Глава 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1. Криволинейные интегралы первого рода

Рассмотрим задачу о нахождении массы неоднородной нити
С
(дуги	кривой, троса, провода, каната), если известна плотность
(x; y)	в каждой её точке. Разделим дугу на n достаточно малых уча-

стков li, так х, чтобы можно было приближенно считать плотность материала дуги на всем таком участке разбиения равной постоянной (р с. 94). На каждом участке выберем точку Pi .

y

величине

B

M i 1

Mi

M1

Pi

A

x

a

0

xi 1

xi

b

бА

Рис. 94

В каждой элементарной части

li выберем по

одной точке

i i;ni и вычислим плотность i;ni

в точке Ρi . Тогда масса эле-

ментарного участка l

приближенноДбудет равна ;n l .

i

i

i

i

Для массы всей дуги кривой получаем

m i;ni li .

(3.1)

i

И

Приближение (3.1) будет тем точнее, чем мельче будет разбие-

ние области l на элементарные части, т.е.

чем меньше будет наи-

большее расстояние между произвольными точками любой элементарной части li . Следовательно, можно принять, что

99

m lim i;ni li ,	(3.2)
0 i
где наибольший из диаметров элементарных частей li ; диаметр
li – наибольшее расстояние между произвольными ее точками.
С

Необходимость рассмотрения выражения вида (3.1) и предела (3.2) возникает при решении многих других физических и геометрических задач. В связи с этим дается следующее определение. Пусть

задана непрерывная		гладкая дуга АВ и в каждой точке этой дуги за-
Выражение
дана функц я f(Р). Дел м дугу			АВ на n элементарных частей li . В
каждой части li	выб	раем по одной точке Ρi i;ni li и составля-
ем выражен е		Ln	f Pi li .			(3.3)
				i
Определен е 1.				вида (3.3) называется интегральной
суммой для функц	f P , если точки Pi лежат на дуге АВ.
Обознач м через наи ольший из диаметров элементарных об-
ластей li при раз иении дуги			В.
Определениеб2. Если существует предел
			lim f Pi li ,			(3.4)
			0 i
			Д			и вы-
который не зависит отАВспособа разбиения дуги					на части li

бора точек Ρi , то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода или криволинейным интегралом по длине дуги и обозна-

чается		И
	f x; y dl.	(3.5)
l

Рассмотрим в пространстве XYZ кривую АВ, в каждой точке которой определена произвольная функция f (x, y,z).

Разобьем кривую на конечное число отрезков li . В каждой элементарной части li выберем по одной точке i i;ni; i и рассмотрим произведение значения функции в каждой точке разбиения на длину соответствующего отрезка f (Pi) li .

Аналогично сложив все полученные таким образом произведения, получим так называемую интегральную сумму функции f(x, y, z)

100

n

f (Pi) li .

i 1

Определение 3. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой на частичные отрезки существует предел интегральных сумм, который не зависит от способа разбиения дуги АВ на части li и выбора точек Ρi , то этот предел называется криволинейным интегралом от функц f(x, y, z) по длине дуги пространственной кривой АВ или

кривол нейным

нтегралом первого рода

С

f (x, y,z)dl.

(3.6)

AB

Из определен я криволинейного интеграла первого рода выте-

кает, что для него справедливы теорема существования и основные

свойства, аналог чные свойствам определенного интеграла:

1. Значен

кр

интеграла по длине дуги не зависит

волинейного

от направлен я кр вой

АВ.

2. Множ тель можно выносить за знак криволинейного инте-

грала.

3. Криволинейный интеграл от суммы функций равен сумме

б

криволинейных интегралов от этих функций.

4. Если кривая

раз ита на дуги

С и СВ, то

f (x, y,z)dl

f (x, y,z)dl

f (x, y,z)dl.

AB

АВAC CB

5. Если в точках кривой

В f1(x, y,z) f2 (x, y,z), то

f1(x, y,z)dl f2(x, y,z)dl.

AB

AB

Д

6. Справедливо неравенство

f (x, y,z)dl

f (x, y,z

dl.

AB

AB

И

7. Если f(x, y, z) = 1, то

n

l,

(3.7)

dl lim si

AB

0 i 1

где l – длина дуги кривой; – наибольшая из всех частичных дуг, на которые разбивается дуга АВ.

