§ 3. Формула Остроградского – Грина
			Остроградский Михаил
			Васильевич (1861–1862)	–
	y	y = y2(x)	русский математик, академик.
			А.Н. Джордж Грин (1793	–

D1841) – английский математик.

A		C			Иногда эту формулу на-
B				зывают формулой Грина, од-
Сy= y1(x)				нако Дж. Грин предложил в
				1828 г. только частный случай
0	x1	x2	x	формулы.
бА
и					Формула Остроградско-
				го –	Грина	устанавливает
				связь	между	криволинейным
	Р с. 102			интегралом и двойным инте-
гралом, т.е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру че-
рез двойной интеграл по о ласти, ограниченной этим контуром.
Будем считать, что рассматриваемая область односвязная, т.е. в
ней нет исключенных участков.
Если замкнутый контур имеет вид, показанный на рис. 102, то
			Д
криволинейный интеграл по контуру l можно записать в виде
X(x, y)dx	X(x, y)dx	X(x, y)dx		X(x, y)dx		X(x, y)dx,
l	AB	BC		CD	DA
X(x, y)dx	X(x, y)dx 0, так как x constна прямых AB и CD.
AB	CD			И

Следовательно, криволинейный интеграл по контуру l можно расписать как сумму двух интегралов: один по кривой 1 x , другой по 2 x :

Х(x, y)dx		x2	x1
		Х(x, y1(x))dx	Х(x, y2(x))dx
l		x1	x2
	x2	x2
	Х(x, y1(x))dx Х(x, y2(x))dx;
	x1	x1
		x2

Х(x, y)dx (Х(x, y2(x)) Х(x, y1(x)))dx.

l

x1

117

y2 Х

y2(x)

Так как

dy

Х(x, y)

Х(x, y

2

(x)) Х(x, y (x)), то

y1

y

1

y

(x)

1

x2

y2 Х

Х

Х(x, y)dx

(

dy)dx

dydx.

С

y

y

l

x1

y1

Если участки АВ и CD контура принять за произвольные кри-

вые, то, проведя аналогичные преобразования, получим формулу для

контура про звольной формы

Y

X

X(x, y)dx

Y(x, y)dy

dydx

(3.21)

l

x

y

контурам всехобластиисключенных участков, причем каждый из этих конту-

Эта формула называется формулой Остроградского – Грина.

иФормула Остроградского – Грина справедлива и в случае мно-

госвязной

,

.е.

о ласти, внутри которой есть исключенные

участки. В этом случае правая часть формулы будет представлять со-

бой сумму интегралов по внешнему контуру области и интегралов по

ров интегрируется в таком направлении, чтобы область σ все время

оставалась по левую сторону линии обхода.

Д

Решим пример 3, рассмотренный выше, воспользовавшись фор-

мулой ОстроградскогоА– Грина.

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл x2 ydx x3dy,

l

где l – контур, ограниченный параболами

y2

x;

x2

y

(см. рис.

100).

И

Решение.

Так как

Х(x, y) х2 у,Y(x, y) x3 ,

то с учётом того,

что

Y

х3 ' 3х2,

X

х2 у ' х2

, то по формуле (3.21) получим

x

x

y

y

1

х

x2 ydx x3dy 3x2 x2 dххd 2x2dххd

2x2

dy dx

l

0

х2

1

5

2

7

x5

1

2 1

6

x

1

2x2 y

dx 2(x2 x4)dx 2

x2

2

.

0

2

0

7

5

7 5

35

x

0

118

Пример 2. Вычислить 3x 2y dx 6x 7у dy,

где l

задается

l

уравнением x2 y2 2x (направление обхода положительно).

Решение. Из уравнения контура l после выделения полного

квадрата получим x 1 2

y2

1, то есть l является окружностью ра-

диуса 1 с центром в точке 01 1;0 , поэтому – круг радиуса 1, пло-

щадь которого равна S r2 .

Для выч слен я

нтеграла применим формулу Остроградского

Грина

–

(3.21).

С

Х

'

Х(x, y) 3x 2y,следовательно,

y

3x

2y y 2.

Y(x, y) 6x 7y,следовательно,

Y

6x 7y 'x 6.

x

Отсюда с учетом того, что определённый интеграл по области σ

равен её площади при равенстве единице подынтегральной функции,

получ м

3x 2y dx 6x 7у dy 6 2 d 8d 8S 8 .

l

Формула Остроградского – Грина позволяет значительно упро-

Д

стить вычисление криволинейного интеграла.

бАПример 3. Вычислить

y

x2

y2 dx 2хуdy вдоль:

АВ

2;

а) параболы y х

4

B

б) прямой y 2х;

И

в) ломаной АСВ , если А 0;0 ,В 2;4 ,С 2;0

C

(рис. 103).

y х2

Решение. а) Кривая

задана

A

x

2

уравнением в прямоугольной системе коор-

динат, по формуле (3.17) имеем

Рис. 103

x2 y2 dx 2хуdy

х

х

АВ

dx 2

x

dx

2

2

2

2

2

2

2

2

х

4

х

3

2

2

5х

4

x

dx 2хх

dх x

2х dх

0

0

0

119

2		2				х	3			х		5			2				8									104
х2dx 5			х4dx					5																32						.
						3					5							3											3
0		0													0
б) Аналогично кривая y 2х2 задана уравнением в прямоуголь-
ной системе координат имеем
x	2	y		2									2		x		2									2
					dx 2хуdy																			2х			dx 2х2х 2х												dх
АВ													0
и																															х3			2		104
2		2			2				2									2							2
Сx 4х dx 4х											2 dх 13х															dx 13														.
																														3						3
0																		0																0
		бА
в) Уравнен е						АС: у				0,dy								0 0 x											2 .
Уравнен е СВ: x 2,dx 0 0 y 4 (см. рис.101). Поэтому
																										2
					x2 y2 dx 2хуdy x2dx 4ydy
					АВ																	2				0		4
					2		4									х		3						4y			2		8 32									104
			x2dx 4ydy																																						.
					0		0										3					0				2		0		3									3
																			Д
Во всех трех случаях получили один и тот же результат. Рас-
смотренная ниже теорема помогает ответить на вопрос: «Всегда ли
один и тот же криволинейный интеграл, вычисленный вдоль разных
путей, принимает одно и то же значение?»
Определение. Криволинейный интеграл не зависит от формы
пути, если он вдоль всех путей, соединяющих начальную и конечную
точки, имеет одну и ту же величину.
Условие независимости криволинейного интеграла от формы

