 1. Изменить поря-

док интегрирования в интеграле

область

1

2х

y

y 2x

dх f x; y dу .

0

х2

А

2

Решение. Обратим внима-

y x

ние на то, что задан не двойной, а

2

B

повторный

интеграл,

порядок

1

A

интегрирования

в

котором

уже

определен,

из чего

следует, что

x

2

Д

y x

–

уравнение линии,

огра-

0

1

2

ничивающей область σ снизу, а

Рис. 9

y 2x

уравнение

линии,

огра-

ничивающей область σ сверху, а x 0,1 . Зная это, можно восстано-

И

вить пока неизвестную область интегрирования

(рис. 9).

По условию, нужно изменить порядок интегрирования, то есть

вычислить внутренний интеграл по dx, а внешний – по dy. Чтобы не

ошибиться, расставляя новые пределы интегрирования, надо провести

вспомогательные линии. В этом случае они должны пересекать об-

ласть параллельно оси 0X .Для таких прямых, как видно из рис. 9, од-

9

на линия входа в область и две линии выхода, поэтому двойной интеграл сведется не к одному, а к двум повторным интегралам (в соответствии со свойством аддитивности двойного интеграла 3). Таким образом, область интегрирования не принадлежит ко второму типу, т.к. справа ограничена двумя различными линиями x=1 и

х

( у х2 ), а слева однойх

у

( у 2х).

у

СибАДИ

2

Найдемкоорд натыточекпересечениялиний,ограничивающих :

у х2

А 1,1 ;

у 2х

.

х 1

В 1,2

х 1

Поэтому прямой y=1 раз иваем ее на две области второго типа:

1

2 .

Итак,

1

2х

dx f (x; y)dy f (x; y)dxdy f (x; y)dxdy f (x; y)dxdy

0

х2

1

2

1

у

2

1

dy

f (x; y)dx dy f (x; y)dx.

(1.11)

0

у

1

у

2

2

Таким образом,

при вычислении двойного интеграла по данной

области

(см. рис. 9) первоначальный порядок интегрирования яв-

ляется более оптимальным, приводит к одному повторному интегра-

лу.

Заметим, что обе части равенства (1.11) соответствуют одному

двойному интегралу, хотя в правой части формулы (1.11) – два по-

вторных интеграла.

Пример 2. Изменить порядок интегрирования в интеграле

2

1 x2

y

5

dx

f (x; y)dy.

0 0

Решение. По заданным четырем пределам интегрирования записываем уравнения четырех линий, ограничивающих область интегрирования :

x=0; x=2; y=0; y 1 х2 . Строим эти

y х2 1

σ1

	1						x
					σ2

02

Рис. 10

10

линии. Разрешаем уравнение дуги гиперболы y 1 х2 относитель-

но абсциссы x y2 1. Чтобы не ошибиться, расставляя новые пределы интегрирования, надо провести вспомогательные линии. В этом случае они должны пересекать область параллельно оси 0Х. Для таких

прямых, как видно из рис. 10, две линии входа в область и одна линия
СибАДИ
выхода, поэтому двойной интеграл сведется не к одному, а к двум по-
вторным	нтегралам (в соответствии со свойством аддитивности
двойного	нтеграла 3). Таким образом, область интегрирования не
принадлеж т ко второму типу, т.к. слева ограничена двумя различ-
ными л н ями x=0			y			1 х2	. Поэтому прямой y=1 разбиваем ее
на две области второго типа: 1 и 2 . Тогда
2	1 х2
dx	f (x;y)dy f (x; y)dxdy f (x; y)dxdy f (x;y)dxdy
0	0						1	2
1	2			5		2
dy f (x; y)dx			dy			f (x; y)dx.
0	0		1			y2 1

На основании рассмотренных выше примеров можно выделить основные этапы при решении таких задач:

1.1. Для изменения порядка интегрирования в повторном интеграле вначале нужно восстановить область, на которую распространен этот интеграл, перейти к двойному интегралу, затем от двойного перейти к одному или нескольким повторным интегралам с другим порядком интегрирования.

1.2. Для восстановления области интегрирования, на которую распространен повторный интеграл, поступают следующим образом. Если задан интеграл

b x

dx f x;y dy,

a x

то сначала строят вертикальные прямые х=а; х=b. Затем по пределам внутреннего интеграла x и x записывают уравнения нижней и верхней границ области интегрирования: y x ;y x . Строят эти линии до пересечения с прямыми х=а и х=b. Построенные линии ограничивают область интегрирования для двойного интеграла. Для интеграла

11

		d	1 y
		dy	f x; y dx
		c 1 y
строят сначала горизонтальные прямые у=с; y=d, а затем по пределам
интегрирования интеграла 1 у				и 1 у находят уравнения левой и
правой границ области х 1 у				и х 1 у и строят линии, опреде-
ляемые этими уравнениями. Построенные линии ограничивают об-
ласть	нтегр рован я. Если две области интегрирования имеют об-
щую гран цу, то х можно объединить в одну область и интегрирова-
писывают
ние вести по этой области.
С1.3. Полученную о ласть в случае необходимости разбивают на
части так, чтобы они		ыли правильны по соответствующей перемен-
ной,	способом
	уравнен я каждой границы любой части можно было описать
одной формулой. Затем для каждой части области интегрирования за-
	повторный	нтеграл			, указанным ниже.
	1.4. В случае, если внешний интеграл берется по переменной х, а
внутренн й – по переменной у,				ласть интегрирования проецируют
	А

на ось 0х; при этом левый и правый концы полученного отрезка дадут соответственно нижний и верхний пределы интегрирования по х. За-

тем мысленно проводят прямые, параллельные оси 0у через точки области интегрирования. Линия, через которую эти прямые входят в область интегрирования, будет нижней границей области, а через которую выходят - верхней границей. Уравнения этих границ представляют соответственно в виде y x ; y x . Тогда x и x – соответственнонижнийиверхнийпределыинтегрированияпообласти .