101

8. Теорема о среднем.

Если функция f(x, y, z) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой существует точка (x1, y1, z1), такая, что

f (x, y,z)dl f (x1, y1,z1) l.

AB

Приложения криволинейного интеграла I рода аналогичны другим видам нтегралов:

1. Масса m дуги кривой l с плотностью (x;y;z) вычисляется

	по формуле
	С		m x; у;z dl.						(3.8)
				l
	2. Коорд наты центра тяжести С(xc;yc;zc) дуги кривой l с плот-
	ностью (x;y;z) выч сляются по формулам:
	и			y dl		z dl
		x dl
	xc	l	; yc	l	; zc	l		.	(3.9)
		m
				m			m

Для вычисления криволинейного интеграла используют приемы сведения его к определенному интегралу. Рассмотрим несколько та-

ких случаев.
	бА1. Параметрическое задание дуги АВ
	Пусть дуга АВ задана параметрическими уравнениями:
	x=x(t) ;
		Д		(3.10)
	y=y(t) ;
	z=z(t);
t	, где функции х, у, z – непрерывно дифференцируемые функ-
			И

ции параметра t, причем точке А соответствует t = , а точке В соответствует t = . Функция f(x, y, z) непрерывна на всей кривой АВ.

102

Тогда для достаточно малого участка li справедливо равенство

li

хi 2 уi 2 zi 2

х сi 2 у сi 2 z сi 2 ti,

(3.11)

т.к.

li

в этом случае можно рассматривать как диагональ прямо-

угольного параллелепипеда. Тогда вследствие дифференцируемости

функций (3.11) по теореме Лагранжа приращения функций можно

представ ть в в де

хi

х сi ti 1 ti х сi ti,

Сyi

y сi ti 1 ti y сi ti,

zi

х сi ti 1 ti z сi ti,

где ti соответствует точке Мi

, а ti – Мi+1 , ti

ci

ti 1.Таким образом,

подставив выражен е (3.11) в (3.4), переходя к пределу

lim f сi

х сi 2 у сi 2

z сi 2 ti ,

0 i

получаем формулу для вычисления криволинейных интегралов пер-

вого рода

Д

2

2

2

dt,

(3.12)

бf (x; y;z)dl fА(x(t);y(t);z(t)) х у

z

l

где α и β – значения параметра t для точек

и В.

И

Для плоской дуги АВ, заданной параметрически, выведенная

формула остается справедливой, но содержит на одну компоненту

меньше – отсутствует z(t):

f (x;y)dl f (x(t);y(t)) х 2 у 2dt.

(3.13)

l

103

Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла пер-

zвого рода (по длине дуги АВ) надо, используя параметрическое уравнение кривой,

выразить подынтегральную функцию через

параметр t, заменить dl дифференциалом

B

дуги в зависимости от параметра t и про-

интегрировать полученное выражение по t.

0

Пример 1.

Вычислить длину

дуги

y линии x=cost; y=sint; z=t, t (винто-

формулами

x

A

вая линия на рис. 95).

С

Решение.

Кривая задана в парамет-

Р с. 95

рической системе координат, поэтому,

бА

воспользовавш сь

(3.7) и (3.12), получим

x

sint; y

cost; z

1.

Откуда д фференциал дуги

dl

sin2 t cos2 t 1dt

2dt .

Следовательно, длина дуги линии равна

l dl

2

2dt 2

2 .

l

0

2. Дуга АВзадана уравнением в прямоугольной системе координат

И

Если же плоская дуга АВ задана явно y=f(x), то все рассуждения

остаются в силе, но мы получимДнесколько иное выражение, которое

встречалось уже при вычислении длины дуги при помощи определен-

ного интеграла. Действительно, воспользовавшись выражением

получим

dl 1 y/ 2dx,

y/ 2dx.

f (x; y)dl f (x; y(x)) 1

(3.14)

l

104

	Пример 2. Найти длину дуги кривойy lncos x; x
		0;		.
			3

Решение. Эта плоская кривая задана явным уравнением, поэтому, воспользовавшись формулами (3.9) и (3.16), получим

1

sin x

y lncos x

cos x

tgx.

cos x

cos x

Откуда д фференциал дуги

длина

Сdl

y/

2

1

1

1

dx

1 tg2xdx

dx

dx.

cos2 x

cosx

бА

ледовательно,

дуги линии равна

3

1

l dl

dx.

l

0 cosx

Подынтегральная функция

1

рационально зависит от cos x.