пути равносильно равенству нулю этого интеграла по любому замк-
нутому контуру, содержащему начальную и конечную точки.
Теорема. Пусть вектор-функция F(XИx; y;z ,Y x; y;z ) непре-
рывна вместе с частными производными Х , Y во всех точках пра-
y	x

вильной области σ с кусочно-гладкой границей l. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) для любого кусочно-гладкого контура l, лежащего в σ,

120

X(x, y)dx Y(x, y)dy 0;

l

2) криволинейный интеграл X(x, y)dx Y(x, y)dy не зависит от

l

пути интегрирования;

3) выражение X(x, y)dx Y(x, y)dy является полным дифференциалом некоторой функции, то есть существует функция U U(x, y) такая, что

	dU X(x, y)dx Y(x, y)dy;					(3.22)
области y				x
С4) всюду в	σ выполнено равенство
		Х		Y	.	(3.23)
Это услов е	удет выполняться, если подынтегральное выраже-

ние является полным д фференциалом некоторой функции. Вернемся к примеру 3, рассмотренному выше, и покажем, что

интеграл	x2	y2 dx 2хуdy не зависит от пути интегрирования.
	АВ		Х 2у. В силу равенства
Так	как	X(x, y) х2 у2, то
			y

	Y
Y(x, y) 2xбу получим А2y.
	x
Равенство этих производных означает независимость данного
криволинейного интеграла от пути интегрирования. Следовательно,
							И
совпадение результатов вычислений во всех трех рассмотренных слу-
чаях было неслучайным.				Д
Замечание. Как было отмечено ранее, криволинейный интеграл
второго	рода можно	трактовать как работу переменной силы
F(X x; y;z ,Y x; y;z )по		перемещению					материальной	точки	вдоль
криволинейного пути АВ. Из доказанной теоремы следует, что вы-
полнение	равенства		Х		Y		означает,	что	сила
			y		x

F(X x; y;z ,Y x; y;z ) консервативна, то есть ее работа зависит от начальной и конечной точек перемещения и не зависит от формы пути.

121

Замечание. Если криволинейный интеграл

X(x, y)dx Y(x, y)dy

не

зависит от пути

l

y

интегрирования, то в

этом

случае

линию

B(xB;yB)

интегрирования

можно

заменить

любой

другой, проходящей через точки А и В, со-

ответствующие началу и концу кривой l.

y=y(x)

Удобно выбирать ломаную АСВ, состоя-

щую из

отрезков

прямых,

параллельных

C(xC;yC)

осям коорд нат (р

с. 104).

A(xA;yA)

x

ледовательно,

от

криволинейного

интеграла

кр вой l

можно перейти к ин-

Стегралам отрезкам прямых:

Рис. 104

Xdx Ydy

Xdx Ydy

Xdx Ydy.

AB

AC

CB

Для прямой АС

уравнение у=уА; dy=dyA=0.

получим

Для прямой СВ x=xB; dx=dxB=0. Тогда получим

Xdx Ydy

Xdx Ydy

Xdx Ydy

AB

AC

CB

б

хB

dx

уВ

X х, у

Y xB, y dy.

(3.24)

хА

уA

А

Интеграл, не зависящий от линии интегрирования, часто обо-

значается как

(xB;yB)

(3.25)

X x,y dx Y x,y dy.

(xA;yA)

Д

Замечание. Как было отмечено в теореме, условие (3.20) является одновременно условием того, что дифференциальное выражение

X(x, y)dx Y(x, y)dy является полным			дифференциалом некоторой
функции двух аргументов U=U(x;y):			И
dU X(x, y)dx Y(x, y)dy; т.е.	U	X x, y ;		U	Y x, y . (3.26)
	x			y

Это позволяет решить следующую задачу. Известно дифференциальное выражение X(x, y)dx Y(x, y)dy, которое является полным

122

дифференциалом некоторой функции U U(x, y).

Требуется найти

эту функцию.

Действительно,

выбирая

некоторую

фиксированную

точку

(х0;у0), переменную точку (х;у) и обозначая U(x0;y0)=C, получаем с

С

помощью выражений (3.24) и (3.26) правило нахождения функции

U(x;y) по ее полному дифференциалу:

U х, у dU U(x ; y ) U(x0; y0),

l

с другой стороны,

х

у

dU

X(x, y0)dx Y(x0

, y)dy.

бА

l

х0

у0

иОткуда

у

U x, y

х

X(x, y0)dx

Y(x0, y)dy C,

(3.27)

х0

у0

где точки А (х0,

у0) и В(х,

у)

принадлежат области σ, в которой

X(x, y),Y(x, y)и их частные производные являются непрерывными

Д

функциями; С – произвольная постоянная.

Пример

4.

Показать,

что

дифференциальное

выражение

2

1

x

y

e

x

2 dx

2y

e

x

2

e

y dy

будет полным дифференциалом

y

y

И

некоторой функцииU x, y

и найти эту функцию.

x

Решение.

Так

как

Х y2ex

1

2

и Y 2yex

ey, то

y

y2

X

2yex

1

и

Y

2yex

1

. Следовательно,

X

Y

(у 0).

y

y2

x

y2

y

x

Значит, во всех точках плоскости 0ху, исключая точки плоскости, лежащие на оси 0х, данное дифференциальное выражение будет полным дифференциалом некоторой функцииU x, y . Теперь воспользуемся формулой (3.24) для начальной точки (0;1) и конечной точки (пере-

мен.) (х;у).

123

x

3 dx

y

x

U(x; y)

x

2y

e

x

e

y

dy

C

e

y

2

0

1

x 3x

x

2

x

x

y

y

С x 3x 1

y

С

e

e

e

0

e

y

x

x

1

x

2

x

y

x

2

x

y 2х С.

y

e

e

e

e С

y

e

e

y

1

y

слить

Замечан е.