уравнениями границ области интегрированияД. Потому, как правило, чем проще уравнения границ, тем проще вычисления интегралов. В разных системах координат уравнение

Пределы интегрирования в повторном интеграле определяются

одной и той же линии имеет различный
			у
вид.
Пример 3. Вычислить двойной ин-
				И
теграл	x	dxdy, если область ограничена
	y

параболами y x2 и x y2 (рис. 11). Решение. Область (см. рис. 11)

– простая (вида 1). Она ограничена снизу

х

Рис. 11

12

кривой x x2, сверху – кривой x y2, т.е. y x или x x2 (перед радикалом ставим только знак «+», так как область нахо-

дится в I квадранте,

где y 0); при любом фиксированном значении

x из отрезка 0;1

y

меняется от

y x2

до y

. Поэтому по фор-

x

муле (1.9) при f x; y

x

имеем

СибАДИ

y

x

1

x

x

1

x

1

1

x

dy

dy

y

0 x2

y

0 x2

y

0

x2

1

1

1

1

3

x ln

x ln x2 dx x

2

ln x 2lnx

dx x

ln xdx

0

0

0

2

31

3

1

2

1

11

2 dx

2

xln xdx

2

x

lnx|

2

x

0

2

0

0

x

3

1

11

3

1

x2 1

3 1 3

1 ln1

xdx

2

|

.

2 2

2

0

2

2 0

4 2 8

Замечание. Интеграл xlnxdx взят методом интегрирования по

частям, причем при подстановке нижнего предела использовался тот

факт, что

lnx

1

limx2 lnx lim

lim

lnx

lim

x

x 0

x 0 1

x 0

1

x 0

2

x2

2

x3

x3

x

lim

1

limx2 1 0 0.

x 0 2x

2 x 0

2

Пример 4. Вычислить двойной

у

интеграл

x

dxdy,

если область ог-

2

раничена

слева

кривойx 2 sin y,

справа

–

прямой

x 0

и с

боков –

прямыми y 0;

y 2 .

Решение.

Область

(рис. 12)

является простой (вида 2). При любом

		фиксированном y из отрезка 0;2	x
	х
Рис. 12

13

меняется от x 0 до x 2 sin y. Поэтому по формуле (1.9) имеем

	x			2 2 siny x					2 x2 2 siny				2 2 siny 2
			dxdy					dx dy			|	dy			dy
	2					2								4
				0	0				0	4 0			0

С																	2						1 cos2y
				2 4 4sin y sin2 y
									4						dy			1 sin y						4 2				dy
				0														0
		2					1				cos2y								92			2				12
и															dy						dy	sin ydy						cos2ydy
				1		8		sin y				8
		0																8 0				0			8 0
		9	y|2			cosy			|2		1	sin t|4								9	2 0 cos2 cos0
	8			бА1
				0					0	16					0			8
	1			sin4 sin0								9	2 1 1									1	0 0		9		.
	16											8		2							16				4
Замечание. Интеграл															cos2ydy взят методом													подстановки
															0	1
t 2y,		тогда dt 2dy								или dy							dt. При изменении										y	от 0 до 2 t
															2
меняется от 0 до 4 . Следовательно,
										2						Д
																					4
											cos2ydy										costdt.
										0								2			0		И

14

Задачи для решения в аудитории (видео 1)

1. Изменить порядок интегрирования в интеграле

1 5х

dх f (x; y)dу.

0

2х

2. Изменить порядок интегрирования в интеграле

1

1 у

dy

f (x; y)dx.

0

1 y2

3. Измен ть порядок интегрирования в интеграле

С

4

3

dy f (x; y)dx.

0

y

4. Измен ть порядок интегрирования в интеграле

1

2x

dx f (x; y)dy.

и

x

2

0

5. Выч сл ть (x y)dxdy, где σ ограничена линиями y=x2+1;

y=9 – x2.

6.

Вычислить

(x2 y2)dxdy

по параллелограмму,

ограничен-

ному прямыми у=х; y=0; y=2; у=х – 2.

бА

7.

Вычислить

(x2 y)dxdy,

где σ ограничена линиями y=x2;

y2=х.

Д

8.

Вычислить

xcos(x

y) dxdy,

где

σ

ограничена

линиями

y=0; y=x; х = π.

И

Ответы

у

1. 2

5

1

2.

0

1 x

2

1

1 х

2

dу f (x; y)dх dу f (x; y)dх .

dx

f (x; y)dy dx f (x; y)dy .

1

0

0

0

0

у

2

у

5

5

15