сosx

Применяем универсальную подстановкуtg x t, тогда

2

1 t2

2

cos x

;

x 2arctgx;

dx 2 arctg t dt

dt.

1 t2

1 t2

x

1

1 t

2

2

Дtg 1

dx

dt

2

dt

2

ln

t

1

ln

2

1 t2

1 t2

2

t 1

cos x

1 t2

tg

x

1

2

x

И

ln

tg

.

2

4

105

Откуда

				1					x
		3													3
l dl						dx ln		tg								ln	tg					ln	tg
l		0 cos x								2	4			0				6	4					4
С							5
ln tg	5			ln1 lntg					.
	12						12

3. Дуга АВзадана уравнением в полярной системе координат

ординатахЕсли уравнен е плоской кривой задано в полярных ко-, φ, функц я и ее производная '(φ) непрерывны, то

имеет место частный случай формулы (3.15), где в качестве параметра
бА
t взят полярный угол	φ.
Следовательно,	при задании линии l уравнением в полярной

системе коорд нат получаем следующую формулу для вычис-

ления кр вол нейного	нтеграла:
				d ;
		dl	2 / 2
f (x; y)dl	2	f ( cos ; sin )			2	/ 2d ,	(3.15)
l	1		Д

где φ1 и φ2 – значения φ, определяющие на кривой точки А и В. Пример 3. Определить координаты центра тяжести С(xc;yc) од-

нородной полуокружности x2 y2 R2 с плотностью (x;y;z)=1. Решение. Поместим центр окружностиИв начало координат и

перейдём к полярной системе координат, в которой уравнение примет вид

rcos 2 rsin 2 R2 ; r2 cos2 sin2 R2 ; r R.

Если точка С(xc;yc) – центр тяжести, то, очевидно, xc=0. Определим уc по формуле (3.9). Для этого определим сначала массу кривой. Т.к. (x;y;z)=1, то масса полуокружности совпадет с её длиной, т.е. m R. Недостающую координату центра тяжести С(xc;yc) дуги кривой l с плотностью (x;y)вычисляют по формуле

106

y х, у dl

1

2

2 / 2d ,

l

xc

sin

m

R

1

где φ1 и φ2 – значения φ, определяющие на полуокружности начало и

конец кривой, т.е. 0 . Так как

/

R 0, то

2

2

2

1

2

/ 2d

1

1

xc

sin

Rsin

R2d

R2 sin d

R

R

R

слить l

х 2у 5

1

1

1

R2

2R

Сcos

.

R

0

бА

Пр мер 4.

Выч

dl

,

где

l –

отрезок

прямой

у = 2х – 2, заключенный между точками A(0, –2), В(1,0).

Решен е. Эта плоская кривая задана явным уравнением, поэто-

му, воспользовавшись формулой (3.15), получим

2.

y 2х 2

Откуда дифференциал дуги

y

dl 1

/

2dx 1 22dx

5

dx.

1

1

Д

Следовательно, интеграл равен

b

1

1

f (x; y(x)) 1 y/ 2dх

5

dx

5

1

dx

а

0 х 2 2х 2 5

И

0

5х 1

5

d 5x 1

5

ln

5x 1

5

ln6.

5

0

5х 1

5

0

5

Задачи для решения в аудитории

1. Вычислить

l

dl

, где l – отрезок прямой у

1

х 2, заклю-

х у

2

ченный между точками A(0; –2), В(4;0).

2. Вычислить xydl, где l – контур прямоугольника с вершинами

l

A(0; 0), В(4;0), С(4;2), М(0;2).

107

Рис. 96

3. Вычислить x2 y2 3dl, где l – окружность х2 у2

а2.

l

l

4. Вычислить

где

–

первая

арка

циклоиды

2ydl,

l

x а t sint ; y a 1 cost .