Используя доказанную теорему при решении задач,

надо вн мательно след ть за выполнением всех сформулированных в

ней услов й,

наче можно получить неверный результат.

бА

Пр мер 5.

Выч

y

y

dx

x

dy, где l – окружность

l

x

2

y

2

x

2

y

2

x2 y2

1(р

с. 105).

A(В) x

Решение.

Несмотря

на

то,

что

-1

0

1 х

y

x

y

2

x

2

,

2

2

2

2

y

x

y

x

y

2

x

x2 y2

нельзя сказать,

что данный интеграл равен

нулю.

Дело

в

том,

что

Д

вектор-функция

y

x

Рис. 105

F(

x

2 y2

,

x2

y2

)

не

является

непре-

рывной в начале координат, то есть в центре круга x2 y2

1, и рас-

И

смотренная выше теорема в этом случае не применима.

Для вычисления интеграла перепишем уравнение окружности в

параметрической форме, воспользовавшись формулами:

x = cost; y = sint.

Обход происходит от точки А до точки В. Значит, точке А соот-

ветствует значение параметра 0, а точке В – 2 .

Воспользуемся формулой (3.16)

y

dx

x

dy

x 2y dx 1 2x dy

x2 y2

x

2 y2

l

l

124

2

sin t

cos t

( sin t)

(cos t) dt

cos

2

t sin

2

cos

2

t sin

2

0

t

t

2

2

sin2 t cos2 t dt dt t02 2 .

0

0

Отметим, что если l – окружность x 1 2

y 1 2

1, которая

не содерж т внутри начало координат, то

Задачи

x

С

l

y

dx

dy 0.

x2 y2

x2 y2

бАat

для решения в аудитории

1. Выч сл ть

l

y2dx x2dy

, где l – полуокружность, которая за-

x2

y2

даётся x = а cost; y = а sint

от t1 0до t2

.

2.

Вычислить

хdx уdy x y 1 dz ,

где l – отрезок пря-

AB

мой от точки А 1;1;1 до точки В 2;3;4 .

3. Вычислить yzdx zxdy xydz , где L – дуга винтовой линии

L

Д

x=Rcost ; y=Rsint;z

от точки пересечения линии с плоскостью

2

z 0до точки её пересечения с плоскостью z a.

у1. И

6.Вычислить работу силы F х y i 2уj по перемещению материальной точки из начала координат в точку (1, –3) вдоль криво-4. Вычислить работу силы по перемещению ма-

линейного пути y 3х2 .

7. Показать, что дифференциальное выражение

2х 3у2 1dx 2 6ху dy

125

будет полным дифференциалом некоторой функции U x, y и найти эту функцию.

8. Вычислить криволинейный интеграл xdy, где l – контур тре-

				l
угольника, образованного прямыми				y x;	x 2; y 0при положи-
С
тельном направлении обхода контура.					(2;3)
	9. Вычислить криволинейный интеграл				уdx хdy.
и				( 1;2)
					(2;1)	2хуdx х2dy
	10. Выч сл ть кр волинейный интеграл
							.
					(0;0)
			Ответы
1.	4	а. 2. 13. 3. 0. 4. 8 . 5. 8. 6. 10,5.		7. х2 х 2y 3ху2			С. 8. 2.
3
9. 8. 10. 4. б

1.Как определяетсяАкриволинейный интеграл первого рода?

2.Приведите спосо ы его вычисления в зависимости от кривой на которой задаётся данный интегралД.

3.Приведите свойства криволинейного интеграла первого рода.

4.Какие приложения криволинейного интеграла первого рода вы знаете?

5.Как определяется криволинейный интеграл второго рода?

6.Какие вы знаете способы его вычисленияИ?

7.В чём заключается физический смысл криволинейного интеграла второго рода?

8.Приведите формулу Остроградского – Грина.

9.Зависит ли криволинейный интеграла второго рода от формы линии интегрирования?

10.Как восстановить функцию двух переменных по ее полному дифференциалу?

126

Контрольная работа по разделу «Криволинейные интегралы»

Вариант 1

1.	Вычислить		х2dl,	где l	–	дуга параболы у ln x,			соединяю-
С			l
щей точки А(1;0) и В(е;1).				где l
2.	Выч сл ть		хуdl,		– дуга винтовой линии;				x аcost ;
			l
y asint;		z at(0 t 2 ).
и						F х2 y2 1i 2хуj вдоль дуги
3.	Выч сл ть работу силы
параболы y х3, заключенной между точками А(0, 0) и В(1, 1).
4.	Пр мен в формулу Грина, вычислить
		бА
			y2dx 2 х				у 2dy	,
			l
где l – контур треугольника ВС с вершинами в точках А(3, 0), В(3, 3)
и С(0, 3).
5.	Вычислить криволинейный интеграл
				(1;1)			2
				хуdx х			dy.
				(0;0)	Д
						2
6.	Найти общий интеграл дифференциального уравнения
			4х3 у3 у2 dx				3х4 у2 2ху dy.
				Вариант 2				И
1. Вычислить уdl, где l – дуга параболы у2 4x, соединяющей
			l
точки А(1;2) и В(4;4).
2.	Вычислить хуzdl, где l – отрезок прямой от точки А1;0;1 до
точки В 2;2;3 .			l
3.	Вычислить		работу силы			F уzi хzj xyk вдоль отрезка
прямой А(1; 1;1) и В(2; 3;4).
4.	Применив формулу Грина, вычислить

127

x y dx 2xdy,

l

где l – контур треугольника со сторонами у 0;x 0;x y 2.

5.

Вычислить криволинейный интеграл

;2

cos ydx xsin ydy.

0;0

6.

общ

нтеграл дифференциального уравнения

Найти

С

3

x

y dx

3 y x dy.

бА

Вариант 3

1.

Выч сл ть

х2 уdl,

где l –

дуга окружности х2 у2

9, ле-

l

жащая в первом квадранте.

2.

Вычислить

z2

dl,

где

l

–

дуга винтовой

линии

y2

l x2

x аcost; y asint;

z at, лежащая в первом октанте.

3.

Д

Вычислить работу силы F х

1 i

хуzj zy2k вдоль отрез-

ка прямой А(2; 3; –1) и В(3; –2;0).

4.

Применив формулу Грина, вычислить

xy y2 dx xdy,

l

где l состоит из дуги параболы у 2 x и отрезка прямой, соединяю-

щей точки А(0;0) и В(1;2).

5.

Вычислить криволинейный интеграл

1;1

И

2хydx x2dy.

0;0

6. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

ех у cos x dx ех у sin y dy .

128

Вариант 4

1.

Вычислить

dl

,

где l

–

отрезок прямой у х 2 0, со-

l х у

единяющей точки А(2; 4), В(1; 3).

2.

Вычислить х у dl, где l

– первый виток конической вин-

СибАДИ

l

z t.

товой л н

x tcost;

y tsint;

3.

Выч сл ть работу силы

F yi zj xk

вдоль отрезка пря-

мой А(1; 3; –1)

В(2; –2;0).

4.

Пр мен в формулу Грина, вычислить

2xydx x2dy,

l

где l состо т з дуги пара олы x 2у2

, отрезка прямой, соединяю-

щей точки

(0;0)

В(2;1).

5.

Выч сл ть кр волинейный интеграл

1;1

ydx x2dy.

0;0

6.

Найти общий интеграл дифференциального уравнения

у

2

е

ху

2

2хуе

ху

2

3 dx

1 dy.

Типовой расчет по теме "Криволинейные интегралы"

Вариант 1

1.

Вычислить криволинейные интегралы:

а)

y

2

dy xydy, где L – дуга эллипса

x 2cost;y 3sint,

для которого (0 t ); 2

129

б) (x2 y2 z2)dl, где L – дуга кривой

L
С				x 2cost;
				y 2sint;
				z 2t,
для которой (0 t 2 ).
2. Выч сл ть 43			3			dl, где L отрезок прямой AB;
		x			y
и
A( 1;0), B(0;1).	L
3. Выч сл ть cosydx sinxdy, где L отрезок прямой AB;
	L
бА

A(2 ; 2 ), B( 2 ; 2 ).

4. Пр мен в формулу Грина, вычислить

хуdx у х dy,

l

где l – контур, ограниченный отрезком прямой y x, отрезком оси 0х, расположенной между точками (0; 0), В(1; 0) и прямойх 1.

5. Показать, что данное выражение является полным дифферен-

	Д
циалом функции u(x; y). Найти функцию u(x; y).
4х(x2 y2)dx 4у(x2 y2)dy.
6. Вычислить массу дуги кривойy x		И
		2, заключенной между
	2
точками с абсциссами x 0	и x 4, если плотность дуги в каждой
точке обратно пропорциональна разности между абсциссой и орди-
натой этой точки.

	Вариант 2
1. Вычислить криволинейные интегралы:
а) x 2 dx	xy 2 dy , где L – отрезок прямой от точки А(0,1) до
L

точки В(1,2);

130

б)		dl					, где L – отрезок кривой, соединяющий
L 4 x 2 y 2				4
точки О(0,0) и А(1,2).
2. Вычислить				2ydl, где L первая арка циклоиды
С			L
x 2 t sint ; y 2 1 cost .
3. Вычислить (x y)dx x y dy, где L отрезок прямой,
			L
соединяющ й точки A(2;3) и B(3;5).
и
4. Пр мен в формулу Грина, вычислить
				х y 2dx х у 2dy,
				l
	параболой							y x2и отрезком прямой, со-
где l – контур, огран ченный

единяющей точки А(0; 0), В(1; 1).

5. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u(x; y). Найти функцию u(x; y).

х2dx у2dy

6. Вычислить длину дуги параболы y x2 , расположенной меж-

ду точками A(0; 0) и B(2; 4).
	А
		Вариант 3
1. Вычислить криволинейные интегралы:
а) (x3	y)dx xy3dy, L – отрезок прямой АВ, где А(1,1), В(3,5);
L		Д
б)	x 2 y 2	dl , где L – контур окружности;
L			И
		x cost;

y sint.

131

2.	Вычислить		y2	x2 xy	dl, где L дуга кривой r 9sin2 ;
				y2 2
			L x2
0		.
	4
С				2xy)dx (y2 2xy)dy, где L дуга параболы
3.	Вычислить (x2

L

y x2 , заключенная между точками A(1;1) и B(2; 4).

4. Пр меняя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кр вой L, пробегаемой против хода часовой стрелки:

x2 y2dx y ln x

xy dy,

x2 y2

L

где L – контур

с вершинами A 3;2 , B 6; 2 , C 6; 4 ,

Dпря3; 4 . моугольника

5. Показать, что данное выражение является полным дифферен-

циалом функции u(x; y). Найти функцию u(x; y).

(2x 3y2 1)dx (2 6xy)dy.

6. Вычислить длину дуги цепной линии y

ex

e x

, x 0;1 .

2

бА

Вариант 4

1. Вычислить криволинейные интегралы:

а)

x

3

dx x

2

2

dy, L – дуга кривойДy x от А(1,1) до В(3,9);

L

И

б)

(2z

x2

y2

)dl, L – дуга кривой

L

x tcost;

y tsint;

z t

в интервале (0 t

2 ).

132

2.	Вычислить	L			dl			где L отрезок прямой, заключен-
					5 х	у
ный между точками A(0; 4), B(4;0).
3.	Вычислить		ydx xdy			, где L отрезок прямой AB; A(1; 2),
С		L		x2 y2
B(3;6).

4. Пр меняя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кр вой L, пробегаемой против хода часовой стрелки:

y2dx x y 2 dy,

L

где L – контур треугольника с вершинами A a;0 , B a; a , C 0; a . 5. Показать, что данное выражение является полным дифферен-

функц

u(x; y). Найти функцию u(x; y).

циалом

2xy

2

2x2 y

3 dx

5

dy.

2

2

2

2

1 x

y

1 x

y

6.

Вычислить массу дуги кривой y ln x, заключенной между

точками с абсциссами x

и x

8, если плотность дуги в каждой

3

точке равна квадрату абсциссы этой точки.