С

x2 y2 dl, где

l – первый виток кониче-

5. Вычислить 2z

l

y tsint;z t.

ской в нтовой л н

x tcost;

и

Ответы

2

3

7

2

1.

5ln2. 2. 24. 3. 2 а

4. 4 а

a . 5.

1 2 2

.

1 .

3

§ 2. Кр вол нейные интегралы второго рода

Рассмотр м задачу о вычислении работы переменной силы, ре-

шение которой приводит к понятию криволинейного интеграла вто-

рого рода.

Пусть под действием переменной по величине и направлению си-

лы

F(X x; y;z ,Y x; y;z ,Z x; y;z )материальная точка перемещается

вдоль криволинейного пути l

Д

от точки

A

до точки B.

НайдембАработу этой силы при условии, что кривая AB доста-

точно гладкая,

а вектор-функция F(X x; y;z ,Y x; y;z ,Z x; y;z ) не-

прерывна.

И

Известно,

что если под дейст-

F

вием постоянной

силы

F

матери-

альная точка совершает прямолиней-

ное перемещение l

(рис. 96), то рабо-

таA

l

.

l

F

cos F,l

В данном случае сила переменна по величине и направлению, а путь криволинеен, поэтому этой формулой нельзя воспользоваться.

Сведем решение поставленной задачи к возможности использования формулы для вычисления работы.

108

n i 1

0

F Рi 1

Для этого разделим дугу на n

достаточно

малых

участков

l

i

Mi 1

точками Мi,i 0,...,n(М0 и

Мn

Mi

Pi 1

совпадают с А и В соответственно).

Mi 1

Впишем в кривую АВ ломаную ли-

Pi

F Р

нию (рис. 97). Тогда перемещение

вдоль дуги МiМi 1

можно прибли-

i

женно считать прямолинейным пе-

Р с. 97

ремещением

вдоль

вектора

С

li

МiМi 1,i 0,...,n

(рис.

97).

На каждом участке вы ерем точку i i;ni; i , такую, чтобы можно

было пр бл женно сч тать силу, приложенную в этой точке, величи-

ной постоянной, т.е. F F Pi .

Тогда

на i-м участке вычисляется по формуле

и

Ai F Pi , li .

Работа вдоль всей кривой

В приближенна равна

работа

n

n

A

F

Pi , li .

(3.16)

i 1

i 1

Выражение (3.16)Аявляется n -й интегральной суммой для век- тор-функции F на кривой В. Это приближенное значение работы,

очевидно, тем точнее, чем больше участков МiМi 1 и меньше их дли-
на. Поэтому если существует предел n-й интегральной суммы, когда,
n , max		li			И
			0, не зависящийДот способа ее составления, то
i
за точное значение работы естественно принять его величину
			n		.
			А lim F Pi	, li

Отвлекаясь от физического смысла рассмотренной задачи, можно дать определение.

Определение. Пусть во всех точках гладкой кривой АВ задана непрерывная вектор-функция F(X x; y;z ,Y x; y;z ,Z x; y;z ), тогда

109

		n			(3.17)
F	,dl	lim F	Pi , li

ln i 1

0

называется криволинейным интегралом второго рода (криволиней-

С
ный интеграл от вектор-функции) при условии, что этот предел суще-
ствует и не зависит от способа составления интегральной суммы.
Если в формуле (3.17) записать скалярное произведение в коор-
динатной форме, то получим
и
		X x;		y;z dx Y x; y;z dy Z x; y;z
		l
				n	Y Pi yi Z Pi zi .
		lim X Pi xi
		n i 1
		бА
		0
	Свойства кр волинейного интеграла второго рода
1. Кр вол нейный интеграл при перемене направления кривой
меняет знак.
				F,dl F,dl .
				AB	BA
2.	F,dl				Д
			F,dl F,dl для любых точек А, В, С на кри-
	AB		AC	CB
вой – свойство аддитивности.
3.	F G,dl F,dl G,dl – свойство линейно-
	AB	l		AB	AB	И

сти.

4. Если кривая интегрирования l замкнута, криволинейные интегралы второго рода обозначаются

X(x, y,z)dx Y(x, y,z)dy Z(x, y,z)dz.