бА

Вариант 5

1. Вычислить криволинейные интегралы:

а)

cos3 dx ydy, L – дуга кривой y sin x;

0 x

;

L

Д

2

б)

y 2 dl

, где L – арка циклоиды;

И

L

x (t sint);

y 1 cost

в интервале(0 t 2 ).

dl

2. Вычислить

, где L отрезок прямой, соеди-

L x2 y2

4

няющий точки A(0; 0) и B(1; 2).

133

3.	Вычислить (y x2)dx 2x y dy, где L дуга параболы
				L
y 2x x2 , заключенная между точками A(1;1) и B(3; 3).
4.	Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный инте-
грал по замкнутой кривой L, пробегаемой против хода часовой стрел-
ки:					x y 2 dx x2 y2 dy,
					L
где L – контур треугольника с вершинами A(1;1), B(6; 2), C(1;5).
5.	Показать, что данное выражение является полным дифферен-
С
	функц			u(x; y). Найти функцию u(x; y).
			1		ysin2x
			cos2y			dx xsin2y cos2 x 1dy.
			2
циалом							y t6 6, ограни-
6.	Выч сл ть дл ну дуги кривой x 2 t4 4;
ченной точками пересечения ее с осями координат.
					Вариант 6
1.	Вычислить криволинейные интегралы:
а) (x2 y2)dx xydy, L – дуга кривой y еx							от точки А(0,1)
	L	бА
до В(1,е);
		dl
б)	L			, где L – отрезок кривой, соединяющий точки
		x	y
А(0,-2) и В(4,0).						Д
2.	Вычислить xydl, где L контур прямоугольника с верши-
				L
нами в точках O(0;0),					A(5;0), B(5; 3), C(0; 3).
3.	Вычислить xdy ydx, где L дуга астроиды x 2cos3 t ;
y 2sin3 t				L		И
		от точки A(2;0) до точки B(0; 2).
4.	Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл

по замкнутой кривой L, пробегаемой против хода часовой стрелки:

134

x2 ydx xy2dy,

L

где L – окружность x2 y2

5.

5. Показать, что данное выражение является полным дифферен-

С

циалом функции u(x; y). Найти функцию u(x; y).

(y2exy2

3)dx (2xyexy2

1)dy.

6. Выч сл ть массу

отрезка прямой y 2 x,

заключенного

натными1. Выч сл ть кр волинейные интегралы:

между коорд

осями, если линейная плотность в каждой

точке пропорц ональна квадрату абсциссы в этой точке, а в точ-

ке 2;0 равна 4.

бА

Вариант 7

а) xydx y2dy, L –дуга кривой

L

x t2;

y t

в интервале (1 ≤ t ≤ 2);

Д

б)

xydl , где L – отрезок кривой, соединяющей точки 0(0,0) и

В(4,2).

L

2

2. Вычислить y dl, где L дуга параболы y

2

x между точ-

L

3

И

ками A(0; 0), B( 35 6;

35 3).

3. Вычислить x2

y2 dx x y2 dy, где L ломаная ABC ;

L

A(1; 2),

B(3; 2), C(3;5).

4. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой L, пробегаемой против хода часовой стрел-

ки: xdy ydx, где L – окружность x2 y2 4.

L x2 y2

5. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u(x; y). Найти функцию u(x; y).

135

			х 2у						у		2
						х dx				y	dy
			2						2
			у х						у х
6. Найти работу силы F xi x y j при перемещении точеч-
СL
ной массы m по дуге эллипса x аcost; y bsint.
						Вариант 8
1. Выч сл ть кр волинейные интегралы:
интервале							L – дуга окружности
а)	(x y)dx (x y)dy,
						x 2cost;
		бАL
								y 2sint
в		(0 t			);
			2
б)	( x 2 y 2 )dl , где L – контур окружности
	L					x 2cost;
						y 2sint
в интервале (0 t 2 ).								Д
2. Вычислить
			x y dl, где L						контур треугольника с верши-

нами A( 1;0), B(0;1), O(0;0).
3.	Вычислить xy2dx yz2dy x2zdz, где L отрезок прямой
	L
OB; O(0;0;0), B( 2; 4;5).
4.	Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный инте-
грал по замкнутой кривой L, пробегаемой против хода часовой стрел-
ки:	x y dx x y dy,
	L	И
где L – треугольник OAB с вершинами O(0; 0), A(1;0), B(1;1).
5.	Показать, что данное выражение является полным дифферен-

циалом функции u(x; y). Найти функцию u(x; y).

136

			1							1
					cosxcosy 3x		2 dx				sinxsin y 4y dy.
	x y							x y
6. Найти работу силы F xi x y j при перемещении точеч-
С							x2	16 y2 9 1.
ной массы m					по дуге эллипса
							Вариант 9
1. Выч сл ть кр волинейные интегралы:
интервале
а)			x2 ydx y2xdy, L – дуга кривой
	L						x t;
в				(0 t 1);			y t3
б)				x2 y 2		dl , где L – дуга кривой
	L					x 2(cost tsint);
						y 2(sint tcost)

в интервале (0 t 2 ).
2.	Вычислить xydl,	где L контур прямоугольника с верши-
	L
нами O(0;0)бА, A(4;0), B(4; 2), C(0; 2).
3.	Вычислить y dx xdy, где L дуга линии y ln x от точки
	L x				И
A(1;0) до точки B(e;1).
4.	Применяя формулу ГринаД, вычислить криволинейный инте-
грал по замкнутой кривой L, пробегаемой против хода часовой стрел-
ки:			xdy ydx
				,
		L x2 y2
где L – окружность x2 y2		1.

137

5. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u(x; y). Найти функцию u(x; y).

y

x

ln y 2x dx lnx

1 dy.

x

y

С

r 3sin ; 0; 4 , если

6. Вычислить массу дуги кривой

плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию до полюса и

при 4 равна 3.

и

Вариант 10

1. Выч сл ть кр волинейные интегралы:

а)

(x y)dx (x y)dy, L – отрезок прямой АВ, где А (1,0),

В(0,1);

L

бА

б) xdl, где L – дуга кривой

L

x 3(t sint);

где (0 t 2 ).

y 3(1 cost),

dl

2.

Вычислить

,

где

L отрезок прямой,

соеди-

8 x2

L

y2

няющий точки A(0; 0),

B(2; 2).

3.

Вычислить

2xydx x2dy,

где

L ломаная OBA;

O(0;0),

A(2;1), B(2;0).

L

4. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный инте-

грал по замкнутой кривой L, пробегаемойДпротив хода часовой стрел-

ки:

x2 ydx xy2dy,

L

где L –

окружность

x2 y2 a2 , пробегаемаяИв положительном на-

правлении.

5. Показать, что данное выражение является полным дифферен-

циалом функции u(x; y). Найти функцию u(x; y).

ex y cosx dx ex y

sin y dy.

138

6. Вычислить массу дуги четверти эллипса x24 y2 1, лежащей в первом квадранте, если линейная плотность в каждой ее точке равна произведению координат этой точки.

Вариант 11

1. Выч сл ть кр волинейные интегралы:
а)	xydx y2xdy, где L – отрезок прямой АВ, А (2,0), В(0,2);
и
	L
	y 2 dl
Сб) , где L – дуга кривой
	L	x 3cost;
	бА
		y 3sint,

	где(0 t 2 ).	dl
	2. Выч сл ть		, где	L отрезок прямой, соеди-
		8 x2 y2
	L
	няющий точки A(0; 0), B(2; 2).

3. Вычислить 6xy 4y2 5y dx 3x2 8xy 5x dy, где L ду-

L

га параболы y x2 , заключенная между точками A(0; 0) и B(2; 4). 4. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный инте-

грал по замкнутой кривой L, пробегаемой против хода часовой стрелки:

x y dx x y dy,

L

И

где L – окружность x2 y2

4.

Д

5. Показать, что данное выражение является полным дифферен-

циалом функции u(x; y). Найти функцию u(x; y).

y

x

2x dx

6y dy.

1 x

2

y

2

1 x

2

y

2

6. Вычислить работу силы F x y i xj при перемещении материальной точки вдоль контура квадрата, образованного прямыми x 1; y 1.

139

Вариант 12

1. Вычислить криволинейные интегралы:

а)

x2 ydx ydy, L – дуга кривой

y x2 +1 от точки А (0,1) до

L

С

В (1,2);

x 2 dl

б)

, где L – дуга кривой

y ln x, соединяющей точки А

L

В(

) .

(

3,

ln

3

)

8,

ln

8

нами

2. Выч сл ть

x

2ydl, где L контур прямоугольника с верши-

L

в точках O(0;0),

A(2; 0), B(2; 3),

C(0; 3).

3.

Выч сл ть

xdy ydx, где L дуга эллипса

x 2cost;

бА

L

y 4sint от точки A(2;0) до точки B(0; 4).

4. Пр меняя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кр вой L, про егаемой против хода часовой стрелки:

y2dx x y 2 dy,

L

где L –	контур треугольника ABC с вершинами A(2;0), B(2; 2),
C(0; 2).
5. Показать, что данное выражение является полным дифферен-
циалом функции u(x; y). Найти функцию u(x; y).
	exy xyexy 2 dx x2exy 1dy.
6. Вычислить длину дуги однойДарки циклоиды x 3 t sint ,
y 31 cost .		И
	Вариант 13
1. Вычислить криволинейные интегралы:			1
а) ydx xdy, L – дуга кривой yx 1		от точки А (1,1) до В 6,		;
L	ydl , где L – дуга кривой		6
б)
	L

140

x cos3 t;y sin3 t,

для которой (0 t 2 ).
2. Вычислить	x y dl, где L контур треугольника с верши-
С	L
нами A1;0 , B(0;1), O(0;0).
3. Выч сл ть	xy 1 dx x2 ydy, где	L отрезок прямой от
	L

A B

точки1;0 до точки 0; 2 .

4. Пр меняя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кр вой L, про егаемой против хода часовой стрелки:

y2dx x y 2 dy,

L

где L – контур треугольника с вершинами A a;0 , B a; a , C 0; a .

5. Показать, что данное выражение является полным дифферен-

	циалом функции u(x; y). Найти функцию u(x; y).
		yexy y2 dx xexy 2xy dy.
		Д
	6. Вычислить работу силы F x		y i xj	при перемещении
	материальнойбАточки вдоль окружности x 2cost;			x 2sint по ходу
	часовой стрелки.
		Вариант 14
	1. Вычислить криволинейные интегралы:			x2
	а) (x y)dx (x 2y)dy, L – дуга кривой y
					от точки
				2
	L
	А (0,0) до В (4,8);		И
	б) xdl , где L – дуга кривой

L

x 2cos3 t;

3

y 2sin t,

для которой (0 t 2 ).

141

2. Вычислить x2	y2	z2 dl, где L дуга кривой
L		x cost;
		y sint;
		z 3t,

	где 0 t 2 .		xydx y x dy, где			L дуга кубической пара-
	3.	Вычислить
			L
	болы y x3, заключенной между точками A(0; 0) и B(1;1).
	4. Пр меняя формулу Грина, вычислить криволинейный инте-
	Сграл по замкнутой кр вой L, пробегаемой против хода часовой стрел-
	ки:			x y 2 dx x2 y2 dy,
				L
	гдетреугольникаL – контур с вершинами A(1;1), B(6; 2), C(1;5).
	5. Показать, что данное выражение является полным дифферен-
	циалом функции u(x; y). Найти функцию u(x; y).
		ycos(xy) 2x 3y dx xcos(xy) 3x 4y dy.
	6.	Вычислить работу силы F yi x y j					при перемещении
	материальной точки из начала координат в точку						1;1 по параболе
	y x2.	бА
					Вариант 15
					Д
	1. Вычислить криволинейные интегралы:
				x2
	а)	(2 xy)dx	(		y)dy, L – отрезок прямой АВ, где А (0,0),
				2
	В(0,8);	L				И
	б)	ydl , где L – дуга кривой

L

x cost;y sint,

для которой (0 t 2 ).