В этом случае через кривую l проводится ориентированная поверхность и за положительное направление обхода по l принимается такое направление, при котором область поверхности, ограниченная кривой l, находится слева, если двигаться вдоль l по выбранной сто-

110

роне указанной поверхности (т. е. обход контура l совершается против хода часовой стрелки).

Криволинейный интеграл по замкнутой кривой l не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода кривой.

Если l – замкнутая кривая без точек самопересечения, то направление обхода контура против часовой стрелки называется положительным.

Замечан е. Если криволинейный интеграл второго рода вычисляется по замкнутому контуру, то он называется циркуляцией вектора

F вдоль контура l обозначается F,dl .
С		l
5.	АВ – кр вая, лежащая в плоскости, перпендикулярной
оси ОХ, то
Если
	бА
	X	(x, y,z)dx 0.

AB

Аналог чные соотношения справедливы при интегрировании по переменным у и z.

Теорема. Если кривая В кусочно-гладкая, а функции X(x, y, z), Y(x, y, z) и Z(x, y, z) непрерывны на кривой В, то криволинейный ин-

теграл		Д
	X(x, y,z)dx Y(x, y,z)dy Z(x, y,z)dz
	AB
существует.		И

Для вычисления криволинейного интеграла используют приемы сведения его к определенному интегралу. Рассмотрим несколько таких случаев.

1. Параметрическое задание дуги кривой АВ.

Пусть пространственная кривая АВ задана параметрически:

x=x(t) ;

y=y(t) ;

z=z(t),

где точке А соответствует параметр , а точке В – .

111

y	Тогда вычисление криволинейных
B	интегралов второго рода производится
	путем преобразования их к определен-
	ным интегралам по формулам:

С					A	x
-1	0			1			Х(x, y,z)dx		Х
										(x(t), y(t),z(t))x	(t))dt;
							AB
	Р с. 98
							Y(x, y,z)dy		Y
										(x(t), y(t),z(t))y	(t)dt;
и
							AB
			Z(x, y,z)dx Z(x(t), y(t),z(t))z (t)dt.
		б
			AB
	Для всего		нтеграла имеет место формула
	Xdx Ydy Zdz										(3.18)
							X t x (t) Y t y (t) Z t z (t) dt.
	AB				АВ
	Здесь нижний предел интегрирования								в отличие от криволи-
нейного интеграла первого рода всегда определяется начальной точ-
кой А, поэтому он может							ыть и больше верхнего предела , соот-
ветствующего значению точки .
	В случае, если					– плоская кривая, заданная параметрически,
							x=x(t);		И
							y=y(t) ,
где точке А соответствует параметрД, а точке В – , то
											(3.19)
X х, у dx Y х, у dy X х t , у t x (t) Y х t , у t y (t) dt
AB

Пример 1. Вычислить xydx yzdy xzdz, где AB – четверть ок-

AB

ружности x=cost; y=sint; z=1, проходимая в положительном направлении (рис. 98).

Решение. Направление обхода контура против часовой стрелки считается положительным. Следовательно, обход происходит от

112

точки А до точки В. Значит, точке А соответствует значение параметр

0, а точке В – . 2

По формуле (3.18) имеем

С

2

xydx yzdy xzdz

[cos t sin t( sin t) sin t 1(cos t)

AB

0

2

sin

2 t cos t sin t cos t dt

cos t 1 0]dt

где l – верхняя

слитьПр мер 2. Выч

x 2y dx 1 2x dy,

0

2t sint d

3

t

2

t

2

1

2

sin

sin

sin

sint

.

0

б

6

l

0

2;0

до точкиВ 0; 2

полов на окружности x2 y2 4

от точки

(рис. 99).

Решение. Запишем ее параметрическое уравнение

x = 2cost; y = 2 sint.

y

АНаправление обхода контура про-

тив часовой стрелки считается положи-

тельным. Следовательно, обход происхо-

дит от точки

до точки В. Значит, точке

И

А соответствует значение параметр 0

B

0

A x , а точкеДВ – .