142

	2.	Вычислить	y dl,		где L дуга астроиды дуга астроиды
	x cos3 t; y sin3 t		L
			от точки A(1;0) до точки B(0;1).
	3.	Вычислить	x2	y2 dx xydy, где L отрезок прямой AB;
	A(1;1),	B(3; 4).	L
	4.	Вычислить x2		y2 dl, где L окружность x2 y2 4.
			L
	5.	Выч сл ть	xydx y x dy, где				L отрезок прямой y x,
			L
	заключенной между					A(0; 0) и B(1;1).
	С
	6.	Пр меняя формулу Грина, вычислить криволинейный инте-
	грал по замкнутой кр вой L, про егаемой против хода часовой стрел-
	ки:				x2 ydx xy2dy,
					L
	точками
	где L – окружность x2 y2				5.
	7.	Показать, что данное выражение является полным дифферен-
	циалом функции u(x; y). Найти функцию u(x; y).
		ysin(x y) xycos(x y) 9x2 dx
		xsin(x y) xycos(x y) 2y dy.
		бА
	8.	Вычислить работу силы F x y i 2yj при перемещении
	материальной точки из начала координат в точку 1; 3 по параболе
	y 3x	2.				Д
					Вариант 16
	1.	Вычислить криволинейные интегралы:
	а)	(x3 2y)dx (2x 5)dy, L – отрезок прямой АВ, где А (4,0),
	В(2,8);	L					И
	б)	sin x dl, L – отрезок прямой АВ, где А (0,0), В(							,1).
		L					2

143

2.

Вычислить x dl, где L отрезок прямой, соединяющий точ-

L

ки A(0; 0), B(1; 2).

3.

Вычислить x2 y x dx y2x 2y dy, где L дуга эллипса

L

С

x 3cost;

y 3sint

при полож тельном направлении обхода.

4.

Пр меняя формулу Грина, вычислить криволинейный инте-

грал по замкнутой кр вой L, пробегаемой против хода часовой стрел-

ки:

x y dx x y dy,

L

бА

где L – окружность x

1 2

y 1 2 4.

и5. Показать, что данное выражение является полным дифферен-

циалом функц

u(x; y). Найти функцию u(x; y).

5y cosx 6xy2 dx 5x 6x2 y dy.

6.

Вычислить моменты инерции относительно осей координат

отрезка однородной прямой 2x y 1, лежащего между этими осями.

Д

Вариант 17

1.

Вычислить криволинейные интегралы:

а)

(2x 3y)dx (3x 4y)dy, L – дуга кривой y x2 1 от точки

L

А (0, –1) до В (2,3);

б)

cos xds , L – отрезок прямой АВ, где А (0,1), В(

,0).

L

y

2

2.

Вычислить

dl,

где

ИL дуга кардиоиды

x

2

y

2

L

r 21 cos ,

0

.

2

3.

Вычислить xydx y x dy,

где

L дуга параболы y x2 ,

L

заключенная между точками A(0; 0) и B(1;1).

144

4. Убедиться, что интеграл не зависит от формы пути интегрирования и вычислить его по отрезку, соединяющему точки 2;3 и3;4 :

С

6xy2 4x3 dx 6x2 y 3y2dy .

AB

5. Показать, что данное выражение является полным дифферен-

циалом функц

u(x; y). Найти функцию u(x; y).

y2exy

3 dx exy 1 xy dy.

арки

6. Выч сл ть координаты центра масс однородной дуги одной

ц кло ды x t sin t;

y 1 cost.

б

Вариант 18

1. Выч сл ть кр волинейные интегралы:

y x2

а) (4 xy2)dx (x2 y 3y2)dy, L – дуга кривой

от точки

L

А

А (0,0) до В (3,9);

dl

б)

L

, L – отрезок прямой В, где (0,0), В(

,1).

cos 2

x

4

2. Вычислить y dl, где L дуга астроиды

L

Д

x cos

3

t;

y sin3 t,

заключенная между точками A(1;0) и B(0;1).

3.

Вычислить xydx y x dy,

И

где L дуга параболы y2 x,

L

заключенной между точками A(0; 0) и В(1;1).

4. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой L, пробегаемой против хода часовой стрелки:

xdy ydx

2 2 ,

L x y

где L – окружность x2 y2 xdx ydy .

L

145

5. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u(x; y). Найти функцию u(x; y).

1 cos xy ydx 1 cos xy xdy.

6. Вычислить моменты инерции относительно начала координат отрезка прямой, заключенного между точками A 2; 0 и B 0;1 , если

линейная плотность в каждой его точке равна 1.

Вариант 19

и

1. Выч сл ть кр волинейные интегралы:

Са) (3x 2y)dx (2x y)dy, L – отрезок прямой АВ, где А (0,2),

В(2,0);

L

dl

3

б)

, L – отрезок прямой АВ, где А (

,0), В(

,1).

sin

2

2

4

L

x

2. Выч сл ть arctg

y dl, где L дуга кардиоиды r 1 cos ;

L

x

0

.

2

3.

Вычислить (x y)dx x y dy, где

L

дуга

параболы

y x2,

L

Д

заключенная между точками A( 1;1) и

B(1;1).

4. БудетбАли криволинейный интеграл

x2 y2 xdx ydy ,

L

5.Показать, что данное выражение являетсяИполным дифференциалом функции u(x; y). Найти функцию u(x; y).

y sinx dx x 2ycosy2 dy.

6.Вычислить моменты инерции относительно координатных осей дуги четверти окружности

x 2cost;y 2sint,

лежащей в первом квадранте.

146

					Вариант 20
	1. Вычислить криволинейные интегралы:
	а) (1 2xy)dx (x2				y)dy, L – отрезок прямой АВ, где А (–1,0),
	В(0,1);	L
	б) х2 y dl, L – отрезок прямой АВ, где А (1,0), В(0,1).
		L		y2	x2 xy
	2.	Выч сл ть					dl, где L дуга кривой	r 9sin2 ;
	и					2
	С			L x2 y2
	0	4	.
			бА
	3. Выч сл ть			(x2	2xy)dx (y2 2xy)dy, где L дуга параболы
				L
	y x2 1, заключенная между точками A(1; 2) и B(2; 5).
	4.	Пр меняя формулу Грина, показать, что криволинейный ин-
	теграл

6xy 5y dx 3x2 5x dy

L

по любому замкнутому контуру равен нулю. Проверить данное заключение, вычислив этот интеграл по контуру, ограниченному линиями: y 0; x 3; y x.

5. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u(x; y). Найти функцию u(x; y).

	1		1		И
sin2x		dx			dy.
	2			2
	xДy xy

6. Вычислить работу силы F xyi x y j при перемещении материальной точки по прямой y x от точки (0;0) до точки (1;1).

Вариант 21
1. Вычислить криволинейные интегралы:	y x2
а) (5x 2y)dx (2x y)dy, L – дуга кривой		2 от точки
L
А (0, –2) до В (2,2);

147

б) хy dl, L – отрезок прямой АВ, где А (2,0), В(0,2).

L

	2. Вычислить	3y	dl, где L первая арка циклоиды
		2
	L

С	x 3(t sint);
	y 3(1 cost).
3. Выч сл ть (x y)dx x y dy, где L дуга окружности
	L
соединяющей
	x 2cos3 t;
	y 2sin3 t,

точки A(0; 3) и B(3; 0).

4. Провер ть выполнимость формулы Грина для интеграла

x y dx 2xdy,

L

где L – контур треугольника со сторонами x 0; y 0; x y a.

5. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u(x; y). Найти функцию u(x; y).

x y

dx y xdy.

xy

2

y

бА

6. Вычислить моменты инерции относительно осей координат

однородного отрезка прямой y 2x, заключенного между точками

1; 2 и

2;4 .

Д

Вариант 22

1. Вычислить криволинейные интегралы:

а)

(3x2

y)dx (x 2y)dy, L – отрезок прямой y 2x от точки

L

И

А(0,0)до В(2,4);

б)

3

х

y2 dl, L – отрезок прямой АВ, где А (1,0), В(0,1).

L

dl

x

2. Вычислить

, где L отрезок прямой

y

2, заклю-

L x y

2

ченный между точками А(0; –2), B(4; 0).

148

3. Вычислить x 2y dx x y dy, где L окружность

L

x 2cost;y 2sint

при положительном направлении обхода.

4. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой L, пробегаемой против хода часовой стрелки:

dx y ln x

xy dy,

x2

y2

x2 y2

циалом

L

Сгде L – контур прямоугольника с вершинами A 3;2 , B 6; 2 ,

C 6;4 ,

D 3; 4 .

2

бА

5. Показать, что данное выражение является полным дифферен-

функц

u(x; y). Найти функцию u(x; y).

20x

3

21x

2

y 2y dx

3 2x 7x

3

dy .

6. Найти коорд наты центра масс четверти однородной окруж-

ности x2 y2

a2 , лежащей в первом квадранте.

Вариант 23

L

Д

1. Вычислить криволинейные интегралы:

а) (3 4xy)dx (2x2 3 y2 )dy,

L –

дуга параболы y

x

от

L

2

2

точки А (0,0) до В (2,2);

И

б) ex dl, L – отрезок прямой АВ, где А (0,1), В(2,0).

2z

dl, где L дуга кривой

2. Вычислить

2 z2

x2

y2

L

x tcost;

y tsint;

где 0 t 2 .

z t,

y dy, где L дуга параболы

3. Вычислить xydx x2

y x2 ,

L

расположенная между точками A(0; 0) и B(2; 4).

149

4. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой L, пробегаемой против хода часовой стрелки:

y2dx x y 2 dy,

L

где L – контур треугольника ABC с вершинами A(2;0), B(2; 2),

C(0; 2).

5.

Показать, что данное выражение является полным дифферен-

считатьпостоянной.

циалом функц

u(x;

y). Найти функцию u(x; y).

Сyexy 2sinx dx xexy cos y dy.

6.

бА2

Выч сл ть момент инерции относительно начала координат

контура квадрата со сторонами

x a; y a. Плотность квадрата

Вариант 24

1.

Вычислить криволинейные интегралы:

а) xydx 2x2dy, L – дуга кривой

L

x

Д

t2

1;

1

от точки А (–1,1) до В (0,2);

y t

б)

dl

, L – отрезок прямой АВ, где А (0,1), В(

,2).

1 x 2

L

dl

2

2.

Вычислить

,

где

L отрезок прямой y 2x 2,

L x 2y 5

заключенный между точками A(0; 2), B(1;0).

3.

Вычислить

x2dy

y

2dx

, где AB дугаИастроиды

AB

3 x5 3

y5

x 2cos3t;

3

y 2sin t,

соединяющей точки A 2; 0 до точки B 0; 2 .

150

4. Выяснить, будет ли криволинейный интеграл

6xy 4y2 5y dx 3x2 8xy 5x dy

AB

зависеть от формы пути интегрирования и вычислить этот интеграл по пути, соединяющему начало координат с точкой A(2;3).

5. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u(x; y). Найти функцию u(x; y).

					y exy 5 dx x exy 5 dy.
	6. Выч сл ть координаты центра масс однородной полуокруж-
С2 2
		x	y 4	, с мметричной относительно оси Ox.
					Вариант 25
ности1. Выч сл ть кр волинейные интегралы:
	а) (x 2y)dx dy, L – дуга кривой
		L			x 2cost;
					y 4sint,
где (		t );
2			х3 dl, L – отрезок прямой В, где (1,1), В(2,3).
	б)
		L	бА
	2. Вычислить xydl, где L контур треугольника с вершинами
				L
в точках O(0;0),				A(2; 2), B(4; 2).
	3. Вычислить xdy ydx, где L дуга эллипса
					Д
				L		И

x 3cost;y 2sint,

соединяющая точки A(3; 0) и B(0; 2).

151

4. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой L, пробегаемой против хода часовой стрелки:

x2 y2dx y ln x x2 y2 xy dy,

L

где L – контур прямоугольника с вершинами A 3;2 , B 6; 2 , C 6;4 ,

D 3; 4 .

5. Показать, что данное выражение является полным дифферен-

циалом функц u(x; y). Найти функцию u(x; y).						2
дуги
С	(2x 3y2	1)dx (2 6xy)dy.
				e	x	e	x
6. Выч сл ть дл ну			цепной линии y					, x 0;1 .
бА
			Д
			И

152