-2

2

Теперь по формуле (3.16)

Рис. 99

x 2y dx 1 2x dy

l

2cos t 2 2sin t ( 2sin t) 1 2 2sin t (2cos t) dt

0

4sintcost 8sin2 t 2cost 8cos2 t dt

0

113

2sin 2t 8cos2t 2cost dt 2sin 2tdt 8cos2tdt 2 costdt
	0																																0					0				0
sin 2td2t 4 cos2td2t 2 costdt
			0										0															0
С
	cos2t 3sin2t 2sint																										1 1 0.
																							0
							2. Дуга АВ задана уравнением в прямоугольной системе
																												координат.
точки																																		АВ		задана явно						y=f(x) от точки
						Если				же			плоская												кривая
А а, f a до																		B b,				f b , тогда согласно определению
									бАх у
																												b
						X(x, y)dx Y										(x, y)dy X(x, f (x) Y(x, f (x))f																											(x) dx.			(3.20)
				AB																								a
						Пр мер							3.						Вычислить
криволинейный																					интеграл
x2 ydx x3dy,													где					l		–			контур,													у
l																		пара олами
ограниченный
y2 x;								x2			y (рис. 100).																										1
						Направление												обхода										кон-										2
тура положительное.
						Решение.												Представим																											у x2
замкнутый контур l как сумму																																							И
			2							2			l1 = x2 и l2
двух дуг																														x		.					0					1				х
Тогда							по		формуле										имеем														Д
x2 ydx x3dy x2 ydx x3dy																																								Рис. 100
l													l1										l1																			3
																1												1								0				0	x
x2 ydx x3dy x4dx																												x3 2xdx x2											xdx						dx
																																									2
	l								l							0												0								1		1					x
		x5						2x5					3									3
						1						1	2x	2				0			x	2					0		3				3			6
																																					.
			5			0		5				0	7					1		7							1		5				7			35

114

Таким образом, во всех случаях вычисление криволинейного интеграла второго рода сводится к вычислению определенного интеграла на отрезке.

y

Пример 4. Вычислить

x2dx x у2 dy, где АВ – ломаная, со-

l

2

B

единяющая точки А 1;0 ,В 0;2 ,С 2;0 . В

соответствии с рис. 101 находим уравне-

ние сторон АВС:

и

A

1

C

С

Уравнение АВ:

-1

0 1

2

x

бА

Р с. 101

х 1

у 0

или

у 2х 2 1 x 0 .

0 1

2 0

Уравнен е ВС:

х 0

у 2

или у х 2 0 x 2 .

2 0

0 2

Уравнение АС:

Д

у 0 1 x 2 .

В силу заданного обхода

x2dx x у2 dy

x2dx x у2 dy

x2dx x у2 dy

l

АВ

ВС

И

x

2

dx x

у

2

dy.

СА

Вычислим полученные интегралы на каждой из прямых.

x

2

dx x у

2

0

2

2

dy x

dx x 2х 1

2х 1 dx

АВ

1

0

0

x2dx x 2х 1 2 2dx 9x2 18x 8dx 3x3 9x2 8x

0

2.

1

1

1

115

x	2	dx x			у	2			2	2	dx x					2								х
							dy x								х 2												2 dx
ВC									0
2			2						2							2												3x2										2
x				dx x х 2 1 dx 3x 4 dx																																			2.
																												2		4x
0																0																						0
С
				Так как на отрезке СА у const, то у 0,
									1				x		3				1
x2dx x у2 dy x2dx																			3.
													3
CA									2										2
				Окончательно					меем x2dx x у2 dy 2 2 3 3.
											l
				Пр мер 5. Выч слить ра оту силы F yi x y j по переме-
щениюточкиматер альной из начала координат в точку (1,1) вдоль
кривол нейного пути y х2.
								2	А
				Решение. Ра ота силы											F(X x; y;z ,Y									x; y;z ) по перемещению
материальнойбточки вдоль кривой l вычисляется по формуле
				l							X(x, y)dx Y(x, y)dy.
											0								Д
				Кривая		y х			задана уравнением в прямоугольной системе ко-
ординат, следовательно, воспользовавшись формулой (3.19), получим
											1															И
				А ydx х у dy x										2		dx х х				2	х					dх
																								2
1											1											х	3			1			x		4			1		3
x2dx x х2 2x dх 3х2 2x3 dx 3																											2												.
0											0										3					0				4				0	2

116